Existence globale des solutions du système couplé maxwell-boltzmann-euler sur un espace temps de Bianchi I.

1.6 Les espaces de fonctions

- L¹(118³) ; la norme dans L¹(118³) sera notée ? · ? ou ? · ?L¹(R³) ; ?r ? 118^*₊, on pose :

X_r = {f ? L¹(118³); f = 0, ?f? = r}. (1.59)

Muni de la distance induite par ? · ?, X_r est un sous-espace métrique complet et connexe de L¹(118³).

Soit I un intervalle de 118.

- C([I; L¹(118³)]) = {f : I -? L¹(118³); f continue et bornée} C([I;L¹(118³)]) est un espace de Banach pour la norme |||f||| = sup{?f(t)?, t ? I}.

- C([I; X_r]) = {f ? C([I; L¹(118³)]); f(t) ? X_r, ? t ? I}. (1.60)
Muni de la distance induite par la norme |||·||| de C([I; L¹(118³)]), C([I; X_r]) est un espace métrique complet.

- 118³ est muni de la norme usuelle notée ? · ? ou ? · ?R3.

- C([I;118³]) = {p : I -? 118³; p continue et bornée}.

C([I;118³]) est un espace de Banach pour la norme |||p||| = sup{?p(t)?, t ? I}.

- E = 118³ × 118³ × L¹(118³) × 118³

Mémoire de MASTER 17 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

1.6 Les espaces de fonctions

Nous munissons cet espace de la norme :

?(E,p, f, u)? = ?E?R3 + ?p?R3 + ?f?L¹(R³) + ?u?R3 (1.61)

Nous considérons aussi l'espace C([I;R³]) × C([I;R³]) × C([I; L¹(118³)]) × C([I;R³]) muni de la norme :

|||(E,p,f,u)||| = |||E||| + |||p||| + |||f||| + |||u||| (1.62)

Ce qui en fait un Banach.

Remarque 1.3. Le système différentiel (S) s'écrit :

Xÿ = G(t, X)

où :

X : I ? R -? E, X=(E,p,f,u),

G(t, X) = (G1(t, X), G2(t, X), G3(t, X), G4(t, X))

avec :

?

?????????

?????????

( )

aÿ

G1(t,X) = - a + ₂b^ÿ Ei + ab2 ? _qi

_q0fdq - ab2ui ?R3 fdq

b R3 _u0

(1.63)

G2(t, X) = -2Pⁱ_0ipⁱ - ^ab_uoⁱ?R3 fdq - ab² _uⁱ₀öjk P0 ?R3 fdq (1.64)

G3(t,X) = _p0¹Q(f,f) (1.65)

G4(tX = -217ⁱuⁱ - ab²gⁱⁱöij qj d ab2giiöijuj d ab²gjjEjuⁱ qj fdq
) 0i ñ0u0 ?R3 _q0 f q + ñ0(u0)2 ?R3 fdq + P0 f][P3 _q0 f q
? ?

(1.66)

ab²gjjEjuⁱuj _qk

-R3 fdq - ab2öjk uiuj _q0 fdq, i = 1,2,3

ñ0u⁰ ñ0u0 R3

Mémoire de MASTER 18 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.