Existence globale des solutions du système couplé maxwell-boltzmann-euler sur un espace temps de Bianchi I.

Mémoire de MASTER 7 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

1.2 Le système de Maxwell en F

Le 2^e groupe des équations (1.18) est identiquement vérifié car Fij = Fij(t) et pour cette même raison, le 1^er groupe des équations (1.18) se réduit à :

?0Fij = 0

D'où :

Fij = Fij(0) := öij (1.19)

(1.19) montre que la partie magnétique _Fij n'évolue pas et reste constamment égale à sa valeur (ou donnée) initiale, notée öij.

Il reste donc à déterminer la partie électrique (F⁰ⁱ) du champ électromagnétique F. L'expression de J⁰ fournie par (1.12) pour â = 0 donne alors vu (1.15) :

e(t) = u0 f3 f(t, p)ab²(t)dp (1.20)

où dp = dp¹dp²dp³ ; ce qui montre que f et les uⁱ déterminent e. En posant dans les équations de Maxwell (1.10) â = i, on a :

V _áF^ái = Ji

or

V _áF^ái = ?áF ^ái + ?^á_áâF^âi + ?ⁱ_áâF^áâ

= ?0F⁰ⁱ + ?^á_áâF^âi

= ?0F⁰ⁱ + ?⁰_0âF^âi + ?^k_kâF^âi

= ?0F⁰ⁱ + ?^k_kâF^âi

= ?0F⁰ⁱ + ?^k_k0F⁰ⁱ

= ?0F⁰ⁱ + _(?110 + ?²₂₀ + ?³₃₀)F⁰ⁱ

= ?0F⁰ⁱ + + a 2 b/ F°i

(

ainsi V _áF^ái = ?0F⁰ⁱ + ( aÿ

+ 2 bl Fai

/

Par ailleurs, (1.12) donne, vu (1.20) :

Ji = f ~0 f(t, p)ab²dp - euⁱ

3

_ui

= f3 P₀f(t,p)ab²dp - u0 f3 f(t,p)ab2dp