Existence globale des solutions du système couplé maxwell-boltzmann-euler sur un espace temps de Bianchi I.

1.2 Le système de Maxwell en F

où :

Pá = P^á(F) = -P^á_ëup^ëpu +ep'F á (1.8)

'

où, dans le cas homogène considéré, e > 0 est la densité de charge, fonction inconnue de la seule variable t. Les formules (1.7) et (1.8) montrent qu'en présence du champ électromagnétique F, les trajectoires initiales des particules sont déviées et ne sont plus les géodésiques comme dans le vide, et que le champ de vecteurs :

X(F) = (p^á, P^á(F)) (1.9)

où P^á est donné par (1.8), est tangent aux trajectoires.

1.2 Le système de Maxwell en F

Le système de Maxwell en F qui constitue les équations de base de l'électromagnétisme peut s'écrire, en notation covariante :

{

V_áF^á' = J' (1.10)

V'Fãá

VãFá'

+

+

= 0 (1.11)

VáF'ã

J' =

'f(t,p)ab2dp1dp2dp3

p

(1.10) et (1.11) sont respectivement les 1^er et 2^e groupe des équations de Maxwell, et V_á désigne la dérivée covariante dans g. Dans (1.10) J' représente le courant de Maxwell que nous prenons sous la forme :

- eu' (1.12)

IIP3 p°

où ab² = |detg|¹² , u = (u') est le vecteur-vitesse matérielle unitaire supposé temporel futur, fonction inconnue de la seule variable t. La relation g(u, u) = -1 permet de déduire que l'on a, de façon analogue à (1.6) :

vu^° = 1 + a^2(u^1)^2 + b^2[(u^2)^2 + (u^3)^2]

(1.13)

(1.13) montre que u^° ne s'annule jamais et que les uⁱ déterminent u^°. Noter que l'analogie entre (1.6) et (1.13) provient du choix m = 1. On suppose que u = (u') ne dépend que de t.

Mémoire de MASTER 6 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

1.2 Le système de Maxwell en F

Remarque 1.1.
· On vérifie en utilisant (1.2) que :

?_áF^á0 = 0 (1.14)

En effet,

?_áF^á0 = ?_áF^á0 + F^á_áâF^â0 + F⁰_áâF^áâ

= _F0 F11 + F022 F22 + F033 F33 11

= 0

d'où : ?_áF^á0 = 0

Les équations de Maxwell (1.10) imposent donc que l'on doit avoir :

J0 = 0 (1.15)

· On a toujours l'identité ?_á?âF^áâ = 0. Les équations de Maxwell (1.10) imposent donc que le courant de Maxwell J = (Jâ) est assujeti à la loi de conservation :

?ëJ^ë = 0 (1.16)

On a en effet de (1.2), J = J(t) et (1.15) que :

?ëJ^ë = ?ëJ^ë + F^ëëâJ^â = ?0J⁰ + 11₀J⁰

= 0

d'où : ?ëJ^ë = 0

Les équations de Maxwell (1.11) sont en fait des identités exprimant la propriété que F est fermée i.e : dF = 0.

Les équations de Maxwell (1.11) se scindent en :

?0Fij + ?iFj0 + ?jF0i = 0 et ?iFjk + ?jFki + ?kFij = 0 (1.17)

En utilisant Fk ij= Fkji et Fij = -Fji, (1.17) s'écrit :

?0Fij + ?iFj0 + ?jF0i = 0 et ?iFjk + ?jFki + ?kFij = 0 (1.18)