Introduction
Dans notre étude, nous étudions
l'évolution à très grande vitesse et avec collisions d'un
train de particules massives de matière pure chargée sous
l'action des forces électromagnétiques créées par
le mouvement des particules chargées. L'espace-temps étant celui
de Bianchi I qui est une généralisation de l'espace-temps de
Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker reconnu comme l'espace-temps de base de la
cosmologie, où les phénomènes homogènes tel que
nous les considérons ici sont importants. Notons que l'univers tout
entier est modelé et ce que nous appelons particules dans la description
cinétique, peuvent être des galaxies ou un groupe de galaxies,
raison pour laquelle seulement l'évolution dans le temps est
réellement significative, d'où l'importance des
phénomènes homogènes.
Les équations de Maxwell sont les équations de
base de l'électromagnétisme, elles déterminent le champ
électromagnétique créé par le mouvement des
particules chargées. Les équations de Maxwell dépendent du
courant de Maxwell définit par la fonction de distribution f,
la densité de charge e et le vecteur-vitesse matérielle
unitaire u supposé temporel futur.
L'équation de Boltzmann relativiste en f
considérée ici est l'une des équations de base de la
théorie cinétique relativiste. Cette équation
décrit la dynamique des particules massives et chargées en
déterminant leur fonction de distribution f qui est une
fonction scalaire positive de la position et de l'impulsion des particules.
L'équation de Boltzmann généralise l'équation de
Vlasov qui gouverne les cas sans collision en introduisant l'opéra-teur
de collision. Les équations d'Euler expriment la conservation du tenseur
d'impulsion-énergie Táâ qui
représente le contenu matériel et énergétique de
l'espace-temps. Le tenseur d'impulsion-énergie est défini en
fonction de la fonction de distribution f des particules, du champ
électromagnétique F, de la pseudo densité
constante P0 des particules et du vecteur-vitesse matérielle
u.
Mémoire de MASTER 2 MOUTNGUI SEE
c?UYI 2010-2011.
TABLE DES MATIÈRES
Quelques auteurs ont prouvé l'existence locale des
solutions pour l'équation de Boltzmann relativiste, en
considérant cette équation seule comme D. Bancel en [1], K.
Bichteler en [3] ou en la couplant à d'autres équations comme D.
Bancel et Y. Choquet-Bruhat en [2]; R. T. Glassey et W. Strauss ont obtenu un
résultat global en [4]. P.B. Mucha a étudié
l'équation de Boltzmann couplé à l'équation
d'Einstein en [7] et [8]. Récemment N. Noutchegueme et E. Takou en [11]
et N. Noutchegueme et D. Dongo en [9] ont étudié
l'équation de Boltzmann relativiste couplé à
l'équation d'Einstein dans l'espace-temps de Robertson-Walker et dans
l'espace-temps de Bianchi 1 respectivement, mais seulement N. Noutchegueme, D.
Dongo et E. Takou ont prouvé l'existence globale des solutions de
l'équation de Boltzmann en [10]. N. Noutchegueme et R.D. Ayissi ont
prouvé l'exis-tence globale des solutions du système
couplé Maxwell-Boltzmann sur un espace-temps de Bianchi I en [12].
L'objectif de notre travail est d'étendre le résultat de [12] au
système couplé Maxwell-Boltzmann-Euler. La méthode pour
prouver l'existence globale des solutions est similaire à celle faite en
[12]. Dans le cas des particules chargées, l'impulsion p =
(pá) des particules devient aussi une inconnue, et
l'étude se ramène à un système différentiel
du premier ordre non linéaire en (F, p, f, u), où nous
appliquons le théorème de Cauchy-Lipschitz.
Notre travail se présente de la manière suivante
:
Chapitre 1, on introduit les équations.
Chapitre 2, nous étudions l'existence locale.
Chapitre 3, nous prouvons l'existence globale.
Mémoire de MASTER 3
MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.
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