3.2 Existence globale des solutions
différence, nous obtenons avec i = 1,
2, 3 :
{ Ei1(t0 + t)
- Ei2(t0 + t) = ? t0+t
{G1(ô, E1, f1, u1) -
G1(ô, E2, f2,
u2)}(ô)dô (3.27)
t0
pi1(t0 + t)
- pi2(t0 + t) = ?t0+t
{G2(ô, E1,p1,
f1, u1) - G2(ô,
E2,p2, f2,
u2)}(ô)dô (3.28)
t0
f1(t0 + t) - f2(t0 +
t) = ? t0+t {G3(ô,p1, f1)
- G3(ô,p2,
f2)}(ô)dô (3.29)
t0
ui1(t0 + t)
- ui2(t0 + t) = ?t0+t
{G4(ô, E1, f1, u1) -
G4(ô, E2, f2,
u2)}(ô)dô (3.30)
t0
Maintenant nous avons d'après la proposition 2.3
:
IIG1(ô, E1, f1,
u1)-G1(ô, E2, f2,
u2)II <- C'
(IIE1-E2II+IIf1-f2II+IIu1-u2II)(ô)
(3.31)
2
IIG2(ô, E1,p1,
f1, u1)-G2(ô,
E2,p2, f2, u2)II
<-
C'
(IIE1-E2II+IIp1-p2II+IIf1-f2II+IIu1-u2II)(ô)
(3.32)
3
IIG3(ô,p1,
f1)-G3(ô,p2, f2)II <-
C'
(IIp1-p2II+IIf1-f2II)(ô)
(3.33)
4
IIG4(ô, E1, f1,
u1)-G4(ô, E2, f2,
u2)II <- C'
(IIE1-E2II+IIf1-f2II+IIu1-u2II)(ô)
(3.34)
5
où, en utilisant (Ej, pj,
fj, uj),
(Ej,pj, fj, uj) E
Yä, j = 1, 2, on a :
C2 =
C2(a0,b0,r,T)
C3 =
C3(a0,b0,r,R1,T,öij)
C4 =
C4(a0,b0,r,T)
C5 =
C5(a0,b0,ñ0,r,R1,R3,T,öij)
Notons déjà que les constantes C2,
C3, C4 et C5 sont indépendantes de
t0.
Maintenant en utilisant les inégalités
(3.31)-(3.32)-(3.33)-(3.34), nous
déduisons de
(3.27)(3.28)-(3.29)-(3.30) en utilisant la
norme ||| ·||| et le fait que t E [0, ä]
:
|
|||E1
|
-
|
E2|||
|
<- C2ä(|||E1 - E2|||
+ |||f1 - f2||| +
|||u1 - u2|||)
|
|
|
(3.35)
|
|
|||p1
|
-
|
p2|||
|
<-
C'3ä(|||E1 -
E2||| + |||p1 - p2|||
+ |||f1 - f2||| +
|||u1
|
-
|
u2|||)
|
(3.36)
|
|
{
|
|||f1
|
-
|
f2|||
|
<- C ä(|||p1 -
p2||| + |||f1 - f2|||)
|
|
|
(3.37)
|
|
|||u1
|
-
|
u2|||
|
<-
C'5ä(|||E1 -
E2||| + |||f1 - f2|||
+ |||u1 - u2|||)
|
|
|
(3.38)
|
Mémoire de MASTER 46 MOUTNGUI SEE
c?UYI 2010-2011.
3.2 Existence globale des solutions
Additionnons pour obtenir :
|||E1-E2|||+|||p1-p2|||+|||f1-f2|||+|||u1-u2|||
<
(C2 + C3 + C4 +
CDä(|||E1 - E2||| +
|||p1 - p2||| + |||f1
- f2||| + |||u1 - u2|||)
+(C'2 + C3 + C4
+ C'5)ä(|||E1 -
E2||| + |||p1 - p2|||
+ |||f1 - f2||| +
|||u1 - u2|||) (3.39)
Si on prend
ä tel que :
0 < ä <
InfS1,4(C2+ Cg+ C4+
C5)} (3.40)
(3.40) implique en particulier que 0 <
(C2 +C3 +C4 +C5)ä <
14, on obtient ainsi de (3.39) que :
3 (|||E1 - E2||| + |||p1
- p2||| + |||f1 -
f2||| + |||u1 - u2|||) < 1
(|||E1 - E2||| + |||p1 -
p2|||
4 4
+|||f1
-f2|||+|||u1 -u2|||)
|||E1-E2|||+|||p1-p2|||+|||f1-f2|||+|||u1-u2|||
<
1(|||E1 - E2||| +
|||p1 - p2||| +
|||f1 - f2||| + |||u1
- u2|||) (3.41)
3
ce qui donne :
(3.41) montre que l'application g
définie en (3.22) est une application contractante dans
l'espace métrique complet Y8, qui admet un unique point fixe
(E, p, f, u) E Y8 solution du système intégral
(3.23)-(3.24)-(3.25)-(3.26) et delà,
solution du système différentiel (S) défini par
(1.55)-(1.56)-(1.57)-(1.58) tel que :
(E, p, f, u)(t0) = (
?E(t0), p(t0),
?f(t0),
-u-(t0))
D'où la proposition
Basé sur la méthode détaillée dans la
section 3.1, nous avons prouvé le résultat suivant :
Théorème 3.1. Soit X0
= (E0, p0, f0,u0) E S =
1[83 x 1[83 x
L1(1183) x 1183,
öij E IR donnés tel que I If0I I < r,
où r > 0 est un nombre réel donné. Alors le
système différentiel (S) défini par
(1.55)-(1.56)-(1.57)-(1.58)
a une unique solution globale X = (E, p, f, u)
définie sur tout l'intervalle [0, +oo[ et
telle que :
(E, p, f, u)(0) =
(E0,p0, f0, u0).
D'où l'existence globale des solutions du
système couplé de Maxwell-Boltzmann-Euler sur un espace-temps de
Bianchi I.
Mémoire de MASTER 47 MOUTNGUI SEE
c?UYI 2010-2011.
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