Conclusion et perspectives
Dans ce travail nous avons étudié l'existence
globale des solutions du système couplé de
Maxwell-Boltzmann-Euler, qui gouverne l'évolution à très
grande vitesse d'un train de particules massives de matière pure
chargée, soumises à la seule action des forces
électromagnétiques créées par les particules
chargées, et en négligeant l'action des forces de gravitation. Le
cadre géométrique choisi était l'espace-temps courbe de
Bianchi de type I de la cosmologie.
Une étude complète de la situation consisterait
à prendre également en compte l'ac-tion du champ de gravitation.
Il faudrait alors coupler le système étudié aux
équations d'Einstein qui sont un système non-linéaire du
second ordre en a et b.
C'est ce que nous envisagerons de faire dans nos prochaines
investigations.
Mémoire de MASTER 48 MOUTNGUI SEE
c?UYI 2010-2011.
Annexes
Annexe 1
Preuve que dans (1.31) on a :
2p0q0?e ù
· (?q - p)
Cp
(, q,ù) = (1.32)
F2 - [ù · (p
+ q) 2 1.32
Remarquons que (1.5) et (1.6) nous donnent les
relations suivantes :
|
(p0)2
|
=
|
1 + p · p
|
|
|
(p'0)2
|
=
|
1 + p' · p'
|
|
|
{
|
|
|
|
(1)
|
|
(q0)2
|
=
|
1 + q · q
|
|
|
(q'0)2
|
=
|
1 + q' · q'
|
|
(1.28) et (1.30) donnent :
é = p'0 + q'0
|
é =
|
(p'0 +
q'0)2
|
|
|
=
|
(p'0)2
|
+ (q'0)2
|
+
2p'0q'0
|
|
=
|
(p'0)2
|
+ (q'0)2
|
+ 2(-6-- -
q'0)q'0
|
|
=
|
(p'0)2
|
- (q'0)2
|
+ 2-6-q'0
|
= 1 + p' · p' - 1 -
q' · q' +
2éq'0 d'après (1)
= p' · p' - q' ·
q' + 2eq'0
d'où :
-2éq'0 =
p'·p'-q'·q'-e
(2)
Mémoire de MASTER 49 MOUTNGUI SEE
c?UYI 2010-2011.
3.2 Existence globale des solutions
Calculons p' · p' - q'
· q' en utilisant (1.31), où pour
simplifier les notations C(p, q, w) sera noté C :
p' · p' = (p + Cw) · (p + Cw)
= p · p + 2Cp · w + C2w · w
= p · p + 2Cp · w + C2 (car w ?
S2)
de même :
q' · q' = q · q - 2Cq · w +
C2
ainsi :
p'·p'-q'·q'
= 2Cw·(p+q)+p·p-q·q (3)
En remplaçant (3) dans (2) on obtient
:
|
-2?eq'0 =
|
2Cw · (p + q) + p · p - q · q -
?e2
|
|
|
|
=
|
2Cw · (p + q) + (p0)2 -
|
1 - (q0)2 + 1
|
- ?e2
|
(d'après (1))
|
|
=
|
2Cw · (p + q) + (p0)2 -
|
(q0)2 - ?e2
|
|
|
= 2Cw · (p + q) + (p0 +
q0)(p0 - q0) - ?e2 = 2Cw · (p
+ q) + ?e(p0 - q0) - ?e2 = 2Cw · (p + q)
+ ?e(p0 - q0 - ?e) = 2Cw · (p + q) -
2q0?e
d'où :
-2?eq'0 = 2Cw · (p + q) -
2q0?e
En élevant au carré on a :
4?e2(q'0)2 = (2Cw ·
(p + q) - 2q0?e)2
(1) donne:
4?e(1 + q' · q') =
4C2(w · (p + q))2 - 8q0?e(w · (p +
q))C + 4(q0?e)2
or
1 + q' · q' = 1 + q · q -
2Cq · w + C2
Mémoire de MASTER 50 MOUTNGUI SEE
c?UYI 2010-2011.
3.2 Existence globale des solutions
ainsi on a :
4é(1 + q · q - 2Cq ·
ù + C2) = 4(ù · (p
+ q))2C2 -
8q°?e(ù · (p +
q))C +
4(q°?e)2
ce qui donne :
2
4 [ù·(p+q)]
-é
)C2+4(2éq·ù?2q°éù·(p+q))C
+4(q°Z)2-4é(1+q·q)
= 0 (4)
Le calcul des coefficients de l'équation (4) donne :
? 2éq · ù -
2q°é ù · (p
+ q) = 2é ù · (éq -
q°(p + q)) = 2é
ù · (p°q +
q°q - q°p -
q°q) = 2é ù ·
(p°q - q°p) =
2p°q°?e ù ·
(?q - ?p)
où ?p =; .
?
4(q°)2é -
4é(1 + q · q) =
4é(q°)2 -
4-62(q°)2
= 0
d'où l'équation (4) devient :
|
2 ~
4 [ù·(p+q)]
-é)C2+8p°q°é
ù·(-?p) = 0
|
(5)
|
l'équation du second degré en C(p,
q, ù) est ainsi obtenue en (5), elle admet pour solution non
triviale :
2p°q°?e
ù · (?q - ?p)
,..2
C(p,q,ù __
) - [ù · (p +
q)]2
d'où le résultat.
| 
