Existence globale des solutions du système couplé maxwell-boltzmann-euler sur un espace temps de Bianchi I.

3.2 Existence globale des solutions

Dans ce qui suit nous posons :

B(R1) = {E E R³;IIEII < R1}

B(R3) = {u E R³;IIuII < R3}

Pout tout t0 E [0, T[ et ä > 0, on pose :

Yä = C([t0, t0 + ä]; B(R1)) x C([t0, t0 + ä];R³) x C([t0, t0 + ä]; X_r) x C([t0, t0 + ä]; B(R3)).

Soit (E, p, f, u) E Yä, on obtient du système (S) défini par (1.55)-(1.56)-(1.57)-(1.58) en posant dans G = (G1, G2, G3, G4) donné par (1.63)-(1.64)-(1.65)-(1.66) : f = f, u = u dans G1, E = E, f = f, u = u dans G2, p = p dans G3 et E = E, f = f dans G4, le système différentiel suivant :

?

????????

????????

ÿEi = G1(t, E, f,u) (3.12)

ÿpⁱ = G2(t, E, p, f, u) (3.13)

dfdt = G3(t, p, f) (3.14)

ÿuⁱ = G4(t, E, f, u) (3.15)

où :

? ??????????? ? ????????????

( aÿ ) ? qi G1(t, E, f,u) = - a + 2^ÿb Ei + ab2 ? q0 fdq - ab2ui R3 fdq (3.16) b R3 u0(u) G2(t, E,p, f, u) = -2P^ii0p^i - u0(u) ?R3 fdq - g p°(p)öjk u0(u) ?R3 fdq (3.17) G3(t,p, f) = 1 p0(p)Q(f, f,p) (3.18) G (t E, f u)-- ab2g0(uiiöij) II$ f3 ^qjq0 fdq + ^ab2giiöijuj2?R3 fdq , = --2Pi i0u^i P0u 4 ñ0 (u^0(u)) +ab2gjjEjui ? q0 fdq - ab2gjjEjuiuj ? ? qj qk R3 fdq - ab2öjk uiuj q0 fdq, i = 1, 2, 3 (3.19) ñ0 R^3 ñ0u^0(u) ñ0u0(u) R3

Nous prouvons :

Proposition 3.2. Soit t0 E [0, T[, ä E]0, 1[ et (E, p, f, u) E Yä donnés. Alors le système différentiel (3.12)-(3.13)-(3.14)-(3.15) a une unique solution (E,p, f, u) E Yä telle que

(E, p, f, u)(t0) = ( ^?E(t0), ^?p(t0), ^?f(t0), ^?u(t0)).

Mémoire de MASTER 40 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

3.2 Existence globale des solutions

Preuve. Puisque a, b, ÿa, ^ÿb, ¹_a, ¹_b, E, p, f, u sont des fonctions continues en t, les fonctions G1, G2, G3 et G4 le sont aussi.

1) Considérons l'équation (3.12) en E avec G1 défini par (3.16) dans laquelle f, u sont fixés. Nous déduisons de (2.12) dans lequel on pose f1 = f2 = f et u1 = u2 = u que :

?G1(t, E1, f,u)-G1(t,E2,f,u)? = C2?E1-E2? (a)

où :

C2 = 10(1+C)(1+ab2)(1+a b +b _a+¹ _a+¹ )(1+?f?) (b)

b

utilisons (1.4) pour borner z = a, b, ¹_a, ¹_b, nous obtenons alors, en utilisant 0 < ä < 1 :

( + 1 )

|z(t)| = a0+b0+ 1 eC(T+1), ?t ? [t0,t0+ä] (c)
a0 b0

(d)

Nous déduisons de (b), en utilisant ?f? = r(car f ? C([t0, t0 + ä]; X_r)) et (c) que : C2 = C^'₂, où C^'₂ = C^'₂(a0, b0, r, T)

de (a) et (d), G1 est globalement lipschitzienne par rapport à E et l'existence locale d'une solution E de (3.12) est ainsi garantie.

Puisque E satisfait (3.12), en suivant le même procédé que dans le Lemme 3.1 en remplaçant E par E, f par f et u par u, on obtient en procédant comme dans la preuve du Lemme 3.1 plus précisement numero (4) :

|^ÿEⁱ| = 3C|Eⁱ| + Cⁱ₈ , i = 1,2,3

En intégrant sur [t0, t0 + t] où t ? [0, ä[, on a :

_ft_o+t

(t0 + t)| = (|Eⁱ(t0)| + C8) + 3CJIEⁱ(s)|ds

t_o

?

or d'après (3.3) et la condition initiale E(t0) =

E(t0), on a :

|Eⁱ(t0)| = |^?Eⁱ(t0)| = (|Eⁱ₀| + Cⁱ₈T)e^3CT

d'où :

t0+t |E^i(t0 + t)| = [C^i8 + (|E^i0| + Ci8T)e3CTl + 3CJ |E^i(s)|ds to J

3.2 Existence globale des solutions

Le lemme de Gronwall donne :

[ 8T)e3CT]

|Eⁱ(t0+t)| = Ci 8 +(|Eⁱ 0|+Ci e3C(T+1), ?t ? [0, ä[, i = 1, 2, 3 (3.20)

Ce qui montre que toute solution E de (3.12) satisfaisant E(t0) = ^?E(t0) et définie sur [t0, t0 + ä[ est uniformement bornée. Par la théorie standard des systèmes différentiels du premier ordre, la solution E est définie sur l'intervalle [t0, t0 + ä] tout entier, et d'après (3.6), (3.7) et (3.20) on a E ? C([t0, t0 + ä]; B(R1)).

2) Considérons l'équation (3.13) en p avec G2 défini par (3.17) dans laquelle E, f, u sont fixés. Nous déduisons de (2.13) dans lequel on pose E1 = E2 = E, f1 = f2 = f et u1 = u2 = u que :

?G2(t, E, p₁, f, u) - G2(t, E, p₂, f, u)?| =C3?p₁ - p₂? (e)

où :

? C3 = 10(1 + C)(1 + a + b)^4(1 + a + b + ^1+ 1 b a a b)^2(1 +?E?)(1 +?f?)(1 + ij

|öij|) (f)

Nous déduisons de (f), en utilisant (c), ?f? = |||f||| = r et ?E? = |||E|||

= R1

(car (E, f) ? C([t0, t0 + ä]; B(R1)) × C([t0, t0 + ä]; X_r)) que :

C3 = C^'₃, où C^'₃ = C^' (a0, b0, r, R1, T, |öij|) (g)
3

,

|ÿpⁱ|=2C|pⁱ|+Cⁱ₁₁

i = 1,2,3

Intégrons sur [t0, t0 + t] où t ? [0, ä[ :

t0+t

|pⁱ(t0 + t)| = (|pⁱ(t0)| + Cⁱ₁₁ä) + 2CJIpⁱ(s)|ds

t_o

or d'apres (3.4), et pⁱ(t0) = ?(t0), on a :

|pⁱ(t0)| = |P(t0)| = (|pⁱ₀| + Cⁱ₁₁T)e^2CT

d'où :

t0+t

|pⁱ(t0 + t)| = [C₁ + (|pⁱ₁ ⁱ₀| + Cⁱ₁₁T)e^2CT1 + 2C |pⁱ(s)|ds

JJ t0

Nous déduisons de (e) et (g) que G2 est globalement lipschitzienne par rapport à p et

l'existence locale d'une solution p de (3.13) est ainsi garantie.

De façon analogue à (10) dans la preuve du lemme 3.1 on a :

Mémoire de MASTER 41 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

Mémoire de MASTER 42 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

3.2 Existence globale des solutions

et le lemme de Gronwall donne :

[ 11T)e2CT]

|pⁱ(t0 + t)| = Ci 11 + (|pⁱ ₀| + _Ci e2C(T+1), ?t ? [0, ä[, i = 1,2,3

Ce qui montre que toute solution p de (3.13) satisfaisant p(t0) = ^?p(t0) et définie sur [t0, t0 + ä[ est uniformement bornée et on a ainsi p ? C([t0, t0 + ä]; 118³).

3) Il est prouvé dans [9] que l'équation (3.14) en f a une unique solution f ? C([t0, t0 + ä]; X_r) telle que f(t0) = 7(t0).

4) Considérons l'équation (3.15) en u avec G4 défini par (3.19) dans laquelle E, f sont fixés. Par la continuité des fonctions z = a, b, 1a, ^1b à t = t0, il existe ä0 > 0 tel que :

t ? ]t0 ? ä0, t0 + ä0[= |z(t)| = |z(t0)| + 1 d'après (1.4) et t0 < T, on a :

( + 1 )

t ? ]t0?ä0, t0+ä0[= |z(t)| = a0+b0+ 1 e^CT+1 (h)

a0 b0

Soit :

B(^?u(t0),1) = {u ? 1[8³; ?u - ^?u(t0)? < 1}

alors :

u ? B(^?u(t0),1) = ?u? = ?^?u(t0)? + 1

la proposition 3.1 donne :

u ? B(?u(t0), 1) = ?u? = R3 + 1 (i)

Considérons le voisinage Wt_o =]t0 ? ä0, t0 + ä0[×B(^?u(t0),1) de (t0, u(t0)) dans le Banach II8 × 118³, soit donc :

(t, u1), (t, u2) ? Wt_o (j)

Nous déduisons de (2.15) dans lequel on pose E1 = E2 = E, f1 = f2 = f :

?G4(t, E, f, u1)-G4(t, E, f, u2)? = C5?u1-u2? (k)

Mémoire de MASTER 43 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

3.2 Existence globale des solutions

où :

C5 =

²⁰⁰(1 + C)(1 + ñ0)(1 + a + b)⁵(1 + a + b + ¹ + ¹)²(1+2?E?)(1+2?f?)×

ñ0 b a a b

(1+?u1?+?u2?)(1+E |öij|)(l) i,j

Nous déduisons de (l), en utilisant (h), (i), (j), ?f? = |||f||| = r et ?E? = |||E||| = R1 que :

C5 = C^'₅, où C^'₅ = C^'₅(a0, b0, ñ0, r, R1, R3, T, öij) (m)

De (k) et (m), G4 est localement lipschitzienne par rapport à u et l'existence locale d'une solution u de (3.15) telle que u(t0) = ^?u(t0) est garantie.

Puisque u satisfait (3.15), en suivant le même procédé que dans le Lemme 3.1 en remplaçant E par E, f par f et u par u, on obtient en procédant comme dans la preuve du Lemme 3.1 plus précisement numero (14) :

|ÿuⁱ| = (2C + Cⁱ₁₃)|uⁱ| + Cⁱ12 , i = 1,2,3

Intégrons sur [t0, t0 + t] où t ? [0, 8[, on a :

f t0+t

|uⁱ(t0 + t)| = (|uⁱ(t0)| + Cⁱ₁₂8) + (2C + Cⁱ₁₃)_JIuⁱ(s)|ds

to

or (3.5) et la condition initiale u(t0) =

^?u(t0) donne :

13)T

|uⁱ(t0)| = |?uⁱ(t0)| = (|uⁱ ₀| + Cⁱ ₁₂T)e^(2C+Ci

d'où :

_f

^to+tuⁱ(t0 + t)| =[Cⁱ₁₂ + (|uⁱ₀| + Ci₁₂T)_e(²C+Cⁱ13)Tl + (2C + Cⁱ13) I u(s)|ds

o

_JJ

En appliquant le lemme de Gronwall, on obtient :

|uⁱ(t0+t)| = [C12+(|ui0|+Ci12T)e(2C+Ci13)T] ^{e(2C+C13)(T+1),} ?t ? [0, 8[, i = 1, 2, 3 (3.21)

Ce qui montre que toute solution u de (3.15) satisfaisant u(t0) = ^?u(t0) et définie sur [t0, t0 + 8[ est uniformement bornée. Par la théorie des systèmes différentiels du premier ordre la solution u est définie sur l'intervalle [t0, t0 +8] tout entier, et d'après (3.10), (3.11)

Mémoire de MASTER 44 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

3.2 Existence globale des solutions

et (3.21), on a u E C([t0, t0 + 8]; B(R3)).

D'où la proposition

Notons que Yä défini précédemment est un sous-espace métrique complet de l'espace de Banach C([t0,t0 +8];1[8³) xC([t0,t0 +8];1[8³) xC([t0,t0 +8];L¹(1[8³)) xC([t0,t0 +8];1[8³)

la proposition 3.2 nous permet de définir l'application :

g : Yä -- Yä (3.22)

(E,p,f,u) (E,p,f,u)

Nous prouvons :

Proposition 3.3. Soit t0 E [0, T[, Il existe un nombre réel 8 E]0,1[, indépendant de t0, tel que le système (S) défini par (1.55)-(1.56)-(1.57)-(1.58) ait une unique solution (E,p, f, u) E Yä satisfaisant :

(E,p, f, u)(t0) = ( ^?E(t0), p(t0), h0), ^?u(t0)).

Preuve. Nous prouverons qu'il existe 8 E]0,1[, indépendant de t0 tel que l'appli-cation g définie par (3.22) soit une application contractante de l'espace métrique complet Yä, ainsi elle admettra un unique point fixe (E,p, f, u) solution du système (S).

Avec la donnée initiale (^?E(t0),

p(t0), h0),

u(t0)) à t = t0, le système différentiel (3.12)-

(3.13)-(3.14)-(3.15) avec G1, G2, G3 et G4 donnés par (3.16)-(3.17)-(3.18)-(3.19) équivaut au système intégral suivant :

{	E^i(t0 + t) = ^?E^i(t0) + ? t0+t t0 G1(ô, E, f, u)dô (3.23) p^i(t0 + t) = .1^-3^i(t0) + ? t0+t t0 G2(ô, E, p, f, u)dô (3.24) f(t0 + t) = h0) + ? t0+t t0 G3(ô, p, f)dô (3.25) u^i(t0 + t) =?u^i(t0) + ? t0+t t0 G4(ô, E, f,u)dô, t E [0, 8], i = 1, 2, 3 (3.26)

À (Ej, p_j, f_j, uj) E Yä, correspond une solution (Ej, p_j, fj, uj) E Yä avec j = 1, 2, leur

existence est prouvée dans la proposition 3.2.

Écrivons le système intégral (3.23)-(3.24)-(3.25)-(3.26) pour j = 1 et j = 2, et prenons la

Mémoire de MASTER 45 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.