2.1.5.2. Méthode par la frontière
stochastique
D'après Coelli et al. (1998), Aigner et
al. (1977) et Meeusen et van den Broeck (1977) la frontière
stochastique de production présente une variable aléatoire
non-négative,vl, ajoutée à l'équation (1)
du cas déterministe précédent :
Ln(yl) = xlfli + vl- ul avec ul = 1, 2, ....., N
(3)
Avec Ln (yi) le logarithme de la production de la firme i,
xl= est un vecteur ligne de (K+1)
éléments dont le premier prend la valeur 1 et les autres, les
logarithmes de chaque quantité des K « input»
utilisés,
â = (â1, â2, ...., âk) = un vecteur
colonne de (K+1) éléments qui sont les paramètres à
estimer;
vl= erreur aléatoire
ul= est une variable aléatoire non
négative qui traduit l'efficacité technique en terme de
production de la firme i.
L'erreur aléatoire vl tient compte des erreurs
de mesures et d'autres facteurs aléatoires comme les effets du climat,
des phénomènes aléatoires sur la valeur de la variable
production, etc., combinée aux effets des variables «input»
non spécifiées. Les vl sont supposés
représenter des variables aléatoires présentant une
distribution normale indépendante et identique avec une moyenne nulle et
une variance constante ?v2
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indépendante des ???? qui sont supposés suivre
une distribution exponentielle identique et indépendante ou une
distribution aléatoire semi- normale.
Ce modèle est nommée frontière
stochastique de production parce que les valeurs des «outputs» sont
limitées par la variable aléatoire stochastique exp (?????? +
????). Les erreurs aléatoires ????, peuvent être positives ou
négatives. Deux hypothèses sont à considérer
concernant les termes d'erreurs: on suppose que ???? suit une loi normale de
paramètres N(u ; ????) et ???? suit une distribution normale
tronquée c'est-à-dire N(0 ; ????). Sur la base de ces
hypothèses, on obtient à partir du logiciel de Frontier, version
4.1 de Coelli (1996), les coefficients ??2 = ????2 +
????2.
???? 2
?? = 2+????2 avec ?? qui mesure la part d'inefficacité
technique dans la variation totale observée ????
entre les points sur la frontière de production et les
données.
Rappelons que pour l'estimation de l'efficacité technique
et selon la formule (2),
= exp(-????) (2)
??????
2.1.5.3. Frontière de coût
La frontière stochastique de coût permet de
déterminer l'efficacité allocative et par suite
l'efficacité économique de la production. Selon le modèle
présenté par Ogundari et Odjo (2006), la frontière de
coût est spécifiée de la manière suivante :
Ci= g(Yi ; Pi ; ái) + ?i i= 1, 2, 3, ...n
(6)
où Ci représente le coût total de
production
Yi = représente l'« output »
Pi = représente le coût des « inputs »
ái = représente les paramètres de la
fonction coût
?i = le terme d'erreur composé de deux
éléments (?i = ???? + ????)
?? et ?? présentent les mêmes
caractéristiques comme dans le cas de la frontière
stochastique.
Toutefois, étant donné que l'inefficacité
est supposée accroitre les coûts, ces composantes d'erreur
présentent des signes positifs.
D'après Coelli et al. (1998), les ????
fournissent l'information sur le niveau d'efficacité de
14
coût ou l'efficacité économique (EEi) de
la firme i. Cette efficacité est calculée par le ratio du
coût minimum sur la frontière (u??= 0), c'est-à-dire
inefficacité nulle par rapport au coût observé. Ce ratio
donne :
|
????
EE?? =
|
=
|
exp(???????? - u??)
|
=
|
exp(????????) exp(-u??)
= exp(-u??) (7)
|
|
exp (????????)
|
exp (????????)
|
exp (????????)
|
La valeur du niveau d'efficacité est comprise entre 0
et 1. L'efficacité économique (EEi) peut être
décomposée en efficacité technique et allocative lorsque
la fonction de production est explicitement dérivée de la
fonction estimée des coûts. Cette décomposition est souvent
possible lorsque la fonction de type Cobb-Douglas est utilisée car elle
est duale. L'efficacité allocative (AEi ) est donc estimée par
l'équation :
??????
(8)
EE?? = ??E?? * ??Ei ???? qui im??liqu?? ??E?? = ??????
Avec EEi, l'efficacité économique et TEi
l'efficacité technique.
Toutefois, Coelli et al. (1998) indiquent que
l'estimation de la fonction des coûts et des équations de demande
des facteurs par la méthode de maximum de vraisemblance donne une
estimation plus appropriée des paramètres de la fonction des
coûts qu'une simple équation d'estimation. La méthode de
maximum de vraisemblance a aussi l'avantage de calculer directement
l'inefficacité allocative.
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