Chapitre 5
Les modèles structurels en
pratique (Exemples de modèles):
5.1 Exemples de modèles :
Dans la pratique, les outils de gestion du risque de
crédit reposant sur cette approche sont le modèle KMV de Moody's
et la méthode CreditMetrics de JPMorgan entre autres.
5.1 .1 Modèles KMV (Kealhofer, McQuown et Vasicek)
de Moody's
KMV ont développé plusieurs modèles de
quantification du risque de crédit : Credit Monitor, Credit Edge et
Private Firm Model pour le risque de crédit individuel et Portfolio
Manager pour le risque de crédit des portefeuilles. Les produits
CreditMark pour le calcul de la valeur marked-to-market des instruments peu
liquides et CDO Analyser pour l'analyse des risques des Collateralised Debt
Obligations ont été développés par M-KMV suite
à l'acquisition de KMV Corporation par Moody's.
Les modèles KMV reposent sur la notion de "distance au
défaut" ("distance to default") qui est calculée en regard de la
barrière qui enclenche le défaut. Une fois la distance au
défaut calculée, elle est convertie en probabilité de
défaillance (appelée aussi "fréquence de défaut
espérée" ou "Expected Default Frequency" ou EDF).
La distance au défaut est définie de la
façon suivante :
oÙ VA correspond à la valeur de marché des
actifs de l'entreprise, óA la volatilité des actifs et X est le
point de défaut qui correspond à la somme de la dette à
long terme et de la moitié de la dette à court terme.
Plus la DD est grande, moins il y a de chance que l'entreprise
soit en défaut.
On suppose dans le modèle de Merton que l'entreprise a
émis des actions et des obligations en t = 0. A la date de
maturité T, les actionnaires reçoivent (VA - X) lorsque VA > X
et 0 lorsque VA ? X. En résumé, ils reçoivent max(VA - X,
0) en T. Cette situation s'apparente à
l'achat pour les actionnaires d'une option d'achat (ou call)
sur la valeur de marché des actifs de l'entreprise et dont le strike X
correspond à la valeur comptable de la dette. En supposant,
Chapitre 5 Les modèles structurels en pratique
comme le fait Merton, que VA évolue suivant un processus
de diffusion géométrique de la forme salivate :
dVA / VA = u dt + aA dWt , où Wt est le processus de
Wiener standard, la valeur boursière de l'entreprise est donnée
par (il s'agit du prix d'une option d'achat européenne fourni par Black
et Scholes (1973)) :
VE = VAN(d1) - exp(-rT )X N(d2), où N(.)
désigne la fonction de répartition de la loi normale avec :
KMV fait l'hypothèse d'une structure de capital
uniquement composée d'actions, de dettes à
court terme, de dettes à long terme de maturité
infinie (perpétuité)etdetitres convertibles.Dans la
réalité, la valeur de marché VA et la volatilité
des actifs aA ne sont pas observables.Elles seront déduites à
partir des valeurs des options VE. En supposant que VE = f(VA, aA,
X,c, r) et aE = g(VA, aA, X, c, r) où c désigne le
coupon payé sur la dette long terme et r le taux d'intérêt
sans risque et en appliquant le lemme d'Itô à ces 2 fonctions et
en arrangeant les termes, on obtient :
puisque la valeur VE est définie par VE = VA N(d1) - e-rT
X N(d2).
D'où :
Nous obtenons alors un système de 2 équations
à 2 inconnues VA et aA :
Chapitre 5 Les modèles structurels en pratique
Une fois les expressions de VA et óA
déterminées, nous pouvons en déduire la formulation
suivante de la distance au défaut :
A partir de la distance au défaut, on peut inférer
la probabilité de défaut de la façon suivante :
Dans la réalité, la probabilité de
défaut ne correspond pas à une loi normale. C'est pourquoi KMV
ont défini des tables basées sur des données historiques
qui associent aux différentes valeurs possibles de DD sur un horizon
donné une probabilité de défaut constatée
empiriquement (elles montrent combien de sociétés faisant
état d'un DD similaire ont effectivement fait défaut sur
l'horizon temporel considéré).
Pour le calcul du Credit Value-at-Risk ou CreditVaR
destinée à la constitution d'une réserve de capital pour
faire face aux pertes potentielles liées aux variations du portefeuille,
KMV se
basent sur la détermination de la grandeur
aléatoire L des pertes du portefeuille définie de la
manière suivante sur un horizon H :
L = VH/ND - VH, où VH/ND est la valeur du portefeuille
en H en l'absence de pertes et VH est la valeur de marché du
portefeuille en H. KMV montrent que la distribution de L peut être
approchée par une distribution normale inverse. La CreditVaR est alors
calculée à partir des quantiles de la distribution de L.
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