Memoire Online - Modélisation et couverture des comptes courants postaux

La gestion ALM a pour objectif d'estimer et de piloter l'équilibre entre les emplois et les ressources au regard de la politique de risque souscrite par l'établissement. Les risques les plus pris en compte dans son pilotage sont le risque de liquidité et les risques de taux (intérêts, change, inflation), qui demeurent très liés.

Cette gestion passe d'abord par une analyse régulière de la situation du bilan et de son évolution probable. Ainsi, la mesure des besoins et des excédents de liquidité aux dates futures s'inscrit dans la gestion du risque de liquidité. La mesure des déséquilibres entre les emplois et les ressources sensibles aux mouvements d'un même taux nécessite quant à elle une couverture spécifique de ce risque.

Le premier enjeu du pilotage du bilan bancaire est de viser un adossement actif/passif dans le temps, c'est-à dire un équilibre entre les cash flows générés dans le futur par l'actif et le passif. Le second consiste à définir une politique globale permettant de garantir un résultat pérenne et de lisser la rentabilité dans le temps pour s'affranchir des effets de cycle. Ceci est réalisé essentiellement au moyen de couvertures financières contre les mouvements de taux. L'utilisation de produits dérivés revêt ainsi un caractère indispensable.

Le pilotage ALM implique de pouvoir observer le comportement financier de la clientèle et de proposer des modèles d'évolution de ce dernier. Par ailleurs, il nécessite de travailler en coordination avec le département chargé de la politique marketing dans la mesure où le comportement clientèle modélisé est fortement lié aux stratégies commerciales et marketing proposées.

La gestion ALM s'appuie donc à la fois sur la modélisation statistique des comportements de la clientèle et sur les différentes méthodes de couverture sur les marchés financiers : les modèles de prévision retenus permettent de définir des stratégies financières d'achat de titres et de dérivés sur les marchés afin de se couvrir contre les risques modélisés.

1.3 L'approche académique de la problématique : éléments de bibliographie

La littérature académique sur la gestion ALM, ou sur la modélisation du niveau de l'encours de dépôts, est relativement peu étoffée. Certains articles ont particulièrement retenu notre attention. Nous les présentons succinctement ci-après.

Le premier d'entre eux, intitulé The arbitage-free valuation and hedging of demand deposits and credit card loans, fut écrit en 1997 par Robert A. Jarrow et Donald R. van Deventer. Ce papier vise à donner, sous certaines hypothèses, la «valeur» actuelle de la masse totale des dépôts à vue de la banque et à en déduire des stratégies de couverture. L'approche est successivement faite en temps discret et en temps continu, de manière complètement analogue. Nous nous contenterons ici de décrire leur démarche dans le cas discret.

Dans une économie à temps discret tE{0,1, ..., ô} munie d'une filtration naturelle Ft, les auteurs font l'hypothèse d'un marché segmenté : les individus, comme les banques, ont accès à un marché de titres du Trésor, mais seules les banques peuvent créer des comptes courants (sur lesquels les individus peuvent placer des dépôts). L'encours en t de l'ensemble des dépôts de la banque est noté D(t). Le marché du Trésor est supposé parfait ² et complet ³. Sur ce marché sont échangés un titre «cash» sans risque de valeur B(t) en t et des zéros-coupons. Le prix à la date t d'un zéro-coupon payant 1$ en T est noté P(t, T) avec

le taux d'intérêt spot. Sous l'hypothèse d'absence d'opportunités d'arbitrage, les auteurs déduisent l'existence d'une unique probabilité risque-neutre Q équivalente à la probabilité historique sous laquelle les zéros-coupons écrits dans le numéraire cash sont des martingales, soit

Les dépôts à vue sont quant à eux rémunérés au taux instantané i(t), c'est-à-dire qu'un dollar versé en t sur le compte est rémunéré par la banque 1 + i(t) dollars à la date t + 1. Les individus ne pouvant pas arbitrer, i(t) < r(t) pour tout t. L'inégalité stricte est autorisée car les auteurs laissent la possibilité d'opportunités d'arbitrage par les établissements de crédit.

Sous ces hypothèses, et en considérant que D(t) et i(t) sont adaptés à Ft, Jarrow et van Deventer écrivent la valeur actuelle nette en 0 des dépôts à vue de la banque comme étant égale à

VD(0)=EQ	ô-1_E t=0	D(t)(r(t) - i(t))	)
		B(t + 1)

Il s'agit de l'espérance sous la probabilité risque-neutre de la somme actualisée des flux futurs affectant les dépôts. Les auteurs l'interprètent comme la valeur d'un swap vanille de taux durant ô périodes, recevant le taux variable r(t) et payant le taux variable i(t), de nominal variable D(t) en t. Ils en déduisent la couverture de l'encours, consistant à investir D(0) (l'encours initial) en zéros-coupons P(0, 1) et à vendre le swap représenté par VD(0).

²Les actifs sont divisibles à l'infini, le marché est infiniment liquide, il n'y a pas de coûts de transaction ni de dividendes, les ventes à découvert sont autorisées sans pénalités ni contraintes et les taux de prêt et d'emprunt sont les mêmes

Pour mener à terme les calculs, les auteurs proposent plusieurs modèles pour D(t) et i(t). Citons notamment D(t)=a+br(t) ou ln(D(t))-ln(D(t-1))=a+br(t)+ct+d(r(t)-r(t-1)) où le temps est censé être un proxy de variables macroéconomiques pertinentes. En temps continu, l'article propose d'utiliser pour le taux spot r(t) le modèle de Vasicek et d'expliquer la variation de l'encours par le niveau des taux courts selon dln(D(t))=(a+br(t)+ct)dt+edr(t). Dans ces conditions, le logarithme de l'encours est donc une diffusion. Nous reviendrons sur ce dernier point ultérieurement.

Datant de 2009, l'article Hedging interest rate margins on demand deposits d'Alexandre Adam, Mohamed Houkari et Jean-Paul Laurent propose, quant à lui, une approche dite en «couru». Ils ne considèrent donc pas la valeur actuelle nette de l'encours mais directement la marge de taux d'intérêt générée par la banque, période après période. Celle-ci est définie comme la différence entre le taux d'intérêt auquel la banque prête et le taux qu'elle verse sur les dépôts. L'approche est en temps continu. Les auteurs de l'article modélisent le taux LIBOR forward Lt := L(t, T, T + 6T) à la date t, prévalant sur l'intervalle [T, T + 6T], par l'équation différentielle stochastique

avec /1L et UL constants. L'encours de dépôts à la date t, Kt, est supposé suivre la dynamique

dKt = Kt(aKdt + UKd

WK(t))

avec /1K et UK également constants. Leur idée est également de créer une dépendance entre le niveau d'encours et le niveau des taux. Ils supposent donc, en s'inspirant d'un article de Kalkbrener et Willing de 2004, que

où WK est un mouvement brownien orthogonal à WL, WK étant censé représenter d'autres sources de risques indépendantes des mouvements de la courbe des taux. Le taux versé sur les dépôts est modélisé par une fonction affine du taux sur le marché, soit g(Lt) = + /3Lt. Dans ces conditions, la marge de taux d'intérêt sur la période [T, T + 6T] est définie par

Par la suite, les auteurs considèrent des stratégies de couverture qui consistent à signer des contrats à terme de gré à gré appelés FRA (pour Forward Rate Agreements). Ces derniers conduisent à la famille de pay-offs {9(L0 - LT), 9 R}. Par extension, ils définissent les stratégies admissibles comme les intégrales stochastiques relativement au processus d'Itô Lt,

Les auteurs résolvent alors le problème de minimisation de la variance de la marge de taux d'intérêt sous contrainte d'espérance. Après calcul, ils en déduisent les stratégies optimales statiques, puis dynamiques, par des méthodes de contrôle stochastique.

Citons pour terminer l'article de thèse de Tanja Eronen intitulé Non-maturity Deposit Valuation and Hedging datant de 2008. Il offre un panorama relativement complet de la littérature existante sur le sujet et discute certaines hypothèses faites dans les modèles proposés. Il évoque en outre plusieurs méthodes et outils de couverture pour la gestion ALM : les floors (de taux d'intérêt) ainsi que différents swaps de taux.

Modélisation et couverture des comptes courants postaux

1.2 Objectifs

1.3 L'approche académique de la problématique : éléments de bibliographie