Modélisation et couverture des comptes courants postaux

11 Le modèle

11.1 La courbe des taux

Comme les stratégies de placement considérées correspondent à des prêts de maturités différentes, il nous faut modéliser l'évolution des taux de marché correspondant à ces différentes maturités. L'objet de cette section est de modéliser la courbe des taux.

Plusieurs modèles classiques s'offrent à nous. Le modèle de Vasièek, qui a déjà été rencontré dans la section dédiée au taux d'inflation, est largement employé en raison de sa simplicité. Nous adoptons un modèle probabiliste de marché (i~, W, _(Ft')t'ER+ , P), où P désigne la probabilité historique que nous avions déjà rencontrée, lors du modèle de dynamique interne à la banque. Nous supposons l'absence d'opportunités d'arbitrage sur ce marché, garantissant l'existence d'une probabilité risque-neutre Q équivalente à la probabilité historique. Nous avons décidé de retenir le modèle de Hull et White qui constitue une extension du modèle de Vasièek sous lequel la diffusion du taux court (taux spot), sous la probabilité risque-neutre Q, se met sous la forme

drt' = (bt' - art') dt^' + ód Wt' , t^' E R+

où Wt' désigne un mouvement brownien standard (sous Q). On parle de modèle de taux à k facteurs si la dimension de ce brownien est k. Dans cette étude, nous nous restreindrons à un modèle à un facteur. En tant que solution d'une équation différentielle stochastique, le taux spot est markovien sous cette dynamique. Il est intéressant de noter que, dans le cas général, la probabilité que le taux court soit négatif sous Q est strictement positive.

Les paramètres a et óER + sont constants et correspondent respectivement à la force de rappel du processus et à sa volatilité. Le paramètre bt' est déterministe et il est choisi de manière à «fitter» la courbe des taux actuellement observée sur les marchés. Plus précisément, il est calibré implicitement de façon à ce que les taux forwards instantanés issus du modèle correspondent à ceux issus du marché. Nous allons expliciter cette démarche²¹.

Dans le cadre de l'écriture du modèle de Hull et White, le temps est décompté en années. C'est la raison pour laquelle nous le notons t^', la désignation t étant réservée aux durées mensuelles.

Il nous faut modéliser les déformations de la courbe des taux en écrivant les équations suivies par les zéros-coupons. Soit le zéro-coupon d'échéance T^' qui rapporte 1 euro en T^', dont le prix en t^' est noté B(t^', T^'). Toujours sous l'hypothèse d'AOA, tous les actifs du marché ont pour rendement rt' sous Q. Nous pouvons alors écrire

dB(t^', T^') = B(t^', T^') (rt'dt^' + a(t^', T^')d Wt') , t^' E R+

¹⁹Il y a toujours une contrepartie à l'achat et à la vente pour toute quantité de titres

²⁰Connu aussi sous le nom de risque de crédit, c'est le risque que la contrepartie (ici l'émetteur du zéro-coupon ou de l'obligation) fasse défaut et ne puisse être en mesure de nous verser le(s) flux initialement convenu(s)

²¹Plusieurs formules seront indicées par un numéro. La démonstration précise d'obtention de la formule correspondante figure en annexe B

Le taux zéro-coupon actuariel R(t^', T^') écrit en base annuelle²² prévalant en t^' pour un zéro-coupon d'échéance T^' est la variable aléatoire définie par

B(t^',T^') =

1

(1 + R(t', T'))T '-t'

La courbe T^' ?R(0, T^') définit la courbe zéro-coupon actuelle.

Il y a une infinité d'actifs sur ce marché (autant que d'échéances). En posant Ft' =ó(W_u, 0=u=t^'), le marché peut donc être supposé complet.

En effectuant le changement de variable Yt' = rt'e

at^'

, on intègre l'équation précédente

selon

rt' = r0e^-

at' +t' e a(t --3)bsds + Q J t e--te ^--s)dWs JJfo o

60

On a même plus généralement

rT' = rt'e

a(T'-t') + J T e a(T'-3)bsds + Q J ^T' e ^a^(T' 3)dWs (1) t' t'

compte tenu du caractère markovien.

Pour reconstruire la courbe des taux sous ce modèle, il nous faut déterminer le prix des zéros-coupons de différentes échéances. Par AOA et complétude du marché, nous avons

B(t^',T^') = _EQ [e-ft' ^rudu|Ft'] (*)

Comme nous connaissons la dynamique du taux spot sous la mesure Q, il nous est possible d'expliciter le prix des zéros-coupons en fonction des différents paramètres du modèle.

Notons I(t^', T^') l'intégrale du taux court sur l'intervalle [t^', T^'], soit I(t',T')= f T '

_t' r_udu.

Par application du théorème de Fubini stochastique, nous obtenons que, conditionnellement à Ft', I(t^', T^') suit une loi gaussienne dont les deux premiers moments sont donnés par

{

m(t^',T^') = EQ [I(t^',T^')|Ft'] = 1T' - e-a(T'-t')) - fT e^-^a(T'-s)bsds + J T bsds IaL ' t, V (t^', T^') = VQ [I(t^', T^')|Ft'] = â2[T' - t^' + âe-a(T'--t') - 12ae-2a(T'-t') - â] (2)

De la relation (*), nous obtenons B(t^',T^')=e^-m(t',T')+^12V(t',T').

Remarquons que jusqu'à présent, nous ne connaissons pas bt'. Nous allons le déterminer de façon à ce que les prix zéro-coupon du modèle correspondent à ceux observés aujourd'hui sur les marchés.

Considérons le taux spot (ou instantané) forward à la date T^' vu de la date t^' défini par

?ln(B(t^', T^'))

f(t^',T^') = ?T'

²²C'est une convention

Il s'agit du taux prévalant à la date T^' pour une durée infinitésimale, anticipé depuis la date t^'. Cette variable aléatoire Ft'-mesurable est donc une fonction déterministe de la courbe des taux T^' ? B(t^', T^') de la date t^'. Il est équivalent de connaître les taux spot forward et les prix zéros-coupons, car ils sont liés par

B(t^', T^') = e- RT0

t' f(t',s)ds

En particulier, compte tenu de la forme obtenue pour B(t^',T^'), les taux forward instantanés initiaux s'écrivent

f(0,T^') = - Dln(B(0, T')) = Dm(0, T') - 1 DV (0, T^')

DT' DT' 2 DT'

soit

_fT⁰2 ( _l

f(0,T^') = r0e^-aT0 + e^-a(T0-s)b_sds - 2a2 1 1 - 2e-FIT' + e 2âT'/

Par dérivation par rapport à T^', on obtient alors la calibration suivante pour bT0

bT0 = af(0,T^') + _DfDT,' + 2a (1 - e-2aT) (3)

En utilisant cette relation, l'expression donnant le taux court se réécrit alors

rT 0 =rte

T0 a(T'-t') + y(T^') - y(t^')e^-^a(T'-t') + df e-a(T^'-s)dWs (4) t'

2

où y(t^')=f(0, t^') + 2a2 (1 - e-at0) . À titre illustratif, nous faisons figurer ici la courbe des

taux zéros-coupons actuariels ainsi que la courbe des taux forwards instantanés actuelles. Elles se désuisent aisément l'une de l'autre, comme nous l'avons expliqué. Leur connaissance est indispensable à la calibration du modèle de Hull et White.

FIG. 17 - La courbe des taux actuelle

61

En utilisant l'expression trouvée pour bT' ci-dessus, l'espérance conditionnelle m(t⁰, T⁰) de I(t⁰, T⁰) peut se réécrire

m(t⁰, T⁰) = P(t⁰, T⁰) (rt' ? ã(t⁰)) + ln( B(0,t0)

B(0, T 0)) + ¹₂(V (0, T⁰) - V (0, t⁰)) (5)

1 - e- en notant P(t^0,T^0) =		â(T^'-t^')		. On en déduit finalement l'expression des prix zéro-

62

B(t⁰,T⁰) = B(ô_' ) exp {(f(0, t⁰) - rt') P(t⁰,T⁰) - 4a (1 - e-2at') P(t⁰ T⁰)²} (6)

Dans la mesure où B(t⁰,T⁰) s'écrit ^{eA(t',T')rt'+C(t',T'),} avec A et C fonctions déterministes, on dit que le modèle de Hull et White est un modèle affine de taux²³.

Le modèle de Hull et White présente l'énorme avantage d'être compatible avec la courbe des taux actuelle (ce qui n'est pas le cas du modèle de Vasicek). Il offre par ailleurs des expressions relativement simples pour les niveaux de taux et les prix des zéro-coupons, ce qui en fait un modèle «facile» d'utilisation.

Si l'on souhaite diffuser des taux courts et taux longs à partir de ce modèle, il faut se donner les jeux de paramètres suivants :

- les paramètres intrinsèques du modèle a et ó

- le paramètre observé bt'. On utilise la courbe des taux actuelle (les prix zéro coupons B(0, T⁰) pour l'ensemble des T nécessaires) pour calculer les taux forwards instantanés et implicitement calibrer la fonction pour l'ensemble des maturités.

Une simulation de taux d'intérêts correspond alors à la génération de l'ensemble de trajec-toires {t0?B(t0,T0)}T'?{1,2,...,h+59}.

Voici par exemple trois trajectoires simulées du taux spot sur les cinq prochaines années.

FIG. 18 - Des trajectoires du taux spot rt' sous Hull et White avec a=0.1 et ó =0.01

²³L'exposant dans l'exponentielle est une fonction affine du taux spot rt'

63

Nous avons construit ce modèle en «base» annuelle comme cela est de coutume, mais nous pouvons en déduire très facilement les grandeurs en «base» mensuelle que nous avons définies précédemment. Remarquons en effet que les variables «mensuelles» et «annuelles» définies sont très simplement reliées par

^,

12

12 )

ZC(t, t + n) = B(t t + n

avec tE{0, 1,...,h - 1} et nE{1, 2, ... , 60} entiers qui représentent le temps en mois.

Le taux de rémunération offert en t sur [t, t + 1] pour l'investissement mensuel de maturité 1 mois est le taux EURIBOR²⁴ un mois noté L(t). Il s'agit d'un taux linéaire post-compté exprimé en base annuelle. En conséquence, par absence d'opportunité d'arbitrage, nous avons immédiatement²⁵

1

ZC(t, t + 1) = 1

1+ ₁₂L(t)

où L(t) s'exprime à partir du modèle de Hull et White selon

~

L(t) = 12 _(t t-1 pour t E {0,1,...,h - 1}
12^, 12 + 12)

Nous supposerons dans cette étude que le niveau des taux est indépendant de tous les mouvements de clients. En reprenant les notations déjà introduites, nous affirmons donc que }les variables aléatoires {rt,}t,ER+, {é(i,j),t}((i,j),t)EÓxÎxN* et {7r(i,j),t,l ((i,j),t,l)EÓxÎxN*xN* sont toutes mutuellement indépendantes.