Notion de mécanique céleste classique

CHAPITRE III

MOUVEMENT DES SATELLITES

I. Satellite circulaire quelconque

Nous avons admis un référentiel lié à une planète de masse MF quelconque

R ( F, x, y, z ), la planète autour du Soleil par une trajectoire elliptique, et pour une durée plus court, ce référentiel supposons galiléen, un satellite de masse MS est soumis à une force de gravitation crée par une planète tel que :

= -G

Avec r la distance entre les centres d'inertie d'une planète et d'un satellite. Cette force étant centrale, qui a dont une trajectoire plane, l'équation de la trajectoire s'écrit sous la forme :

r( ) = (voir le chapitre 1)

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dans notre cas la trajectoire est circulaire (e = 0).

II. Satellites Terrestres

1. Satellites naturels

-La Terre possède un seul satellite naturel ; la Lune. Cette dernière se déplace sur une orbite circulaire de manière uniforme.

-La durée d'un jour la Lune décrit un angle de 0,23 radian par rapport à la Terre, ce qui donne la période de la Lune TL, avec TL correspond à 2ð radians.

d'o TL = = 27,3 jours

-Le schéma suivant représente les différentes phases de la Lune est nouvelle lorsque la face qu'elle présente à la Terre n'est pas éclairée (la nuit).

Le cycle des phases de la Lune, appelé lunaison, durée TN = 29,5 jours, pour expliquer la différence entre cette durée et la période du mouvement circulaire de la Lune autour de la Terre, on doit prendre en compte le mouvement de la terre autour du Soleil, et pour cela on étudie les différente positions de la Lune lors des nouvelles Lunes successives à l' instant t et t + TN (voir le schéma)

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On sait que la Terre en orbite elliptique de période TT = 365,25 jours autours du soleil, en 27,3 jours, la Terre décrit autour du soleil â = 2ð = 0,47 rad

La Lune se retrouve à la position ·nouvelle lune· lorsqu'elle se déplace sur son orbite par un angle de â' = 2ð + â = 2ð + 0,47 = 6,75 rad

Il vient alors : TN = = 29,5 jours

2. Satellites artificiels

a. Vitesse de libération VL

Soit un satellite artificiel de masse MS autour de la Terre de masse Mt tel que son énergie mécanique E est :

E = E_c + E_p = Ms V_o² + ( - G )

o r désigne la distance entre les centres d'inertie de la Terre et du satellite.

D'autre part, l'énergie mécanique s'écrit sous la forme suivante :

E = - G ( 1 - e² ) (voir le chapitre 1)

avec e et p sont respectivement l'excentricité et le paramètre du trajectoire. Sachant que :

-Si E_m 0, la trajectoire du satellite est circulaire ou elliptique.

-Si E_m 0, la trajectoire du satellite est hyperbolique.

-Si E_m = 0, la trajectoire du satellite est parabolique, ce qui correspond à une vitesse initiale V0 telle que :

MS V0² - G = 0

donc V0 = = VL

Cette vitesse ne dépend que du rayon de la trajectoire du satellite r.

On sait que : E_m = MS V0² - G = - G ( 1 - e² )

donc MS V0² = - G e²

Finalement on obtient :

V0 = VL e

Par conséquent : -Si V0 VL c'est-à-dire e = 1

c'est la condition qui donne la trajectoire parabolique ou hyperbolique et donc celui-ci est s'éloigne indéfiniment de la Terre.

-Si V0 VL c'est-à-dire e 1

c'est la condition qui donne la trajectoire du satellite fermée, celle-ci est circulaire ou elliptique.

Cette dernière condition est nécessaire pour éviter la disparition du satellite.