3.4 Mouvement brownien géométrique
Un mouvement brownien géométrique est un
processus stochastique continu dont le logarithme suit un mouvement brownien.
Il est appliqué dans la modélisation mathématique de
certains cours dans les marchés financiers
Le mouvement brownien géométrique
représente une approximation raisonnable de l'évolution des cours
en bourse parce qu'une quantité qui suit un mouvement brownien
géométrique prend toute valeur strictement positive et seuls les
changements élémentaires de la variable aléatoire sont
significatifs.
Définition 21 Mouvement brownien
géométrique
Un processus stochastique de la forme {eWt, t ~ 0} oh
{Wt, t ~ 0} est un mouvement brownien, est appelé mouvement brownien
géométrique.
(voir [11])
FIGURE 5 : Mouvement brownien géométrique.
3.5 Calcul stochastique
3.5.1 Intégrale stochastique d'Itô
L'intégrale stochastique est appelée aussi
intégrale d'Itô en l'honneur du mathématicien japonais
kiyoshi Itô (1915-2008). L'intégrale stochastique se construit de
façon semblable a l'intégrale classique de Riemann.
L'intégrale est d'abord définie sur une classe de processus
constants par morceaux et ensuite est étendue a une classe plus large
par approximation. Il y a cependant deux grandes différences entre
l'intégrale de Riemann et l'intégrale d'Itô.
La première est le type de convergence, les
approximations de l'intégrale de Riemann converge dans tandit que
l'intégrale d'Itô est approchée par des sequences de
variables aléatoire qui converge dans L2'l'espace des
variables aléatoires de carrés intégrables (variance
finie).
La deuxième différence est la suivante, les sommes
de Riemann approchant l'intégrale d'une fonction f : [0, T] -p sont de
la forme:
Xn~ 1 f(si)(ti+i - tj) (3.6)
j=0
avec 0 = t0 < t1 < ... < t = T et s3 un point arbitraire
dans [ti, t3+i] pour tout j
La valeur de l'intégrale de Riemann ne dépend pas
du choix des points s3 2 [ti, t3+i]. Dans le cas stochastique, les sommes
approximantes prennent la forme:
I(fn) = Xn~ 1 f(sj)(Wtj+1 - Wtj) (3.7)
j=0
La limite de telles approximations dépend du choix des
points intermédiaires s3 2 [ti, t3+1]. De façon a lever
l'ambiguité on prend s3 = t3 pour tout j.Comme on prend la borne
inférieure de l'intervalle, les approximations a une certaine date ne
dépend que de l'information connue a cette date et pas des
événements futurs.
L'intégrale d'Itô se note
Z0 1 f(s)dW5 (3.8)
et est définie de telle façon que
fl-400
uim E f(s)dW5 - I(fn) = 0 (3.9)
"~~~~ Z 1 ~ ~~ 2#
0
L'intégrale stochastique bénéficie des
propriétés suivantes ii)linéarité :
Z0 t (af(u) + /3g(u))dWu = a f(u)dWu + /3
g(u)dWu (3.10)
Z t Z t
0 0
i2)isométrie :
E[
~Z
~~~
0
~
t 2 Z t
~
f(u)dWu ~] = E[ jf(u)j2 du] (3.11)
~
0
i3)propriétés de martingale, pour s < t :
Z t Z 8
E[ f(u)dWu=F8] = f(u)dWu
(3.12)
0 0
L'intégrale stochastique est un des outils fondamentaux du
calcul stochastique et sert de base a la définition des processus de
diffusion.
(voir [5])
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