Simulation de modèles de diffusion appliqués aux taux d'intérêts

3.2 Mouvement brownien multidimensionnel

Le mouvement brownien multidimensionnel est utilisé dans les modéles de marché en temps continu. Par exempe lors de la modélisation simultanée des prix de plusieurs actifs risqués. Cependant, les chocs que subissent ces actifs risqués ne devraient pas 'tre indépendants. C'est pourquoi il y a lieu de construire un mouvement brownien multidimensionnel dont les composantes sont corrélées.

Definition 17 Mouvement brownien multidimensionnel

Soit Wt = (W (1)

t ; W ⁽²⁾

t ; :::; W ⁽ⁿ⁾

t )T un processus n-dimensionnel. On dit que Wt est un mouvement brownien multidimensionnel si les processus(W ⁽ⁱ⁾

t ; i < n) sont des mouvements brow-

niens independants.

A partir d'un mouvement brownien standard W de dimension n, il est possible de creer un mouvement brownien de dimension n, dont les composantes sont correles.

Le processus n-dimensionnel W est un mouvement brownien si et seulement si les processus WO et W⁽ⁱ⁾W⁽i⁾ -- sont des martingales (avec = 0 pour i _L j et 8i,i = 1).

On dira que les mouvements browniens a valeurs reelles B1 et B2 sont correles de coefficient de correlation p si B1(t)B2(t) -- pt est une martingale.

On "decorrele" les mouvements browniens en introduisant le processus B3 defini par B3(t) = 1 (B2(t) -- pBi(t)). Ce processus est un mouvement brownien independant de B1

v 1-p2

(voir [11])

Figure 3.1 : Mouvement brownien
de dimension 2

Figure 3.2 : Mouvement brownien
de dimendion 3

3.3 Mouvement brownien avec derive

Le mouvement brownien avec dérive, que l'on appelle aussi mouvement brownien arithmétique, est connu en finance sous le nom de modèle de Merton (1973).

Le mouvement brownien standard comporte certaines lacunes, comme le fait que la dérive est nulle or plusieurs processus stochastiques comportent une tendance prenons comme exemple les indices boursiers qui font preuve d'une tendance a la hausse sur le long terme.

Le mouvement brownien avec dérive corrige cette lacune du processus de Wiener.

Definition 18 Mouvement brownien avec dérive Il s'agit d'un processus stochastique de la forme

{1ut + Zt,t ~ O} (3.5)

oh est une constante et (Zt) un mouvement brownien

Propriétés :

ii)Wo = 0;

i2)(Wt)t>o suit une loi normale de moyenne 1ut et de variance cr²t;

i3)(Wt)t>o est un processus a acroissement stationnaire. Ainsi Wt - W₈ suit une loi normale de moyenne (t - s) et de variance cr²(t - s);

i4)(Wt)t>0 est un processus a acroissement indépendants.

N'importe quel mouvement brownien {Wt, t ~ 0} de dérive et de variance cr² peut alors s'écrire Wt = 1ut + aZt oh {Zt, t ~ 0} est un mouvement brownien standard.

(voir [3])

Remarque 19 Si = 0, nous retrouvons le mouvement brownien standard.

Remarque 20 A court terme, c'est la partie stochastique du processus qui domine, sur le long terme, c'est la tendance.

FIGURE 4.1 : Brownien avec dérive FIGURE 4.2 : Flux de trajectoires