Chapitre 3
Les processus de diffusion
3.1 Le mouvement brownien
Le botaniste Robert Brown a observé en 1828 le
mouvement irregulier de particules de pollen en suspension dans l'eau. En 1877
Delsaux a expliqué les changements incessant de direction de trajectiore
par les chocs entre les particules de pollens et les molecules d'eau. Un
mouvement de ce type est qualiflé de mouvement au hasard.
En 1900, Louis Bachelier, en vue d'étudier les cours de
la bourse, a mis en évidence le caractère markovien du mouvement
brownien : la position d'une particule a l'instant t + s dépend de sa
position en t et ne dépend pas de sa position avant t .il convient
d'insister sur le caractère précurseur de Bachelier et le fait
que la théorie du mouvement brownien a été
développée pour la bourse, avant de l'étre pour la
physique.
En 1905, Albert Einstein a déterminé la
densité de transition du mouvement brownien par l'intermédiaire
de l'équation de la chaleur et relie ainsi le mouvement brownien aux
équations aux dérivées partielles de types parabolique, il
montra également que ce mouvement (maintenant appelé mouvement
brownien) pouvait être éxpliqué par le "bombardement
continuel de particule éxercé par les molécules du
liquide". La même année, Smoluchowski a décrit le mouvement
brownien comme une limite de promenades aléatoires.
La première étude mathématique rigoureuse
de ce processus est faite par Norbert Wiener (1923) qui a exhibé
également une démonstration de l'existence du brownien, ce
mouvement sera donc parfois appelé processus de Wiener. Paul Levy (1948)
s'est interessé aux proprietés
fines des trajectoires du brownien. Depuis, le mouvement
brownien continue de passionner les probabilistes, aussi bien pour
l'étude de ses trajectoires que pour la théorie de l'integration
stochastique (Wiener, Ito, Watanabe, Meyer, Yor, Le Gall, Salminen, Durrett,
Chung, Williams, Knignt, Pitman,...)
On utilise le mouvement brownien pour modéliser les
phénomènes aux mouvements trés erratiques en physique, en
economie, en finance et en biologie.
3.1.1 Définition du mouvement brownien
Le mouvement brownien est un processus stochastique a
incréments stationnaires, indépendants et distribués selon
une loi normale. Les trajectoires de ce processus sont continues. exemples :
- trajectoire du pollen dans l'eau
- trajectoire de la pollution dans une rivière;
- prix des actifs dans un marché financier
On le note de la façon suivante :
{Wt, t ~ 0} avec W : (t, w) E T x -p W(t, w) (3.1)
(voir [14])
De la marche aléatoire au mouvement brownien
Une autre manière d'expliquer et de définir le
mouvement brownien est la suivante : supposons une marche aléatoire
symétrique telle que :
11 avec la probabilité 2 1
xi =--1 avec la probabilité 1 2
Ensuite, accélérons ce processus en prenant des
pas de plus en plus petits (i.eLx -p 0) et en prenant des intervalles de temps
de plus en plus petits (i.eLt -p 0). En passant a la limite, on obtient le
mouvement brownien.
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