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Simulation de modèles de diffusion appliqués aux taux d'intérêts( Télécharger le fichier original )par Mohamed Adel BOUATTA Université des sciences et de la technologie Houari Boumédiene - Master en mathématique financière 2012 |
2.5 Processus stochastiqueDefinition 8 Processus Stochastique Un processus stochastique (ou processus aléatoire) represente une évolution, généralement dans le temps, d'une variable aléatoire. Soit (c, A, P) un espace de probabilité et (A, £)
un espace mesurable. On appelle processus dans (A, £). Pour w 2 Q fixé, la fonction de R+ dans A qui a t associe Xt (w) est appelée la trajectoire associée a la réalisation de w. Le théorême de kolmogorov assure la continuité des processus stochastiques. Xt est un processus centré si son espérance est nulle E(Xt) = 0 et si Xt est dans L2 (E1Xt12 < oo) on définit : La moyenne du processus E(Xt) = I Xt(w)dP(w) La variance V ar(Xt) =E[IXt -- E(Xt)12] La fonction de covariance F(s, t) = E(X, --E(X8))(Xt -- E(Xt)) = E(X,Xt) -- E(X8)E(Xt) La continuité des trajectoires est déterminé par le théorême de Kolmogorov (voir [18]) Theoreme 9 Théorême de Komogorov Soit (Xi) un processus stochastique tel que pour tout t, t+h dans [a, b], il existe des constantes p > 0, c > 0, r > 0 vérifiant E[1Xt+h -- XtIP] < c 1h11+r alors presque toutes les trajectoires sont continues (voir [13]) Definition 10 Processus stochastique adapté Un processus stochastique X = (Xn)n>0 est adapté a la filtration (Tn)n>0 si Xn est .Fn--mesurable Vn 2 N Un processus adapte signifie qu'une interpretation probabiliste de ce processus est realisable. Definition 11 Processus stochastique prévisible On dit qu'un processus stochastique X = (Xn)n>0 est prévisible conditionnellement a la fil- tration (Fn)n>0 si X est Fn_i--mesurable Vm 2 N (voir [13]) 2.6 MartingaleUne martingale est une stratégie de jeu, basée sur des calculs de probabilité, qui cherche a optimiser les chances de gain.On les appelle aussi "montantes", il en existe différentes formes mais leur principe est commun. il consiste a rattraper des pertes antérieures en augmentant la mise, voir ensuite a degager des bénéfices. Le théorie des martingales a eu de grandes répercussion dans de nombreux champs d'application, en probabilité, mais aussi pour la résolution numérique des équations aux dérivées partielles (EDP), en assurance (théorie de la ruine) et en finance. Definition 12 Martingale Un processus stochastique X = (Xn)n>0 est une martingale par rapport a une filtration (FTh)fl~O (on dit aussi F--martingale) si X est adapté a F et E(Xk+1=Fk) = Xk Ainsi, a F donnée, la valeur espérée de Xk+1 est simplement Xk, une martingale modélise donc des "jeux justes". Definition 13 Sous-martingale Une suite de variables aléatoires X1, X2, ..., Xn est dite sous martingale (respectivement surmartingale) par rapport a une filtration (Fn)n>0 si i1)X est intégrable Vm 2 N i2)X adapté a F i3)E(Xn+1/Fn) ~ X, p.s Vm 2 N (respectivement E(Xn+1/Fn) Xn) (voir [17],[2]) |
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