Simulation de modèles de diffusion appliqués aux taux d'intérêts

Simulation de Modèles de Diffusion

Appliqués aux Taux d'Intérêts

BOUATTA Mohamed Adel

Département de Probabilités & Statistiques
Faculté de Mathématiques,
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene,
U. S. T. H. B.
Mémoire présenté dans le cadre de l'obtention du diplôme de
MASTER en MATHEMATIQUES FINANCIERES.

Promotion: 2011/2012

Table des matières

Introduction générale 1 Introduction					1 1
	1.1		Problématique		1
	1.2		Les marchés financiers		1
	1.3		Le marché obligataire		2
	1.4		Définition d'un bon du trésor		3
2	Rappels de probabilité				4
	2.1		a--Algèbre		4
	2.2		Espérance conditionnelle par rapport a une a--algèbre		5
	2.3		Théorème central limite		5
	2.4		Filtration		6
	2.5		Processus stochastique		6
	2.6		Martingale		8
	2.7		Temps d'arrêt		9
3	Les processus de diffusion				10
	3.1		Le mouvement brownien		10
			3.1.1 Définition du mouvement brownien		11
			3.1.2 Propriétés du mouvement brownien		12
TABLE DES MATIERES 3.1.3 Simulation du mouvement brownien 3.2 Mouvement brownien multidimensionnel 3.3 Mouvement brownien avec dérive 3.4 Mouvement brownien géométrique 3.5 Calcul stochastique						ii 13 14 15 16 17
				3.5.1 Intégrale stochastique d'Itô		17
				3.5.2 Processus d'Itô		19
				3.5.3 Lemme d'Itô		20
				3.5.4 Equations différentielles stochastiques		20
		3.6		Les processus de diffusion		22
				3.6.1 Méthodes de simulation des processus de diffusion		24
4		Simulation des processus de diffusion				26
		4.1		Présentation des données		26
		4.2		Modèle de Vasicek (processus d'Ornstein-Uhlenbeck)		26
				4.2.1 Mesure objective (Monde réel)		27
				4.2.2 Estimation des paramètres du modèle de Vasicek		27
				4.2.3 Simulation du modèle de Vasicek		28
				4.2.4 Simulation de la solution exacte du modèle de Vasicek		29
				4.2.5 Calcul du prix du bon dans le modèle de Vasicek		29
		4.3		Modèle de Cox, Ingersoll & Ross (CIR)		30
				4.3.1 Estimation des paramètres du modèle de Cox, Ingersoll & Ross . . .		30
				4.3.2 Simulation du modèle de Cox, Ingersoll et Ross		31
				4.3.3 Simulation de la solution exacte du modèle CIR		32
				4.3.4 calcul du prix du bon dans le modèle CIR		33
		4.4		Modèle de Vasicek a 2 facteurs		33

4.4.1 Estimation des paramètres du modèle de Vasicek a 2 facteurs 34

4.4.2 Simulation du modèle de Vasicek a deux facteurs 35

4.4.3 Simulation de la solution exacte du modèle de Vasicek a 2 facteurs . 36

4.4.4 calcul du prix du bon pour le modèle de Vasicek 2f 36

4.5 Simulation du processus d'Ornstein-Uhlenbeck exponentiel 37

4.6 Simulation du modèle d'Eraker de volatilité stochastique 38

4.7 Simulation du modèle de Heston de volatilité stochastique 40

5 Conclusion générale 43

6 Annexes 44

6.1 Annexe I : Programmes en R 44

6.1.1 Code R pour simulation d'un mouvement brownien standard 44

6.1.2 Code R pour simulation de 30 trajectoires d'un mouvement brownien 44

6.1.3 Code R pour covariance empirique du mouvement brownien 45

6.1.4 Code R pour simulation d'une marche aléatoire 45

6.1.5 Code R pour simulation d'un mouvement brownien de dimension 2 45

6.1.6 Code R pour simulation d'un mouvement brownien de dimension 3 46

6.1.7 Code R pour simulation d'un mouvement brownien avec dérive. . . 47

6.1.8 Code R pour simulation de 30 trajectoires d'un brownien avec dérive 47
6.1.9 Code R pour simulation d'un mouvement brownien géométrique . . . 48

6.1.10 Code R pour estimation des paramètres du modèle Vasicek 49

6.1.11 Code R pour simulation du modèle de Vasicek 49

6.1.12 Code R pour simulation de la solution du modèle de Vasicek 50

6.1.13 Code R pour le calcul du prix du bon dans le modèle de Vasicek . . 51

6.1.14 Code R pour estimation des paramètres du modèle CIR 51

6.1.15 Code R pour simulation du modèle de Cox, Ingersoll & Ross 52

6.1.16 Code R pour simulation de la solution exacte du modèle CIR 53

6.1.17 Code R pour le calcul du prix du bon dans le modèle CIR 53

6.1.18 Code R pour estimation des paramètres du modèle de Vasicek 2f . . 54

6.1.19 Code R pour simulation du modèle de Vasicek a 2 facteurs 55

6.1.20 Code R pour simulation de la solution exacte du Vasicek 2f 56

6.1.21 Code R pour le calcul du prix du bon dans Vasicek 2f 58

6.1.22 Code R pour simulation d'un processus d'O-U exponentiel 59

6.1.23 Code R pour simulation du modèle d'Eraker de volatilité stochastique 59
6.1.24 Code R pour simulation du modèle de Heston de volatilité stochastique 60

6.2 Annexe II : Les données 62

6.2.1 Daily Treasury Bill Rates Data 62