Estimation de l'erreur de troncature de l' espace d'états du système d'attente m/m/1: méthode de stabilité forte

4.4 L'augmentation uniforme

Dans ce cas, on choisit la matrice stochastiques A de telle sorte que tous ses 'el'ements sont 'egaux a` 1/N. Ainsi, la matrice P sera obtenue sous la forme :

Calcul de la borne de stabilitéforte pour le cas de troncature de la ^capacité

d'attente de la file M/M/1							Page 58
a ? a 0 P= 0 ?????????? á N	a 0 a 0 á N	0 a 0 a 0 á N	0 0 a 0 ... 0 á N	0 0 a ... a á N	0 ... . 0 a + á N	.. a á N	? ??????????

Explicitement P s''ecrire :

? ?

?

Pij =

^ePij, si 0 = i = N - 1; 0 = j = N;

N ,

á si i = N; 0 = j = N;

a+ 1 N , sii=N; j=N-1.

4.4.1 Calcul de la borne de stabilitéforte : Augmentation uniforme

õ-Stabilitéforte de la chaàýne de Markov X

De même, en suivant la même d'emarches, que celle du cas pr'ec'edent (augmentation de la premi`ere colonne), et pour le même choix de la fonction test õ, et de la fonction h et de la mesure ó, on constate que la v'erification des conditions a), b) et d) est la même. Donc, a` ce niveau on mentionnera que les 'etapes diff'erentes du cas pr'ec'edent. Ainsi :

· Montrons l'existence d'une certaine constante ñ < 1 telle que :

Tõ(k) = ñõ(k), pour k = 0?

Par d'efinition,

Tõ(k) = _XN õ(j)Tkj.

j=0

Pour k = 0 :

(Tv)(0) = _XN v(j)T0j = _XN âj × 0 = 0.

j=0 j=0

Calcul de la borne de stabilit'e forte pour le cas de troncature de la capacit'e d'attente de la file M/M/1 Page 59

Pour 1 = k = N - 1 :

(Tv)(k) =

XN j=0

v(j)Pkj = á v(k - 1) + á v(k + 1)

= á â^k-1 + á âk+1
âk{á + áâ}

= ñ1(â) v(k),

Posons alors,

á

ñ1(â) = _â+ áâ. (4.15)

Pour k = N :

(Tv)(N) =

XN j=0

â^jPNj

= v(0)PN,0 + v(1)PN,1 + v(2)PN,2 + v(3)PN,3 + ... + v(N - 1)PN,N-1 + v(N)PN,0, = â^{0 á}_N+ â^1á_N + â^2á_N + ... +â^N-1(á + á N ) +â^Ná_N,

âN á [1 1 1 á

N âN + _âN-1 +...+_â +1 + _â,

â^Ná

=

N

" â,;,'+11

â

= ñ2(â)v(N), De même, posons :

1 - (¹)^N+1

ñ2(â) = N 1 - 1+ âN+1.

{â

á

á â

1 á

ñ2(â) = 1 âá

[N(â - 1) (1 - _âN+1 ) + âN+1. (4.16)

Dans ce cas, nous constatons que : 0 < ñ2(â) < ñ1(â).

Donc, il existe une constante ñ(â) = ñ1(â) = max{ñ1(â),ñ2(â)} v'erifiant

(Tv)(k) = ñ1(â) × v(k).

Calcul de la borne de stabilit'e forte pour le cas de troncature de la capacit'e d'attente de la file M/M/1 Page 60

Nous avons dejàdemontreque si, pâ < 1 et pour tout â > 1, On a

ñ(â) = á â + áâ < 1. (4.17)

In'egalit'es de stabilit'e forte

Estimation de la d'eviation de noyau de transition Lemme 4.2 Si p < 1 et 0â < 1 et 1 < â < â0, alors

11/3- = A(â) = NâN-1(â (1 - a +

-- 1) \ fiN ^1). (4.18)

Preuve Par definition, on a : II		Pe - P1v = sup 0=k=N			1 v(k) Lv(j)| ^13kj - j=0
Pour 0 = k < N - 1 : A0(â) = sup 0=k=N-1 Pour k = N :						1	XN j=0	v(j)|	^-Pkj - Pkj| = 0.
						v(k)
1 A1(â) = v(N)	XN j=0		1 - v (j)|-13NjPNj|= âN (0)|PN0 - PN0| + v(N) + |^ePN1 - PN1|
+ v(N) + ... + |				^ePNN-1 - PNN-1| + v(N) + |						^ePNN - PNN|}

1{ á á á

= â^NN N ... + N

1 - (¹_â)^N+1

1 - ¹

â

=

+

á

âN+1

~ ~

á 1 - 1

= .

Nâ^N-1(â - 1) âN+1

On a : Ä1(â) > Ä0(â), donc;

k P^e - P k_v = max{Ä0(â), Ä1(â)}

( )

á

k P^e - P M_v ? Ä1(â) = 1 ? 1 = Ä(â). (4.19)

Nâ^N-1(â - 1) âN+1

.

Détermination de l'erreur due a` la troncature

L'estimation de la déviation des distributions stationnaires est donnée par le théoreme suivant

Théorème 4.4 Supposons que les hypotheses de Lemme 4.2 soient vérifiées. Alors, pour tout < 1, et sous la condition:

1 - ñ(â)

Ä(â) < c(â) ,

nous avons l'estimation de la borne de la stabilitédonnée par:

||eð - ð||_v = c0(â)c(â)Ä(â)

1 - ñ(â) ? Ä(â)c(â) = Be2.

o`u Ä(â) est défini en (4.19) et ñ(â) en (4.15) et

â(1 - %)(1 + â%)

c0(â) = (â - 1)(1 - %^N+¹)(1 - â%), (4.20)

c(â) = 1 + â(1 - %)(1 + â%)

(â - 1)(1 - Q^N+¹)(1 - âQ). (4.21)

Preuve

Dans ce cas, la seule différence de la nouvelle borne due a` la même perturbation réside dans la constante qui estime la déviation entre les deux matrices de probabilités de transition.