4.2 Troncature de la capacitéd'attente de la
file M/M/1
Dans cette section, nous introduisons les résultats
théoriques obtenus lors de l'étude de la stabilitéforte de
la chaàýne de Markov dans un système de files d'attente
M/M/1 après la troncature de la capacitéde la file d'attente par
les deux techniques : augmentation de la première colonne et
augmentation uniforme.
4.2.1 Description du modèle et position du
problème
Considérons un système de files d'attente M/M/1,
le flux des arrivées est poissonnien de paramètre A, et le temps
de service est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de
paramètre u.
Notons par Q = A/u la charge (ou l'intensitédu trafic) de
ce système
Le noyau de transition Pe = (fPij)i,j>0
associéau modèle d'attente M/M/1 est défini comme suit
:
|
ePij =
|
? ???
???
|
a, si i = j = 0;
a, si j = i + 1;
a, si j = i - 1,i > 0; 0, ailleurs,
|
o`u a = A/(A + u) et a = (1 - a) = u/(A + u).
On a, Pe = (fPij)i,j>0, une matrice stochastique
infinie, irréductible et récurrente positive, elle admet donc une
distribution stationnaire unique eð = (eð(j))j>0.
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
a
0
0
Pe =
a
a 0 a 0
|
0 a 0 a 0
|
0
0
a
0
.. .
0
|
0
0
a
..
.
a
|
.. 0 . 0 a
|
..
.
a
0
a
|
.. 0 ... ... ... . ... 0 a 0 .
|
....
0
...
...
...
...
0
a
..
|
···
· · · ?
· · ·
· · ·
· · · .
· · ·
· · ·
··· ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
..
|
Considérons »le Coin Nord-Ouest» T d'ordre N de
la matrice Pe , TN = (Tij)i,j>0 donnécomme suit :
|
Tij =
|
ePij,si 0 = i = N ; 0 = j = N.
|
.
|
a
? a
0
0
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Tij =
|
a 0 a 0
|
0 a 0 a
0
|
0 0 a 0 ...
0
|
0 0 a ...
a
|
0
...
0
a
|
?
??????????
...
a
0
|
D'après l'irréductibilitéde la matrice de
transition du système M/M/1,
si on considère leur Coin-Nord-Ouest, il existe au moins
une ligne i pour laquelle PN j=1 T(i, j) < 0, alors la matrice
tronquée TN n'est pas stochastique.
Afin de rendre T stochastique, on construit une nouvelle matrice
stochastique (P(i, j))N=i,j=0 vérifiant P = T c'est a` dire P(i,j) >
Pe (i,j) pour 0 = i,j = N. Cela peut se faire en utili-
sant plusieurs technique.
La masse perdue dans chaque ligne est estimée par
>k>N P(i, k). On pose pour 0 = i, j = N,
P(i,j) = Pe (i, j) + An(i, j) >1 P(i,
k),
k>N
avec A est une matrice stochastique quelconque, qu'on
construit par des techniques d'augmentation linéaire,
déjàmentionnées précédemment. En effet, on
s'intéressera juste aux techniques suivantes : Augmentation de la
première colonne et augmentation uniforme.
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