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Calcul de la borne de stabilitéforte pour le
cas de troncature de la capacitéd'attente de
la file M/M/1
Ces dernière ann'ees, la m'ethode de stabilit'e forte a
'et'e appliqu'ee pour divers problèmes et sur plusieurs modèles
stochastiques qui peuvent être r'egis par des chaàýnes de
Markov homogènes.
Dans ce chapitre, on s'int'eressera au cas d'application de la
m'ethode de stabilit'e tout en consid'erant le problème de la troncature
de l'espace des 'etats de la chaàýne de Markov d'ecrivant la file
M/M/1. Notre objectif est de faire une 'etude comparative entre deux techniques
de troncature (augmentation de la première colonne et augmentation
uniforme) pour le cas de calcul de la borne de stabilit'e forte.
4.1 Préliminaires et notations
L'outil principal utilis'e dans notre travail est la norme v
not'ee .kõ, o`u v est un vecteur dont les 'el'ements v(s)
> 1 pour tout s ? S (S est l'espace des 'etats de la chaàýne
de Markov) et pour tout w ? RS on a par d'efinition:
|
kwkõ = sup
i?S
|
w(i)
v(i) .
|
Soit ,t une mesure de probabilit'e dans S, alors la norme v de
,t est d'efinie comme suit:
Calcul de la borne de stabilit'e forte pour le cas de troncature
de la capacit'e d'attente de la file M/M/1 Page 48
La norme v est 'elargie aux noyaux de transition dans S. Dans ce
cas, soit A ? RS×S alors :
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MAIõ = sup
i,kwk=1
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PS
j=1
|
|A(i,j)w(j)|
|
|
|
v(i) .
|
Supposons que -7 et 7 possedent une norme v finie,
alors
|
|e7f - 7f| = ke7 - 7kõkfkõ
inf
i?S
|
v(i).
|
4.1.1 Borne de la stabilit'e forte
Le critere de stabilit'e forte est donn'ee dans le th'eoreme
suivant.
Th'eor`eme 4.1 (Aissani et Kartashov 1983 [3]) :
Soit X une chaine de Markov de noyau de transition P et de
mesure invariante 7, cette chaine est dite v - fortement stable par rapport a`
la norme 11 · kv, si elle existe une mesure invariante ó
et une fonction mesurable non n'egative h sur N, satisfaisant les conditions
suivantes :
a) 7h > 0, ó1I = 1, óh > 0, et
b) T = P - h ? ó est non n'egatif,
c) ||T||v < 1,
d) 1P1v < 8.
O`u ? repr'esente le produit de la convolution entre la mesure
ó et la fonction h et 1I est un vecteur dont tout les 'el'ements sont
'egaux a` 1.
Ce r'esultat nous permet de d'elimiter le domaine des valeurs de
perturbation de la norme v (]1, â0]) pour lequel la chaine de Markov en
question est v-fortement stable.
La borne de la m'ethode de stabilit'e est donn'ee dans le
th'eoreme suivant.
Th'eor`eme 4.2 ([31]) :
Soit P un noyau de transition v - fortement stable si :
|| Pe -P|| 1 - 11T11õ
õ < ||I
? Ð||õ, (4.1)
alors la borne de la stabilit'e forte peut s''ecrire sous la
forme suivante :
||e7 ?? Ð||v || 7||õ =
Dr||õ ||I
Pe- P||õ
(4.2)
P- P||õ.
1 - kT kõ - ||I ? Ð||õ
||
En g'en'eral, la constante ||I ? Ð||õ est
estim'ee par 1 + 171õ.
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