Théorèmes du point fixe et ses applications

2.2.2 Théorème du pont fixe de Schauder

Ce théoreme et ses multiples variantes ou généralisations sont utilisés quotidiennement pour étudier l'existence et la multiplicité des solutions d'équations non linéaires de toutes natures, par exemple les équations de Navier-Stokes en hydrodynamique.

Théorème 2.2.2 (théoreme de Schauder)

Soit E un espace de Banach, et D C E un ensemble convexe ferme, toute application continue et compact T de D dans D admet au moins un point fixe.

Preuve D'apres le lemme de point fixe, il suffit de trouvre pour tout E > 0, un point x 2 D avec

llx-- T x11 < E .

Soit donc E > 0, l'ensemble B = T (D) est compact par hypothese, on peut alors prendre un recouvrement fini {B_E (bi) }_i^P ₁ a partir de l'ensemble de toutes les boules B_E (b)b _EB .

Soient

F = bp} c B

et C = convF, remarquons que C est compact et convexe de D. Définissons maintenant l'application continue

~ :B C

en posant

~ (x) =

XP i=i

Ui Ai (x)bi avec Ai (x) = u (x) (x) , (2.16)

ou

= (e -- -- bil)+ = f 0 'si llx -bill>E ;

E^--llx^--bill , Si llx--bill<E

et

U (x) =

XP i=i

Ui (x) . (2.17)

Sachant que pour tous x 2 B, il existe un bK avec

Ilx-- bK11 <E ;

on a U (x) > 0 pour x 2 B, donc 0 est continue. Il est clair que Ai (x) > 0 et que

XP i=i

Ai (x) = 1,

_XP
i=i

x =

donc q (B) c C . De plus, comme

Ai (x) x , (2.18)

alors

110 (x) - xI =

II~ ~ ~ ~ ~

XP i=i

Ai (x) (bi -- x)

~ II ~ ~ ~ ~

~

_XP
i=i

Ai (x) k(bi -- x)11 < E pour x 2 B. (2.19)

Ceci montre que

11(bi -- x)1 <E

(sinon si 11(bi -- x)11 > E ,alors Ai = 0 ).

Alors l'application S = o T est definit de D dans C sa restriction sur C est une application continue de C dans C. Et comme est convexe et compact, il existe d'apres les corollaires 1.2.1 et 1.2.2 du propriete

d'espace de Banach x 0 = S (x o) = q (T x o) 2 C, et d'apres la relation (2.21), on obtient

Ix 0 -- T x oI = Mc (T x 0) -- T x 011 < E . (2.20)

x 0 est le point fixe cherche.

Exemple 2.2.1 Si S2 2 118ⁿ est un domaine borné a frontière suffisamment régulière, le théorème du point fixe de Schauder entraine facilement l'existence d'au moins une solution pour le problème de Dirichlet non linéaire

Au = f (x,u,Vu) (2.21)

dans Q, u = 0 sur 9 pour toute fonction f : S2 x IIBⁿ xl bornée et suffisamment régulière.