Prévision de la consommation du gaz naturel pour la distribution publique par la méthode traditionnelle, lissage exponentiel et Box & Jenkins

2.3.3.4.2 Tests de racine unitaire :

Les structures DS et TS jouent un rôle très important dans le traitement statistique d'une chronique. Comment choisir entre l'une ou l'autre des structures ? Les tests de racine unitaire tentent de répondre à cette question.

2.3.3.4.2.1 Les tests de Dickey-Fuller simples :(DF)

Les tests proposés par DICKEY & FULLER (1969) ont pour but de vérifier la stationnarité de la série étudiée. Ils permettent de déceler le type de non stationnarité de la série.

L'application du test se fait en estimant par la méthode des moindres carrés ordinaires MCO trois modèle suivant que le processus qui représente la série xt contient ou non une constante et une tendance. Les modèles de bases sont :

Modèle [1] : (1 -- o1B)x_t = Et modèle autorégressif d'ordre 1 : AR (1). Modèle [2] : (1 -- O1B)(xt -- g ) = Et modèle AR (1) avec constante. Modèle [3] : (1 -- 01B)(xt -- a -- ,fit) = Et modèle AR (1) avec tendance.

Où (Et, t E Z) est un bruit centré de variance o^-2 . g, a, 0 sont des constantes.

Les hypothèses du test sont :

{

Ho : 101 = 1 H1: 101 ?1

- Si dans l'un des trois modèles l'hypothèse nulle est vérifiée, le processus est alors non stationnaire.

- Si dans les trois modèles en même temps, l'hypothèse nulle est vérifiée, le processus est donc non stationnaire. (la non stationnarité est de nature (stochastique)).

- Si dans le modèle [3], on accepte l'hypothèse H₁: ö -<1, et si le coefficient b est

significativement différent de zéro : alors le processus est un processus TS : on peut le rendre stationnaire en calculant les résidus par rapport à la tendance estimée par les moindres carrés ordinaires.

Pour des raisons statistiques DICKEY et FULLER ont choisi de tester la valeur ( - 1)

au lieu de 10^~1 , on obtient alors les modèles suivants :

Modèle [1] : ?.xt = p.xt-1 + Et b = (1-1)

Modèle [2] : ?X_t = ñàXt-1 + C + å_t C : constante.

Modèle [3] : ?X_t = ñàXt-1 + C + bt + å_t bt : tendance

Dans ce cas les hypothèses du test sont :

I

Ho
H1

: ;9' = o :p ? o

DCKEY et FULLER ont tabulé les valeurs critiques pour chaque modèle et pour des échantillons de tailles différentes que l'on compare avec les différentes valeurs des t-statistiques obtenues par l'estimation des coefficients (les valeurs calculées par le logiciel « EVIEWS »).

On accepte H0 lorsque la valeur de t calculée est supérieure à la valeur tabulée, le processus n'est donc pas stationnaire.

2.3.3.4.2.2 Les tests de Dickey-Fuller Augmentés :( ADF) 1

1 .

. Reps Bourbonnais : Econométrie Edition DUNOD, 2000 , P232.

Dans ce test DF simple, on a supposé que Et un bruit blanc or il n'y a aucune raison pour que l'erreur soit non corrélée. Pour cette raison, Dickey et Fuller ont mis au point un nouveau test qui prend en considération cette hypothèse. Ils lui ont attribué le nom de test de Dickey - Fuller augmenté.

Ce test est fondé, sous l'hypothèse alternative 0i - i sur l'estimation par les MCO des trois

modèles suivants :

Modèle [4] : Vx_t = px" - i t i i

~

+ Et

.

i= 2

Modèle [5] : Vx_t = pXt-i - ?0i?xt-i+i

i=2

~

Modèle [6] : vx_t = pXt-i - ?0i?xt-i+i +C + Et .

i= 2

La valeur de p peut être déterminée selon les critères de Akaike ou Schwarz, ou encore en partant d'une valeur suffisamment importante de p, on estime un modèle à p-1 retards, puis à p-2 retards jusqu'à ce que le coefficient du ^piéme retard soit significatif (si p=0 on utilisera dans ce cas les tests DF)

Une Stratégie de Tests :

Nous allons à présent proposer une stratégie de tests de Dickey Fuller permettant de tester la non stationnarité conditionnellement à la spécification du modèle utilisé. On considère les trois modèles définis comme suit :

Modèle [1] : ?xt = pxt-i+Etp = (0i -i)

Modèle [2] : ?xt = pxt-i + C + Et

Modèle [3] : ?x_t = px" + C + bt + Et

{H0 : p = 0

Où Et iid (0, u²) . On cherche à tester l'hypothèse de racine unitaire :

Hi: p ?0

² Le principe général de la stratégie de tests est le suivant. Il s'agit de

partir du modèle le plus général, d'appliquer le test de racine unitaire en utilisant les seuils correspondant à ce modèle, puis de vérifier par un test approprié que

le modèle retenu était le »bon». En effet, si le modèle n'était pas le »bon», les seuils utilisés pour le test de racine unitaire ne sont pas valable. On risque alors de commettre une erreur de diagnostic quant à la stationnarité de la série. Il convient dans ce cas, de recommencer le test de racine unitaire dans un autre modèle, plus contraint. Et ainsi de suite, jusqu'à trouver le »bon» modèle, les »bons» seuils et bien entendu les »bons» résultats.

¹ U.F.R Economie Appliquée, Séries Temporelles, cours de Christophe Hurlin.

~

+C + Et .

Le déroulement de la stratégie de test est reportée sur la figure(2.1) . On commence par tester la racine unitaire à partir du modèle le plus général, à savoir le modèle 3. On compare

la réalisation de la statistique de Student _tp~=0aux seuils q³_c, ) tabulés par Dickey et Fuller, ou

McKinnon pour le modèle 3 Si la réalisation de _tp~=0est supérieure au seuil _C(c,) on accepte
l'hypothèse nulle de non stationnarité. Une fois que le diagnostic est établi, on cherche à
vérifier si la spécification du modèle 3, incluant une constante et un trend, était une
spécification compatible avec les données. On teste alors la nullité du coefficient b de la
tendance. Deux choses l'une :

· Soit on a rejeté au préalable l'hypothèse de racine unitaire, dans ce cas on teste la nullité de b par un simple test de Student avec des seuils standards (test symétrique, donc seuil de 1.96 à 5%). Si l'on rejette l'hypothèse b = 0, cela signifie que le modèle 3 est le »bon» modèle pour tester la racine unitaire, puisque la présence d'une tendance n'est pas rejetée. Dans ce cas, on conclut que la racine unitaire est rejetée, la série est TS, du fait de la présence de la tendance. En revanche, si l'on accepte l'hypothèse b = 0, le modèle n'est pas adapté puisque la présence d'une tendance est rejetée. On doit refaire le test de racine unitaire à partir du modèle 2, qui ne comprend qu'une constante.

· Soit, au contraire, on avait au préalable, accepté l'hypothèse de racine unitaire, et dans ce cas, on doit construire un test de Fischer de l'hypothèse jointe p = 0 et b = 0. On teste ainsi la nullité de la tendance, conditionnellement à la présence d'une racine unitaire:

He : (c, b, p) = (c, 0,0) contre HP

La statistique de ce test se construit de façon standard par la relation :

F3 =

SCR3

(SCR3,c - SCR3)/ 2

/(n - 3)

Où _SCR3,c est la somme des carrés des résidus du modèle 3 contraint sous He :

? xt = c + Et

et SCR3 est la somme des carrés des résidus du modèle 3 non contraint. Si la réalisation de F3 est supérieure à la valeur 03 lue dans la table à un seuil a%, on rejette l'hypothèse He . Dans ce cas, le modèle 3 est le »bon» modèle et la série xt est intégrée d'ordre 1, I (1) + c +T, le taux de croissance est TS, ?xt = c + bt + Et . En revanche, si l'on accepte He le coefficient de la tendance est nul, le modèle 3 n'est pas le »bon» modèle, on doit donc effectuer à nouveau le test de non stationnarité dans le modèle 2.

Si l'on a accepté la nullité du coefficient b de la tendance, on doit alors effectuer à nouveau les tests de non stationnarité à partir cette fois-ci du modèle 2 incluant uniquement

une constante. On compare alors la réalisation de la statistique de Student tp~ = 0 aux seuils

C(²c, ) tabulés par Dickey et Fuller, ou McKinnon pour le modèle 2 . Si la réalisation de tp=0est supérieure au seuil C(2c, ) on accepte l'hypothèse nulle de non stationnarité. Une fois que le

diagnostic est établi, on cherche à vérifier si la spécification du modèle 2, incluant une constante, est une spécification compatible avec les données. On teste alors

la nullité du coefficient c de la constante. Deux choses l'une :

· Soit on a rejeté au préalable l'hypothèse de racine unitaire, dans ce cas on teste la nullité de c par un simple test de Student avec des seuils standard (test symétrique, donc seuil de 1.96 à 5%). Si l'on rejette l'hypothèse c = 0, cela signifie que le modèle 2 est le »bon» modèle pour tester la racine unitaire, puisque la présence d'une constante n'est pas rejetée. Dans ce cas, on conclut que la racine unitaire est rejetée, la série est stationnaire I (0) + c. En revanche, si l'on accepte l'hypothèse c = 0, le modèle 2 n'est pas adapté puisque la présence d'une constante est rejetée. On doit refaire le test de racine unitaire à partir du modèle 1, qui ne comprend ni constante ni trend.

· Soit, au contraire, on avait au préalable, accepté l'hypothèse de racine unitaire, et dans ce cas, on doit construire un test de Fischer de l'hypothèse jointe p = 0 et c = 0. On teste ainsi

la nullité de la constante, conditionnellement à la présence d'une racine unitaire:

Hô : (,, p) = (0,0) contre H?

La statistique de ce test se construit de façon standard par la relation :

F2 = S CR2

(SCR2,, - SCR2)/ 2

/(n - 2)

Où SCR2_,, est la somme des carrés des résidus du modèle 2 contraint sous Hô , c'est à dire

n n

SCR2,, = ?EÎ = ?(?xt)² et SCR2 est la somme des carrés des résidus du modèle

t=1 t=1

2 non contraint. Si la réalisation de F2 est supérieure à la valeur 01 lue dans la table à un seuil a, on rejette l'hypothèse le, au seuil a%. Dans ce cas, le modèle 2 est le »bon» modèle et la série xt est intégrée d'ordre 1, I (1) + c. En revanche, si l'on accepte le, , le coefficient de la constante est nul, le modèle 2 n'est pas le »bon» modèle on doit donc effectuer à nouveau le test de non stationnarité dans le modèle 1.

Enfin, si l'on a accepté la nullité du coefficient c de la constante, on doit alors effectuer à nouveau les tests de non stationnarité à partir cette fois-ci du modèle 1 sans constante ni trend. On compare alors la réalisation de la statistique de Student _tp~=0 aux seuils Cta)

tabulés par Dickey et Fuller, ou McKinnon pour le modèle 1. Si la réalisation de tp~=0est supérieure au seuil Ct_a) , on accepte l'hypothèse nulle de non stationnarité. Dans ce cas la série

xt est I (1) et correspond à une pure marche aléatoire, xt = xt-1 + Et . Si l'hypothèse nulle est rejetée, la série est stationnaire, I (0) de moyenne nulle. xt = 01xt-1 + E_t 01 - 1

Estimation du modèle (3) ?Xt = pXt-1 + c + bt + Et p = ö 1 - 1

Test H0: p = 0 si tb ? C(a) H0 acceptée

Rejet H0

Test de Student b = 0 (seuils loi normale)

Test He : (c, b, p) = (c, 0,0)

Statistique F3 seuils Fuller

Rejet H0 H0 acceptée H0 acceptée Rejet H0

Estimation du modèle (2)

?Xt est TS Xt I(1) + T + c ? Xt = c + bt + E t

VjXt = p

Xt-1 + c + Et

t TS

GG

Xt es G

X_t = (pj+1)Xt-

+jcj+jbtj+jet

TestkH_o: pk= 0ksi t'p ?kC(a)kH_o acceptée

Rejet H0 H0 acceptée

Test de Student c = 0 (Seuis oi normae) lllllllllllllllllllllllll Rejet H0

Test Hg : (c, p) = (0,0) Statistique F2 seuils Fuller

H0 acceptée H0 acceptée Rejet H0

Estimation du modèle (1)

jfojfmjljkfjkfvk
?Xt = pXt-1 + Et

Xt est I(0) + c

Xt= (p +¹)Xt-1 + c + Et

Xt est I(1) + c

VX_t =jc + E t

Test H_o: p = 0 si tb ? C(a) H0 acceptée

Rejet H0 H0 acceptée

Xt est I (0)

Xt = (p +¹)Xt-1 + Et

XtI (1) ?Xt = E t

Figure 2.1- Stratégie de Tests de Dickey Fuller.