Prévision de la consommation du gaz naturel pour la distribution publique par la méthode traditionnelle, lissage exponentiel et Box & Jenkins

2.3.3.1 Description des processus TS et DS : Processus TS :

Définition :

Un processus (Xt ,t ? Z) présente une non stationnarité de type déterministe TS (Trend Stationnary), s'il peut se décomposer en une somme de deux fonctions : X t = ft + å t

Tel que : åt est un processus stationnaire de type ARMA. Et ft : est une fonction polynomiale du temps.

¹REGIS BOURBOUNNAIS, MICHEL TERRAZA, Analyse des séries temporelles en économie, édition « PUF » juin 1998, page 192.

Le processus TS le plus simple et le plus utilisé en économie est représenté par une fonction polynomiale de degré 1, il s'écrit :

xt = ao + a1t + Et .

Où ao , a1 ? ]R

Et bruit blanc de moyenne nulle et de variance u² . Les caractéristiques de ce processus sont :

E(xt) = ao + a1t .

V(xt) = u2 .

cv(xt,xt-h) = o ?h ? o.

La non stationnarité de ce processus est dû au fait que son espérance dépend du temps.

La méthode pour stationnariser un processus TS est d'estimer les coefficients ao, a1 par MCO (Moindre Carrés Ordinaires) et de retrancher de la valeur de xt en t la valeur estimée de sa moyenne a~o + a~1t .

Processus DS :

DS sans dérive :

Soit le processus DS sans dérive (AR(1)) :

xt = xt - 1 + Et.
(1- B)xt = E_t .

La racine du polynôme caractéristique (1 - B) est égale à 1. On dit que le processus xt a une racine unité, il est donc non stationnaire.

Ce processus DS sans dérive peut se réécrire sous la forme :

xt = xt- 1 + Et = xt-2 + Et- 1 + Et = ~~~
= xt-h + _Et-h + ~~~ + Et .

t

= o x

+ .

1

=

~

Les propriétés d'un tel processus :

E(xt) = xo .

t

V(x_t) = E(x_t - E(x_t ))² = E(? Ei)² = tu 2 .

1

=

~

Un processus DS sans dérive est un processus stationnaire en moyenne et non stationnaire en variance.

DS avec dérive :

Considérons un processus DS avec dérive :

t

.

X_t Xt-1 +E_t +Xo +?Ei

1

=

i

Les propriétés sont les suivantes :

E(Xt) = t/, + Xo .

v(Xt) = t0-.

2

Un processus DS avec dérive est un processus non stationnaire en moyenne et en variance. Ces moments évoluent en fonction du temps t.

Un processus DS est un processus que l'on peut stationnariser par l'application du filtre aux différences :

Xt = Xt-1 + Et . (Xt - Xt-1) = Et . ? Xt = Et .

2.3.3.2 Processus AutoRégressif Moyenne Mobile Intégré d'ordre (p, d, q) :

ARIMA (p, d, q)

Définition 1 :

Un processus (Xt,t ? Z) est dit processus ARIMA d'ordre (p, d, q), s'il satisfait l'équation suivante :

Ö_p(B)(1- B)^d Xt = È_q(B)Et ... (2.3) Ö

p(B)? ^d X_t = È_q(B)E_t

Ou les racines des polynômes Ö _p (B) et È_q (B) sont de module supérieur à 1 et (Et, t ? Z) est

un bruit blanc centré de variance 0^-2 .

Le processus (Xt,t ? Z) n'est pas stationnaire, puisqu'il est stationnarisé en lui appliquant l'opérateur de différenciation.

En posant Y = (1- B)^d Xt

(2.3) devient Ö _p(B)Yt = È_q(B)E_t, (Y_t,t ? Z) est un processus ARMA (p, q) stationnaire.

Définition 2 :

Un processus (xt,t E Z) ARIMA (p, d, q), est un processus non stationnaire dont la différentiation d'ordre d : Yt = (1- B)^d x_t est un processus ARMA (p, q) stationnaire et inversible.