Prévision de la consommation du gaz naturel pour la distribution publique par la méthode traditionnelle, lissage exponentiel et Box & Jenkins

2.3.2.4 Processus mixtes AutoRégressif Moyenne Mobile d'ordre p et q : ARMA (p, q) Définition

Un processus ARMA (p, q) résulte d'une combinaison d'un modèle AR (p) et d'un modèle MA (q).

Un processus (X1, 1 ? Z) satisfait une représentation ARMA (p, q), s'il vérifie l'équation suivante :

X 1 - ö X 1 - - ö X 1 -- - ö pX1-p = å 1 - è å 1 -- è å 1 -- ~~~ - è _q å 1 - q

~~~ 1 1 ~ ~

1 1 ~ ~

(1 ~~~ ) (1 1 ~ ~~~ )

- ö B - ö B - - ö B X = - è B - è B - - è _q B å 1

~ " ~ q

1 ~ J, 1

Ö ~ ( B ) X 1 = Èq(B)å 1

Où ö1,ö~,~~~,ö ~ ? R ö_~ ? O

è ₁ , è ~ ,~~~, è q ? R è_q ? O

(å ₁ , 1 ? Z) est un bruit centré de variance ²

ó .

Ö ~ (B) polynôme caractéristique du processus autorégressif.

È_q(B) polynôme caractéristique du processus moyenne mobile.

Condition de stationnarité et d'inversibilité :

Si toutes les racines du polynôme Ö ~ (B) sont de module supérieur à 1 et toutes les racines du polynôme È _q (B) sont de module supérieur à 1 alors le processus est stationnaire et inversible et (å ₁ , 1 ? Z) est son innovation.

Synthèse :

L'intérêt de l'étude des fonctions d'autocorrélations et d'autocorrélations partielle estimées et de leur représentation sous forme graphique est de pouvoir associer à une série observée un modèle théorique ARMA (p, q). Le tableau suivant propose un récapitulatif sur les formes des fonctions d'autocorrélations et d'autocorrélations partielle théoriques des processus AR (p), MA (q), ARMA (p, q).

Tableau (2.1) 1 : Résumé des propriétés des fonctions d'autocorrélation et d'autocorrélation
partielle

Processus	(ACF)	(PACF)
AR (p) : öp (B)X t = å t	Décroissance exponentielle et/ou sinusoïdale.	Pics significatifs pour les p premières retards, les autres coefficients sont nuls pour des retards >p.
MA (q) : X t = èq(B)åt	Pics significatifs pour les q premiers retard, les autres coefficients sont nuls pour des retards >q.	Décroissance exponentielle et/ou sinusoïdale.
ARMA (p, q) : ö p ( B ) X t = èq(B)å t	Décroissance exponentielle ou sinusoïdale amortie tronquée après (q-p) retards.	Décroissance exponentielle ou sinusoïdale amortie tronquée après (p-q) retards.

2.3.3 Les processus aléatoires non stationnaires :

Les processus stochastiques non stationnaires sont caractérisés par des propriétés stochastiques qui évoluent en fonction du temps.

On distingue deux types de processus stochastiques non stationnaires : une non stationnarité de nature déterministe (TS) et une non stationnarité de nature stochastique (DS)