2.3.2.2 Processus AutoRégressif d'ordre p : AR
(p)
Définition :
Un modèle autorégressif est un modèle
expliquant une variable par son passé, et éventuellement par
d'autres variables. Un processus (Xt,t ? Z) est dit processus
autorégressif d'ordre p, noté AR (p) s'il
s'écrit sous la forme :
Xt = 01Xt-1 + 02Xt-2 +
·
·
· + 0pXt- p + E t
Xt - 01Xt-1 - 02Xt-2 -
·
·
·
- 0 pXt -p = E t
(1 01B 02B2
·
·
· pBpXt = EtÖ p(B) Xt = Et
Où 01,02,
·
·
·,0p ?
R,0p ?o .
(Et , t ? Z) est un bruit centré de variance
0-2 .
Öp (B) polynôme caractéristique du
processus(Xt,t ? Z).
Condition de stationnarité et
d'inversibilité :
Un processus AR d'ordre p est stationnaire, si
toutes les racines du polynôme caractéristique Ö
p(B) sont de module différent de 1 (les racines sont à
l'extérieur du cercle unitaire).
Si toutes les racines du polynôme caractéristique
sont de module supérieur à 1, alors le processus est inversible
et (Et,t ? Z) est l'innovation du processus (E(EtXt-h ) = o
?h = 1).
La fonction d'autocorrélation :
On a : -y(h) = E(XtXt-h) h »- 0 .
= ERO1Xt-1 + ... + OpXt-p + Et)Xt-h] h >- 0 .
= O1E(Xt-1Xt-h) + ... + OpE(Xt-pXt-h) +
E(EtXt-h) h >- 0.
= O1-y(h -1) + ... + Op-y(h - p) h .- 0. ....
(2.2)
En divisant (2.2) par -y(0) , on obtient la fonction
d'autocorrélation
p(h) = O1p(h -1) + ... + Opp(h - p) h .- 0
D'autre part on a :
p(1) = O1 + O2p(1) + ... + Op p(p - 1)
p(2) = O1p(1) + O2 + ... + Op p(p - 2)
:.
:
p(p) = O1p(p -1) + O2p(p - 2) + ... + Op
En réécrivons ce système sous forme
matricielle nous obtenons le système d'équations de
Yule-Walker :
? ? ?
?p(1) 1 p(1) p(p - 1)O1
? ? ? ?
? ? ?
? ?p(2) p(1) 1 p(p - 2) O2
? ? ?
? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ?
= ??
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ?
?
? ?
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? ? ? ? ?
p(p)p(p-1)p(p-2)1Op ? ?? ?
?
La fonction d'autocorrélation partielle
:
Le problème lorsque l'on adopte une spécification
autorégressive est de déterminer l'ordre du processus
autorégressif, pour cela on va se référer à la
fonction d'autocorrélation partielle :
- Le dernier coefficient Op d'un AR (p) est
égal à r(p) le coefficient d'autocorrélation
partiel de même rang.
- La PACF d'un AR (p) à ses p
premières valeurs différentes de 0 et les autres sont nulles.
Donc on reconnaît qu'une série suit un processus
AR (p), si sa PACF s'annule à partir d'un décalage
p.
2.3.2.3 Processus Moyenne Mobile (Moving Average) d'ordre q
: MA (q) Définition :
Un processus (xt, t ? Z) satisfait une représentation
Moyenne Mobile d'ordre q notée MA (q), s'il
vérifie l'équation suivante :
xt = Et - B1Et-1 - B2Et-2 - ... - BqEt-q
.
xt = Et - B1BEt - B2B2
Et - ... - B IP
q Et .
xt = (1 - B1B - B2B2 - ... -
BqBq)Et .
xt =
Èq(B)Et.
Où B1,B2,...,Bq ? R Bq ? 0 .
(Et ,t ? Z) est un bruit centré de variance
0-2 .
È q(B) polynôme caractéristique du
processus (xt, t ? Z). Condition de stationnarité et
d'inversibilité :
Un processus moyenne mobile est stationnaire par
définition, car c'est une combinaison linéaire finie de processus
stationnaire (Et ,t ? Z).
Si toutes les racines du polynôme caractéristique
sont de module supérieur à 1, alors le processus est
inversible.
La fonction d'autocorrélation :
Si les conditions d'inversibilité sont respectées,
la fonction d'autocovariance 7(h) d'un MA (q) s'écrit :
(1+++...+)0-2 h = 0
1 2 q
7(h) = (-Bh + B1Bh+1 + ... +
Bq-hBq)0-2 h = 1,..., q
0
h ? q
En divisant la fonction d'autocovariance par la variance on
obtient la fonction
d'autocorrélation partielle :
q
{(-Bh + B1Bh+1 q + ... + Bq-hBq)
h = 1,...,
P
7(0) 0
(h) = 7(h) = (1+
q +...+ Bq 2)
h ? q
Donc on reconnaît qu'une série suit un processus
MA (q), si sa ACF s'annule à partir d'un décalage
q.
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