Prévision de la consommation du gaz naturel pour la distribution publique par la méthode traditionnelle, lissage exponentiel et Box & Jenkins

2.3.1.3 Les opérateurs de Box & Jenkins1 : Opérateur retard (B) :

L'opérateur B est défini comme agissant sur la série. A un instant t on fait correspondre la valeurs de la série à l'instant t-1, on définit ainsi une nouvelle série B y comme :

B yt = yt-i

On peut appliquer plusieurs fois cet opérateur, on définit ainsi de nouvelles séries :

B²y_t = B(By_t) = Byt-i = yt-2

Bm yt = yt-m

Cet opérateur est linéaire ; il est inversible et son inverse B^-i = F est défini par F yt = yt+i ; F est appelé opérateur avance.

Propriétés de l'opérateur retard :

- Ba = a , l'opérateur d'une constante a est une constante.

_-

--^°yt = yt .

- (Bⁱ + Bⁱ)yt = Bⁱyt+Bⁱyt = yt-t+yt-i . - Bⁱ(Bⁱyt) = B^i+jyt = yt-t-i

L'opérateur de différenciation ? :

L'opérateur ? (prononcé « nabla ») est défini par :

¹. Bernard Rapacchi, centre interuniversitaire de Grenoble 1993

?yt = yt - yt-1 .

Nous entrons maintenant dans des considérations de notation. En effet, par écriture purement formelle on peut écrire :

? yt = y_t - Byt = (1- B)y_t .

On peut écrire ? sous la forme d'un polynôme en B avec :

? = 1 - B

Ce mode d'écriture sous forme de polynôme en B est en fait très pratique mais totalement
formel. Il ne faut pas oublier que, quand on écrit (1- B)y , on définit à partir d'une série y une

nouvelle série qui à t, fait correspondre la différence entre la valeur de la série observée à l'instant t et celle observée à l'instant t-1.

L'opérateur de désaisonnalisation ?s : L'opérateur ?s est défini par :

?s = yt - yt-s .

En d'autres termes :

?s = (1 - B^s).

2.3.1.3.1 Les effets des opérateurs de Box & Jenkins : L'opérateur ? :

· Permet d'éliminer la tendance de la série.

· Peut être répété plusieurs fois, si la tendance n'est pas linéaire. Par exemple :

?²> = (1 - Br yt = (1 - 2B + B²)yt

· Permet d'éliminer une tendance quadratique. Le nombre de fois où on applique ? est appelé ordre de différentiation.

L'opérateur ?s :

· Permet d'éliminer la saisonnalité de période S.

· On peut également l'appliquer plusieurs fois :

?s = ?s(yt - yt-s)
·

Le nombre de fois où on applique ?s est appelé ordre de désaisonnalisation.

2.3.2 Les processus ARMA :

Il est possible de définir la classe des processus ARMA à partir du théorème de décomposition des processus de Wold.

2.3.2.1 Le théorème de décomposition de Wald :

Soit le processus centré réel ou complexe Zt stationnaire et de variance finie. Il existe trois processus Tt, Xt, Et , qui vérifient les propriétés suivantes :

Zt = Tt + Xt

Où Tt et Xt sont deux processus indépendants.

Le processus Tt est dit processus singulier (ou encore processus déterminable), Il s'agit

d'une composante dont chaque valeur peut se calculer à partir d'une combinaison linéaire finie ou infinie de ses valeurs passées. C'est donc un processus dont nous pouvons déterminer exactement la prévision. Par opposition au processus précédent, Xt porte le nom de processus indéterminable.

Et est un bruit blanc centré, E (Et) = 0

+8

Xt =

? ei,-j avec eo =1,ei ? R , j varie de -8 à +8 dans le cas complexe, j

~ = { o

8

+8

varie de 0 à +8 dans le cas réel et ? e 2 ~ +8

~ = { o

8