Memoire Online - Solvabilité II: Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en assurance

Dans ce chapitre, nous nous proposons de valider notre hypothèse de travail à l'aide de quelques données que nous allons simuler en nous basant également sur les données issues des derniers résultats comptables des entreprises d'assurance en France. Afin de rendre nos comparaisons claires et sans ambiguïté, nous considérons deux entreprises fictives, Ariskov-vie et Ariskov-non-vie, spécialisées chacune respectivement dans les secteurs vie et non-vie. Nous commençons donc ce chapitre par notre démarche méthodologique, ensuite, nous présentons très brièvement les méthodes utilisées pour réaliser nos calculs et faire nos comparaisons, et, nous finissons par une synthèse des résultats et une confrontation de ces derniers avec ceux trouvés par d'autres auteurs notamment Serrant (2006) et les éventuelles extensions du sujet.

SECTION I : Approche méthodologique et données utilisées

Nous présentons donc ici la démarche que nous adoptons pour réaliser nos calculs et comparaisons.

PARAGRAPHE 1 : Démarche méthodologique adoptée

Il est question dans ce chapitre de valorisation de bilan, commençons par présenter les éléments d'un bilan²⁸ en assurance.

Le bilan d'une société décrit la situation de l'entreprise à la date d'inventaire ou de clôture des comptes. Il est constitué pour un assureur de trois principaux éléments à savoir :

- au passif, les dettes et engagements, constitués essentiellement des provisions techniques ; - à l'actif, les biens et créances, essentiellement des placements financiers ;

- la différence de ces deux éléments constitue les capitaux ou fonds propres ou encore situation nette comptable (SCN) qu'on retrouve également au passif.

Nous réalisons nos comparaisons à l'aide des ratios de couvertures. Le ratio de couverture se calcule comme le rapport entre la marge constituée au bilan et l'exigence de marge. Bien qu'il existe plusieurs ratios de couvertures -couverture des engagements, couverture bilancielle de la

²⁸ Ce que nous avons largement présenté dans les chapitres précédents ; voir par exemple schéma n°1.2.3

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marge et couverture de la marge brute de solvabilité- nous utilisons la dernière, couverture de la marge de solvabilité qui inclut les autres. Il se calcule comme le rapport entre la marge de solvabilité constituée au bilan (MSC) que nous détaillerons plus loin et l'exigence de marge de solvabilité (EMS selon Solvency I et SCR selon Solvency II). Ce calcul est fait, dans ce mémoire, selon le secteur d'activité (vie ou non-vie), la méthode utilisée (formule standard ou modèle interne) et la réglementation adoptée (Solvency I ou Solvency II).

En France, la marge de solvabilité constituée (MSC) est la somme de la situation nette comptable, de la plus value latente des placements (PVL-excédent de la valeur de réalisation sur la valeur comptable) et enfin des possibilités de rappel de cotisations (pour certaines sociétés mutuelles à cotisations variables) soit donc :

Une fois la marge de solvabilité constituée calculée, il faudra déterminer maintenant les exigences réglementaires ou exigences de marges de solvabilité que nous avions appelés EMS dans le référentiel Solvency I et que nous appelons SCR dans le référentiel Solvency II. Rappelons toutefois que :

EMS = max {0,18*prime (<50 M) + 0,16*prime (>50M)} ; {0,26*prime (<35 M) + 0,23*prime (>35M)} )

Nous avons choisit un pourcentage de 2% des capitaux sous risques comme une moyenne du pourcentage réglementaire (entre 1 et 3%).

Le SCR en vie ou en non vie est quant à lui calculé comme nous en avons discuté au chapitre²⁹ 2. Nous explicitons plus loin certaines conditions de calculs.

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A partir des exigences de marges constitué (MSC) et réglementaires (EMS ou SCR selon le référentiel considéré, la méthode de calcul utilisée et le secteur d'assurance) nous allons déterminer les ratios de couvertures correspondants Ri à travers la formule :

Ce qui est évoqué dans le tableau n° 4.1.1; dans ce tableau, B_v représente le ratio de couverture de marge en assurance vie selon le référentiel Solvency II et calculé à l'aide de la formule standard. Il faut remarquer que dans le référentiel Solvency I, on n'adoptait pas encore la formule standard ; le ratio de couverture est unique (A_v ou _Anv) et ne dépendait donc pas d'un choix de méthode de calcul donnée.

Ensuite à partir de ses ratios calculés dans ce tableau, on calcule l'écart relatif entre la valeur du ratio dans le référentiel Solvency I et sa valeur dans le référentiel Solvency II et cela pour chacune des deux méthodes. Le tableau n°4.1.2 expose ce mode de calcul. Par exemple, r1,nv représente cet écart (l'évolution) pour le secteur non-vie et calculé en utilisant la formule standard.

Tableau n°4.1.1 : Calcul des ratios de couvertures selon la méthode, le secteur d'assurance et le
référentiel réglementaire.

Méthodes	Assurance vie		Assurance non-vie
Formule		Ratio calculé		Ratio calculé
standard		sur la base de		sur la base de
	Ratio calculé	Solvency II	Ratio calculé	Solvency II
	sur la base de	(B_v)	sur la base de	(Bnv)
Modèle interne	Solvency I	Ratio calculé	Solvency I	Ratio calculé
	(A_v)	sur la base de	(Anv)	sur la base de
		Solvency II		Solvency II
		(C_v)		(Cnv)

Tableau n°4.1.2 : Evolution des ratios de couvertures selon la méthode, le secteur d'assurance
et le référentiel réglementaire.

Méthodes		Assurance vie		Assurance non-vie
Formule standard	r	- B A v v	r = 1, nv	- B A nv nv
		1, v = A v		A nv
Modèle interne	r	-C C A v v	r = 2, nv	- A nv nv
		2, v = A v		A nv

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Les hypothèses sur les résultats attendus sont présentées dans le tableau n°4.1.3 ; par exemple, on s'attend à ce que l'évolution relative³⁰ du ratio de couverture de marge en assurance vie en utilisant un modèle interne soit inférieure qu'en utilisant la formule standard tandis que le résultat est inversé ou insensible en assurance non-vie. En d'autres termes que l'utilisation d'un modèle interne est plus pertinente en vie qu'en non-vie.

Afin de déterminer les exigences de marges (réglementaires et constituée), il nous faut modéliser les provisions techniques d'une part et la valeur des actifs ou des placements en fonction des différents risques. Les précédentes études d'impacts (QIS) ont montré que le risque opérationnel représentait entre 2 et 4 % et le risque de crédit n'était pas aussi important ; nous traiterons donc seulement les risques de marché (spécialement les risques ALM pour la vie) et les risques de souscriptions (très importants en non-vie).

Nous modélisons donc le risque de marché pour les actifs ; pour les provisions techniques³¹, nous modélisons le risque de souscription en vie et en non vie.

Concernant le risque de marché, il s'agit des risques d'allocation Actif-Passif ou risques systémiques ; il s'agit du risque liés aux instruments financiers et dont les cours sont susceptibles de varier. Nous supposons qu'il n'existe pas de supplément de volatilité dans les portefeuilles d'actifs concentrés (actions et obligations) ; nous ne modélisons donc pas le risque de concentration. Nous ne modélisons pas aussi les risques de spread dans l'hypothèse qu'il n'existe pas de variation des spreads de crédit au-delà de la courbe des taux sans risque. Bien que l'on ait connu des crises subprimes dans le secteur de l'immobilier aux Etats-Unis et la hausse continue du prix du pétrole - deux facteurs qui ont eu beaucoup d'impacts sur les cours des devises internationales (notamment le dollar et l'euro)- nous restons dans un cadre restreint de modélisation de risque de taux d'intérêt et de risque d'actions.

³⁰ Comparaison d'évolution relative simple sans faire de test statistiques d'égalité de rapport.

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Pour les risques de souscription, il s'agit des risques liés à une tarification insuffisamment prudente lors de la souscription ou d'une modification des conditions de souscriptions ou rachats de contrats. En vie, on a le risque de table (inadéquation de la table de mortalité au portefeuille), et le risque intrinsèque (lié au nombre de contrat souscrit) : on modélise donc les Provisions mathématiques-PM, estimées individu par individu. Elles représentent la valeur actuelle probable des prestations que l'assureur doit verser au cours des exercices futurs, au titre des évènements survenus lors des exercices antérieurs. En non-vie, ces risques sont constitués par la volatilité du résultat ou de la sinistralité sur les engagements aussi bien passés que futurs. Nous ne modélisons ici que les Provisions pour Sinistres A Payer - PSAP, estimées à partir des modèles de cadences ou de développements. Comme leurs noms l'indiquent, les PSAP constituent la valeur estimative des dossiers non encore payés à la clôture de l'exercice, mais dont les sinistres sont survenus avant la date d'inventaire, qu'ils soient connus ou non à cette date.

Rappelons donc une fois encore que la modélisation des risques permet d'avoir la distribution des éléments du bilan (notamment celle des provisions techniques et des placements). Il existe deux familles de méthodes pour déterminer les provisions techniques- PT sans marge de risque: les méthodes déterministes et les méthodes stochastiques.

La modélisation déterministe des provisions techniques permet d'estimer en moyenne l'évolution des engagements. Les paramètres de calcul souvent prudents restent constants ou varient de façon prédéterminée (exemple de la table de mortalité). La modélisation dans cette famille de méthodes pour les PSAP se réalise à l'aide des modèles de cadences ; parmi ces derniers, celui de référence est la méthode de Chain Ladder. Quant aux Provisions Mathématiques, l'approche contrat par contrat est préconisée ; qu'il s'agisse des rentes de conjoint ou d'éducation, des rentes liées à l'arrêt de travail ou autres rentes.

Les modèles stochastiques de passifs permettent d'obtenir une fonction de distribution des provisions. Ils sont donc utiles et se développent de plus en plus depuis quelques années. Ils en existent trois sous-familles : les modèles paramétriques basées sur une loi appartenant à une famille connue de loi dont il faut déterminer les paramètres, les modèles semi-paramétriques qui ne font pas d'hypothèses a priori sur la distribution des provisions mais estiment cette distribution et, enfin les modèles non paramétriques qui simulent des intervalles de confiance pour les provisions sans aucune hypothèses sur la distribution de ces provisions mais qui

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s'appuient sur certaines données de bases (les triangles de règlements par exemple). Ils nécessitent tous la définition d'une mesure de risque.

L'objet même de ce chapitre étant de mesurer l'impact sur le bilan, donc sur les ratios de couvertures, nous ne rentrerons pas trop dans les détails sur certaines méthodes utilisées. Nous présentons quelques méthodes ou détails usuels sur les méthodes utilisées dans la partie annexes des méthodes. Nous rappelons juste l'idée ou l'intuition de ces méthodes et leur intérêt pour nos calculs et éventuellement un petit exemple.

Les modèles stochastiques de passifs sont donc utiles et se développent de plus en plus depuis quelques années. Ces modèles utilisent des techniques de simulations. Comme le précisait Elie et Lapeyre (2001), ces techniques permettent, en général, d'étudier et d'expérimenter un système donné dont on connaît les interactions complexes, de mesurer les effets de certains changements dans les interactions sur le comportement du système, d'expérimenter de nouvelles situations. Nous utilisons dans ce mémoire les simulations de Monte Carlo. Les paramètres à faire varier dépendent du risque à intégrer et l'élément du bilan à modéliser.

L'approche stochastique de détermination des éléments du bilan, qu'il s'agisse des provisions ou des placements, basée sur les méthodes de Monte Carlo a pour but d'étudier un grand nombre de scénarii ou allures possibles, afin de déduire une loi de distribution du montant de provisions ou de placements. Ces méthodes approchent le résultat théorique recherché en effectuant des tirages selon la loi du phénomène observé. L'existence d'un générateur de nombres aléatoires leur sert de base.

Un générateur de nombre aléatoire est un algorithme fournissant une suite de nombres compris entre 0 et 1. Il existe des générateurs pseudo aléatoires implémentés par défaut dans certains langages, notamment C++, Pascal,... qui produisent des valeurs déterministes et parfaitement prévisibles, mais qui sont statistiquement satisfaisantes.

Avec les progrès informatiques actuels, les méthodes de simulations Monte Carlo les plus utilisées sont la technique de l'inversion de la fonction de répartition qui n'est réalisable que si l'on connaît une forme explicite et relativement simple de la fonction de répartition. Une définition sert de base à cette technique :

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Définition : Considérons une variable aléatoire réelle X de fonction de répartition F. On appelle alors inverse généralisée de F, la fonction notée F^-1 définie pour tout réel y compris entre 0 et 1 par :

L'idée de base de cette technique consiste à simuler des réalisations d'autres variables aléatoires (qu'on ne connaît pas) à partir de réalisations de variables qui suivent une loi définie (connue). Le lemme suivant est utilisé à cet effet :

Lemme : Si U est une variable aléatoire de loi uniforme U sur [0,1], alors F^-1(U) a même loi que X. Et si de plus, F est continue surR , alors F(X) suit une loi uniforme U [0,1].

Il arrive parfois que l'on ne dispose pas de formule explicite pour l'inverse de la fonction de répartition, F^-1, c'est le cas particulier de la loi normale ou lognormale que nous avons largement utilisé dans ce mémoire ; dans ce cas, on utilise les algorithmes d'approximation de cette fonction ou des algorithmes spécifiques à la loi que l'on souhaite travailler. Cependant il existe d'autres algorithmes de simulation de la loi normale comme par exemple la méthode de Box Muller ou la méthode du rejet polaire ; des méthodes que nous n'avons pas utilisées donc que nous ne présentons pas dans ce mémoire.

Le montant de la provision avec marge de risque est calibré à travers l'utilisation des mesures de risque, pour un ensemble de provisions simulées stochastiquement. La différence entre la provision avec marge de risque et celle calculée en « Best Estimate » constitue la marge.

Denuit et Delwarde (2006) définissait une mesure de risque comme une fonction ñ qui à un risque X associe un nombre positif noté ñ[X], éventuellement infini ; cette fonctionnelle est telle que, pour ñ[0] = 0, ñ[X] désigne le montant minimum qui, additionné à la perte X en début de période rend la couverture de X "acceptable". C'est donc le capital dont doit disposer la compagnie pour faire face à une perte financière de montant X. Parce qu'il est question d'agréger plusieurs risques ici en tenant compte de leurs dépendances éventuelles, deux principales propriétés des mesures de risques nous intéressent ici : le chargement de sécurité et la propriété de sous-additivité.

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La propriété de sous-additivité est sujette à débat pour le moment : pour Dhaene et al. (2003), le signe de l'effet de diversification ñ [X] + ñ [Y] - ñ [X + Y] devrait dépendre de la structure de

Il existe un ensemble de mesure de risque, notamment la Value-at-Risk (Var), la Tail-VaR ou VaR moyenne, la Conditionnal Tail Expectation (CTE) ou VaR conditionnelle, la mesure de risque de Wang et beaucoup d'autres.

Dans le cadre des consultations pour l'élaboration des normes Solvency II, deux mesures de risques sont privilégiées : la VaR préconisée par le CEIOPS notamment pour l'estimation du niveau de provisions technique avec marge de risque et la Tail-VaR préférée par les parties prenantes pour l'estimation du besoin en capital.

Il existe plusieurs définitions de la Valeur à Risque. Selon Esch, Kieffer et Lopez (1997) ainsi que Jorion (2000), la VaR d'un portefeuille ou d'un actif, pour une durée T et un niveau de probabilité á, se définit comme le montant de perte attendu de façon que ce montant, pendant la période [0,T], ne devrait pas être plus important que la VaR et ceci avec une probabilité de (1 - á). Le graphique n° 4.1.1 montre un exemple de calcul de VaR aux seuils respectifs 75% et 99,5%.

Graphique n°4.1.1 : Exemple de VaR pour une série de provisions suivant une loi normale.

Deux éléments principaux ressortent de cette définition et il est important de les choisir judicieusement : l'horizon et le niveau de confiance.

L'horizon qui se doit d'être adapté aux données et d'être suffisamment court afin d'être estimable.

Le niveau de confiance doit quant à lui refléter le degré d'aversion des gestionnaires face au risque de réalisation d'événements extrêmes sans être trop élevé. C'est une mesure probabiliste.

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On voit bien que la VaR dépend des propriétés de la série X. Elle fournit une information sur la charge de sinistres au-delà de laquelle il y a perte avec la probabilité á et se calcule aisément une fois la répartition de X connue. Par ailleurs, elle ne vérifie pas certaines propriétés des mesures de risques notamment les deux que nous avions cités précédemment. En effet, d'une part, elle ne fournit pas d'information sur la queue de la distribution de la série et donc ne possède pas de chargement de sécurité - on observe des cas de violation de l'inégalité VaR(X,á) = Å[X] pour

á = 0.5 du fait de l'asymétrie liée aux queux de distribution qu'on observe généralement en assurance-; d'autre part, elle n'est pas sous additive, ce qui signifie qu'en réalisant la somme des VaR - ce qui sera le cas pour nos agrégations- de plusieurs branches, on n'a pas une garantie de prudence. Pour palier à cette insuffisance, nous utilisons d'autres mesures de risque de la même famille que les VaR mais qui vérifient ces propriétés : la Tail-VaR et la CTE comme cités ci- dessus.

La Tail Value at Risk au seuil á d'une distribution X, noté TVaR (X, á) est définit par :

Cette mesure est en quelque sorte la moyenne des VaR de seuil supérieur á. Le graphique n° 4.1.2 montre un exemple de calcul de VaR et TVaR aux seuils respectifs 75% et 99,5%.

On peut également approcher la TVaR par la CTE c'est-à-dire la valeur moyenne des pertes au- delà de la VaR, définie par :

Graphique n°4.1.2 : Exemple de VaR et TVaR pour une série de provisions suivant une loi
normale.

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Comme on le précisait un peu plus haut, la TVaR vérifie la propriété de sous-additivité, ce qui explique l'intérêt qui lui est porté dans les modèles de consolidation impliquant l'agrégation des risques. Dans le même temps, elle permet de prendre en compte le comportement de la queue de distribution ; bien que nécessitant un nombre un peu plus important de simulations.

La VaR et la TVaR constituent les deux outils de mesures de risque que nous avons utilisé dans ce mémoire en ce qui concerne les méthodes stochastiques.

Les méthodes présentées ci-dessous concernent les deux secteurs d'activités en fonction de leurs branches.

Les branches considérées en vie sont: Contrats liés aux garantis décès et contrats liés aux rentes (conjoint, éducation). Pour le CEIOPS, il s'agit des branches contrats avec profits et sans profits, des contrats en unités de compte.

Les branches considérées en non-vie sont: Responsabilité Civile-RC Matérielle et Dommages Automobile, RC Corporelle Automobile, Incendie et Dommages aux biens, RC générale.

Il est évident que dans le cadre de la détermination des exigences de marges, il faut modéliser d'une part le passif et d'autre part l'actif et éventuellement de l'adéquation actif-passif. Nous présentons très brièvement les modèles utilisés dans ce cadre. Pour l'actif, et particulièrement le risque de marché, nous ne distinguons pas les familles de modèles mais pour le passif, cette présentation est réalisée selon la famille de méthodes.

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Pour l'actif, nous présentons très brièvement le modèle de risque action et de risque obligation. Notre démarche pour ces types de risque s'inspire complètement du développement de Le Moine et Kaltwasser (2006). En effet, leur étude propose une approche des risques de marché (action et obligation). En marché complet, ils trouvent des résultats qui permettent de déterminer les besoins en capital pour couvrir ces risques. Dans un premier temps, ces auteurs montrent que le besoin en capital est fonction du rendement de l'actif sans risque et de la volatilité du portefeuille pour le risque action. Dans un second temps, ce besoin en capital est estimé à partir d'une approche par quantile. Cette dernière nous intéresse particulièrement pour rester dans la logique de Solvency II.

Ils se basent sur un modèle Black & Scholes³², pour le risque action et avec l'introduction du modèle de taux de Heath, Jarrow & Morton (1987) mais toujours dans une logique Black & Scholes pour le risque obligataire.

Considérons un contexte avec un contrat d'assurance vie en euro, à prime unique P, d'une durée de n ans, et de taux technique r_g et où il n'y a pas de rachat possible avant le terme. Ainsi, l'engagement de l'assureur est de verser P. (1+r_g)ⁿ dans n ans. Il va donc devoir mettre en provision mathématique la somme PM0= P. (1+ r_g)ⁿ/(1+ r_a)ⁿ, où r_a est le taux d'actualisation, c'est à dire le rendement moyen des actifs sur cette période. Par prudence, ce taux doit être inférieur au taux technique, la réglementation le limite d'ailleurs au minimum entre 60% du Taux Moyen des Emprunts d'Etat-TME et 3,5%. Enfin, les actifs ne sont pas vendus avant les n années, les plus values ne sont donc pas réalisées avant la sortie du contrat « et il n'y a pas de participation aux bénéfices venant augmenter les provisions mathématiques avant la sortie. Si on prévoit une revalorisation à la sortie, celle-ci n'intervient qu'en cas de rendement élevé des actifs au terme, et cela n'affecte en rien l'exigence initiale en marge de solvabilité. »

L'assureur va donc placer cette provision mathématique dans un actif S, qu'on suppose³³ suivre un modèle Black & Scholes :

³² L'intuition fondamentale de Black et Scholes fut de mettre en rapport le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent. Pour eux, le prix de l'option d'achat est indiqué implicitement si le sous-jacent est échangé sur les marchés

³³C'est le standard, bien que certaines améliorations soient apportées en prenant en compte d'autres paramètres comme les dividendes (BlackScholes-Merton), ou les options de taux de devises étrangères (modèle de Garman-Kohlhagen) ou même dans la théorie moderne des taux d'intérêt de Vasicek.

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où p est le rendement de l'actif, ó sa volatilité, est Wt est un mouvement brownien standard.

Or, placé dans cet actif risqué (et en pratique, l'actif de l'assureur comporte toujours un risque), une provision mathématique-PM calculée de manière prudente ne permet pas toujours à l'assureur de tenir ses engagements. Les assureurs procèdent généralement par réplication de portefeuille en identifiant une marge qui servira à couvrir la part insuffisante de soldes de placement par rapport aux engagements pris.

Le Moine et Kaltwasser (2006) montrent que la marge de solvabilité-MS peut être déterminée suivant la formule:

avec PM la provision mathématique, r le taux sans risque et la volatilité de l'actif ó sous l'hypothèse de rendements normaux ; et a et b des constantes réelles qui dépendent du taux technique et du taux d'actualisation des engagements. On constate que dans cette expression, la solvabilité n'est pas seulement fonction des engagements, mais aussi de la qualité des actifs, ainsi que du degré de prudence dans l'actualisation des engagements.

Dans leur approche par quantile, ce qui nous intéresse le plus, ils montrent que pour le même contrat (vie en euro, à prime unique P, d'une durée de n ans, de taux technique r_g et sans possibilité de rachat avant le terme), cette marge peut s'exprimer sous la forme :

où (0, 1) et N désignant la densité d'une loi normale centrée réduite; N(-d ) et N(-d ) les

valeurs de cette densité évaluée aux termes d et d . PM= P.( 1 + r ) /( 1 + r ) la provision

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L'intérêt de cette approche réside dans le fait qu'à travers cette expression, on peut déterminé le quantile (1-á)% de la marge de solvabilité ; puisqu'on connaît la loi suivi par ut. En effet, la marge MS (st) est fonction du prix st de l'actif à la date t et puisque ce dernier est fonction de ut alors on peut déduire la loi suivi par MS à la date t par transformation de la densité d'une fonction composée. Le quantile est ainsi obtenu par des simulations Monte Carlo.

Le véritable problème dans tous ces modèles réside dans le choix de la volatilité des actifs. Ho et Lee (1986) d'une part propose une volatilité, ce que nous avons d'ailleurs retenue, de la forme : ó(t,T)=ñ.(T - t), d'une part et Hull et White propose (): ( )

Dans le cas précédent, on n'a considéré qu'un portefeuille action qui est simple à étudier. Mais ce cas ne correspond qu'à une partie de la réalité, car 75 à 80% de l'actif d'une compagnie d'assurance, surtout l'assurance vie est en effet, généralement constitué d'obligations. De plus, pour rester dans la même logique que Fédor (2006), la nouvelle proposition de directive s'oriente vers une pérennisation de cette répartition dans les portefeuilles d'actifs. En effet, considérons pour simplifier qu'il existe sur le marché des obligations d'échéance n ans, fournissant un taux fixe rb = r_g. Pour simplifier les calculs, nous supposons que cette obligation ne verse aucun flux avant le terme et verse à l'échéance le nominal capitalisé au taux rb.

En investissant les provisions mathématiques dans cet actif, l'assureur ne prend donc aucun risque financier en l'absence de rachat. En ce sens, son investissement lui assure de pouvoir fournir le montant garanti dans les n ans. Le problème se pose lorsqu'il y a une sortie de contrat : l'assureur doit alors vendre une partie de son actif. S'il y a eu entre temps une hausse des taux d'intérêt, la valeur de l'obligation aura baissé, et l'assureur ne pourra tenir son engagement avec la seule vente de son investissement. Cela suppose que l'assureur trouve sur le marché les obligations correspondant aux échéances de paiements (T= n ans), ce qui n'est pas toujours le cas. Si l'échéance est supérieure aux n années, même en l'absence de rachats, on se retrouve face dans le même cas de figure, où une hausse des taux fragilise l'assureur. Dans le cas où la maturité de l'obligation est inférieure à n ans, une baisse des taux pose un problème de refinancement, l'assureur ne pouvant trouver sur le marché des produits permettant d'obtenir un rendement

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égalant celui qu'il recevait avec l'obligation arrivée à terme. La détermination de l'exigence de marge nécessite l'introduction d'un modèle de taux d'intérêt : pour rester dans l'esprit Black & Scholes, Le Moine et Kaltwasser (2006) considère un modèle de taux de Heath Jarrow Morton. Dans ce modèle, le zéro coupon d'échéance T est un actif qui verse 1€ à la date T, son prix à la date t est noté B(t, T), et sa dynamique donnée par :

p(t, T) est l'espérance du taux de rendement mais à la différence du cas des actions, c'est l'espérance instantané de B(t,T), et ó(t,T) sa volatilité. Wt est un mouvement brownien standard. L'absence d'opportunité d'arbitrage suppose qu'il n'existe aucune stratégie financière permettant, pour un coût initial nul, d'acquérir une richesse certaine dans une date future. Dans ce cas, ces auteurs montrent qu'en l'absence de rachats, qu'il n'y a pas de risque financier à condition que le taux d'actualisation soit inférieur au taux d'intérêt des obligations à l'échéance ; ce qui est assuré par les réglementations. L'introduction de rachats de contrats avant échéance nécessite la vente d'une partie des obligations pour couvrir les engagements. Ce que nous n'avons pas traité ici.

Pour le passif, nous présentons les modèles selon leur famille. Comme préciser plus haut, nous distinguons deux familles de méthodes: Les méthodes déterministes et celles stochastiques.

L'approche déterministe n'est pas complètement mise de côté dans le projet de directive Solvency II. En effet, l'évaluation des provisions en assurance non-vie dépend de la loi de survenance des sinistres. Et plusieurs modèles permettent cette évaluation (Chain Ladder, Bornhuetter Ferguson,...). Parmi ces modèles, il y en a un qui est central : il s'agit de la méthode Chain Ladder. Le CEIOPS suggère son utilisation dans la détermination de la meilleure estimation (Best Estimate) des provisions pour sinistres. Nous faisons usage de cette méthode dans plusieurs parties de ce mémoire. En assurance vie, nous présentons les méthodes de détermination des provisions mathématiques.

La méthode de Chain Ladder est un modèle de développement par cadences, basé sur le

triangle de liquidation ou des montants cumulés. Ce triangle est la partie supérieure d'une matrice dont les lignes représentent les années de survenance (ou origine) des sinistres et les Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

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colonnes désignent les années de règlement (ou développements). Ainsi un élément _Xi,j désigne la charge de sinistres survenus à l'année i+j et payée jusqu'à l'année j. L'intuition de cette méthode, c'est d'estimer les valeurs futures des prestations sur la base des prestations passées en fonction du comportement de ces derniers. Ce comportement est identifié à travers les facteurs de développement de sinistres. Ces facteurs sont obtenus à partir des techniques statistiques (moyenne arithmétique, pondérée ou géométrique). Nous adoptons ici la moyenne arithmétique. Ainsi donc, pour n année de développement, le facteur de développement Cj associé à l'année j est estimé par la formule :

	Développement (j)
Origine (i)	1	2	...	n-1	n
1	X1,1	X1,2	...	X1,n-1	X1,n
2	X2,1	X2,2	...	X2,n-1
...	...	...	...
n-1	Xn-1,1	Xn-1,2
n	Xn,1

Coefficient de développement	C1	C2	...	Cn-1

L'utilisation de cette méthode suppose que, d'une part, les règlements de sinistres sont stables et, d'autre part, que les facteurs de développement sont indépendants de l'année d'origine des sinistres, des hypothèses que nous avons faites aussi. A partir de ces facteurs de développements estimés, on peut estimer les valeurs de la partie inférieure de la matrice de développement, c'està-dire les prestations futures et qu'on appelle les « ultimes » pour celles de la dernière colonne :

X à i j = C à j + * C à j + * C à n + - i * X i n + - i pour i 2, , n et j= n 2 i , ,2.

A partir de ces valeurs estimées, notamment les valeurs de la dernière colonne. Pour chaque ligne i (année de survenance), la différence Ri, entre la valeur estimée pour cette colonne et la dernière valeur connue constitue la réserve ou la provision pour à payer le sinistre survenu à l'année i. La provision totale pour sinistre à payer R pour les n années de développement est obtenue par l'expression :

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Bien que simple à appliquer, très utilisée et comme toute méthode, elle a ses limites. Dans un premier temps, cette méthode est sur paramétrée d'autant puisqu'il s'agit de réaliser pour un triangle de dimension n, l'estimation des (n-1) paramètres en disposant de n(n-1)/2 valeurs connues. Un test de validation du triangle d'entrée est recommandé. Dans un deuxième temps, les incréments correspondant aux périodes de développement élevées comportent peu d'observations. Par exemple le dernier facteur de développement est déterminé à partir de seulement deux valeurs et est appliqué à toute la colonne. Pour encadrer ce phénomène, il est conseillé d'adopter des techniques d'extrapolation par adéquation à des courbes de référence. Dans un troisième temps, les « effets diagonale » dans le triangle dus à des modifications de cadences de règlements, bien présentes dans certaines branches à déroulement long , ne sont pas prévus par la méthode-la progression des paiements cumulés est supposée identique pour toutes les années de souscriptions. Enfin dans un quatrième, par principe même de Solvency II qui veut mieux prendre en compte le risque, cette méthode ne permet pas de mettre en avant la volatilité de la sinistralité. Heureusement, elle présente l'avantage pratique et capital d'être facilement corrigeable du fait de son interprétation aisée.

La Provision Mathématique-PM- est la moyenne actualisée des flux futurs. Nous considérons le secteur vie avec des garanties décès et les rentes liées à l'arrêt de travail. Les risques considérés ici sont liés à la déformation de table (hausse ou baisse du taux de mortalité) et l'arrêt de travail dû à une incapacité ou à une invalidité.

Elles permettent au bénéficiaire (conjoint survivant ou aux enfants) du contrat de toucher une rente au décès de l'individu assuré. Le risque pour l'assureur est donc par exemple d'observer une déformation de la table de mortalité. Les tables de mortalités décrivent l'extinction progressive d'une population au cours du temps. Il en existe de deux sortes : les tables homologuées par l'autorité compétente-produites par l'Institut National de la Statistique et des Etudes Economiques (INSEE)- et celles dites « d'expérience » produites, elles, par chaque assureur et certifiées par un actuaire indépendant de cette entreprise et agréé. Afin de réaliser des calculs de PM plus pertinent et adapté aux spécificités du portefeuille de l'entreprise et du fait de la liberté de choix de tables qui est donnée aux assureurs, il est préférable d'utiliser les tables d'expérience. Mais nous réalisons certains graphiques sur la base de données de l'INSEE. Les formules situées en annexes de méthodes liées à ce type de risque sont les standards en

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assurance.

assurance vie. Qu'il s'agisse d'une rente viagère, d'une rente temporaire ou d'une rente éducation³⁴, la formule de la PM est globalement la même et à la seule différence des bornes supérieures de sommation. Pour une rente à prime unique d'un montant de 1€ annuel, à échoir sans revalorisation et versées en une fois, la PM est la somme actualisée du rapport nombre d'individus d'âge x+k sur nombre d'individus d'âge x.

Elles permettent de couvrir les personnes en arrêt de travail pour le temps qu'elles sont susceptibles de passer dans cet état. Cet état peut être temporaire ou définitif pour les individus d'une tranche d'âge donnée. Le risque pour l'assureur est donc par exemple d'observer une déformation de la table des cas d'invalidité ou d'incapacité. Les formules situées en annexes de méthodes liées à ces types de risques sont les standards en assurance vie. Qu'il s'agisse d'une incapacité ou d'une invalidité (en attente ou en cours), le principe de calcul de la PM reste globalement identique au cas évoqué pour les rentes.

Somme toute, l'approche déterministe fournit une unique estimation à partir d'hypothèses fixes (table de mortalité, taux d'actualisation), elle décrit un unique scénario ou réalisation et ne laisse pas place à l'incertitude. Le risque n'est donc pas appréhendé de manière optimale par cette famille de méthode. Et selon l'esprit du projet de directive Solvency II, on devrait s'orienter de plus en plus vers les approches stochastiques pour déterminer les composantes du bilan, notamment les provisions. Cependant, les valeurs obtenues par les approches déterministes constituent une référence quantitative pour la projection aléatoire des montants de provisions.

Comme précisé plus haut, nous présentons dans un premier temps deux méthodes relatives aux PSAP-où nous modélisons le risque de volatilité-: une méthode de type paramétrique et une autre de type non paramétrique. Ces deux se basent sur la méthode Chain Ladder. Dans un second temps, nous évoquons le risque d'erreur de spécification de table et d'aggravation du risque (risque intrinsèque) en ce qui concerne les PM.

Ce sont des méthodes qui se basent sur une loi appartenant à une famille connue de lois, dont il suffira d'estimer les paramètres. Deux lois sont utilisées dans le cadre de notre étude : la

³⁴ Ici une petite correction liée au nombre d'individus d'âge k dans la loi de poursuite d'études au niveau de chaque âge k : le rapport _sx+k /sk.

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loi normale et la loi log-normale³⁵. Nous retenons donc comme moyenne de ces lois, la provision calculée par la méthode déterministe (Chain Ladder). Ensuite, à partir des données disponibles de chacune des branches considérées, nous estimons l'écart type. A cet effet, nous adoptons la méthode de Mack (1993). Cette méthode permet d'estimer la volatilité de l'estimateur des provisions techniques sur base de la méthode Chain Ladder. Trois hypothèses soutiennent cette méthode. La première suppose une indépendance d'exercice ; c'est-à-dire que les années de survenance sont indépendantes entres elles. La deuxième hypothèse indique que, conditionnellement aux montants cumulés des prestations passées et quelle que soit l'année de survenance du sinistre, le facteur de développement est en moyenne le même. Enfin, la troisième porte sur la variabilité au sein du triangle de liquidation ; elle suppose que la volatilité au cours d'une période de développement est la même quelle que soit l'année de survenance du sinistre.

Il conclut que sous ces hypothèses, l'erreur standard de la provision à constituer (R) peut s'écrire sous la forme :

Une fois les deux paramètres (la moyenne et l'écart type) estimés et connaissant la loi de distribution de la provision technique, on peut calculer aisément les VaR et TVaR pour les niveaux de risque souhaités. Peu aisée à interpréter, la robustesse de cette méthode est mise en cause dans certains cas : les triangles « imparfaits » dus aux données manquantes ou aux sinistres exceptionnels ou même aux erreurs comptables. Les méthodes non paramétriques facilitent cette tâche de robustesse et d'interprétation.

On a précisé plus haut certaines limites de la méthode Chain Ladder ; on a évoqué par exemple son sur-paramétrage et sa sensibilité à une forte variation. On a dû faire une hypothèse sur la loi de distribution des provisions techniques : ce qui n'exclut pas des erreurs de

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spécification de loi. Il convient d'adopter des méthodes permettant de contourner ces contraintes : le Bootstrap ou encore la méthode de « rééchantillonnage » offre cette opportunité. L'intuition de cette méthode, c'est d'obtenir à partir d'un échantillon initial de taille T donné, de nouvelles informations statistiques en stimulant plusieurs (N) nouveaux échantillons de même taille. Autrement dit, on apprend à partir d'une expérience par répétition. Et comme on dit souvent qu'avec le temps les choses finissent par devenir normales ; on obtient ainsi, des estimateurs plus robustes et moins contraints. Cependant, cette méthode repose sur deux hypothèses qui constituent un peu ses limites : l'indépendance et une distribution identique des lois de chacun des éléments composant l'échantillon de base. Deux hypothèses qui ne sont pas respectées, dans le cadre des triangles de développement auxquels nous voulons appliquer cette méthode ; car, les règlements incrémentés ne sont pas indépendants et leurs distributions ne sont pas identiques -des paiements de recours ou des développements longs de certaines branches par exemple, rendent les distributions non identiques. Afin de contourner ce problème, on utilise le « Residuals Bootstrap » basé, non pas sur les observations directes du triangle mais les écarts normés (centrés et réduits) de ces observations à l'aide des résidus de Pearson. Ainsi donc, pour un triangle de règlement de taille n, on a pour la cellule (i,j):

y représente la value observée et celle prévue par le modèle et ( à ) à la variance dans

Certaines notations sont nécessaires pour appliquer cette méthode aux triangles de règlements sur la base de Chain Ladder. Ainsi, pour la cellule (i, k):

C i k , D i k , D i k et m à i k désignent les valeurs des triangles respectivement brutes non cumulées, brutes cumulées, prédites cumulées et prédites non cumulées ;

r représente la valeur dans le nouveau triangle des résidus, après ré échantillonnage

et D i k désignent les valeurs des nouveaux triangles respectivement non cumulées, et

Dans un premier temps, on détermine les facteurs de développement à l'aide de la méthode Chain Ladder appliquée au triangle de développement des montants cumulés _(Di,k). Dans un deuxième temps, on crée un nouveau triangle à partir des dernières valeurs observables (valeurs

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de la diagonale) du triangle de départ et des facteurs de développement ; les valeurs de la
diagonale sont divisées par les coefficients de Chain Ladder : on obtient un triangle nommé

Dans un troisième temps, on détermine les valeurs du triangle des résidus de Pearson ,

Dans un quatrième et dernier temps, on réalise maintenant le Bootstrap. Ce dernier consiste à générer de nouveaux triangles de montants cumulés par ré échantillonnage aléatoire des résidus calculés ; les valeurs de ces montants sont obtenues par la formule :

On finit donc par sommer ces montants et à l'aide la méthode de Chain Ladder, on obtient ainsi les nouveaux montants cumulés. On refait l'expérience de cette quatrième phase plusieurs fois (N) : on obtient ainsi N valeurs différentes des provisions et on peut ainsi en déduire la loi de distribution.

A titre complémentaire et en restant dans l'optique de la nouvelle proposition de directive, nous actualisons ces provisions. En effet, cette actualisation permet de ramener les valeurs futures évaluées par la méthode du Bootstrap à la date courante. Elle est réalisée à partir des taux financiers : courbe des taux selon la zone ; nous adoptons celui suggéré par le CEIOPS. Rappelons toute fois cette formule :

Schéma n°4.1.1 : Synthèse de la procédure du Bootstrap sur base des triangles de
liquidation.

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Il s'agit ici de présenter très brièvement les méthodes d'identification de la volatilité de la provision mathématique déterministe plus haut.

Le risque de table correspond à une déformation (hausse ou baisse des valeurs) des tables. Cette déformation dépend du type de contrat modélisé. Pour les rentes, le risque pour l'assureur est lié à une survie plus longue de l'assuré. Quant aux contrats en cas de décès, ce risque est lié à une augmentation des décès. En utilisant les tables réglementaires TV 88-90 et TD 88-90 associé respectivement aux contrats vie et décès, on peut observer le phénomène d'aggravation sur le graphique n° 4.1.1.

Il faut noter que la déformation des tables est croissante depuis quelques années en fonction de
l'âge et n'est pas homogène. Une observation du graphique n° 4.1.2 qui représente l'évolution
des taux de mortalité en fonction de l'âge (sur données de l'INSEE) montre bien ce fait et révèle

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dans le même temps, la difficulté de modélisation. Cependant, Brass (1971) suggère un modèle qui permet d'appréhender cette déformation. Son modèle est de la forme :

A partir de ce modèle, on peut réaliser une déformation de la table. En effet, ce modèle établit
une relation linéaire entre le Logit des quotients de mortalité étudiés q_x et ceux d'une population

selon une loi N(logit(q _x );ó) où ó est un coefficient d'abattement³⁶ global des quotients annuels

q_x des tables de mortalité et calibré à 0,88. Ainsi le q_x^* simulé est centré autour de sa valeur déterministe issue du logit appliqué à la table d'entrée. Une fois la première simulation réalisée, par inversion de la fonction Logit, on obtient :

modèle de déformation de table. On peut obtenir donc une distribution des PM. En ce sens, pour une simulation i donnée, la PMⁱ est donnée par l'utilisation de la i^ème table simulée (table des qÇ). Graphique n° 4.12 : Risque de table lié à une aggravation

³⁶ Il correspond à une faible marge de risque que l'on estime à 60% de la table d'origine en VaR et appliqué sur le marché (la plupart du temps par des réassureurs).

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En simulant le décès ou la survie de chaque individu pour l'ensemble des années de projection, on modélise ce type de risque. Ainsi, pour chaque année de projection, on dispose des q_x simulés notés q_x' ; la probabilité que la rente soit versée est égale à 1- q_x' (survie ou maintient de l'assuré en vie). On effectue donc un tirage de Bernoulli de paramètre (1- q_x') pour déterminer si la rente est versée (1 si oui et 0 sinon). Les flux sont ensuite actualisés avec un taux règlement constant pour toutes les années dont nous avons fait référence plus haut. Par exemple pour un portefeuille de p individus, d'âge xj à la souscription, souscrivant à une garantie pour rente de conjoint temporaire d'un montant de M et un taux d'actualisation constant égal à r, la provision mathématique associée est donnée par l'expression :

i =

X x

- j

avec X à l'age limite.

j =

1 0

k j =

(1 )

+ r

k j

On répète ainsi N fois cette simulation pour obtenir N valeurs de PM et ainsi calculée la VaR associée.

Il est ensuite possible de modéliser conjointement ces deux risques en tenant compte de leurs structures de dépendance. Nous nous contentons d'une copule de Gumbel dont nous rappelons les propriétés à l'annexe des méthodes.

Solvabilité II: Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en assurance

CHAPITRE IV : IMPACT DE L'UTILISATION D'UN MODELE INTERNESUR LA VALORISATION DU BILAN EN ASSURANCE NON-VIE ?

SECTION I : Approche méthodologique et données utilisées

PARAGRAPHE 1 : Démarche méthodologique adoptée

CHAPITRE IV : IMPACT DE L'UTILISATION D'UN MODELE INTERNE
SUR LA VALORISATION DU BILAN EN ASSURANCE NON-VIE ?