Mesure de l'interdépendance du marché boursier marocain par le modèle DCC-GARCH

3.1.4 Modèle autorégressif héteroscedastique ????CH (??, ??)

Les processus ARCH visent également à rendre compte du fait que la variance conditionnelle n'est pas constante et proposent une façon de l'estimer basée sur le carré des rendements. D'après ce qui vient d'être dit, on traitera cette classe de modèle avec méfiance : il est possible que la volatilité soit non constante au cours du temps, mais qu'un modèle ARCH ou leur généralisation GARCH ne captent pas cet effet, voire concluent dans certains cas à l'absence de dépendance temporelle dans les rendements.

On présente dans ce qui suit les modèles ARCH et GARCH ainsi que leurs principales propriétés.

Les modèles furent initialement proposés par Engle (1982) et Bollerslev (1986), Tim Bollerslev étant le thésard de Robert Engle. Le premier modèle fut celui d'Engle, et visait à obtenir une modélisation de la variance conditionnelle de l'inflation (en glissement mensuel) de la Grande Bretagne. Un modèle ARCH (1) est de la forme :

{

??t = vh_t ??t 2 h_t = ??0 + ??1??t-1 avec ??_t~??(0,1); h_t représente la variance conditionnelle du processus ??_t. Les moments

conditionnels sont les suivants :

E[??_t |h_t] = E[vht??t |h_t] = vht E[??_t |h_t] = 0

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Il s'agit donc encore de processus applicables à des séries préalablement centrées, comme dans le cas des ARMA. Notons que les séries des rendements sont théoriquement naturellement centrées : La variance conditionnelle n'a plus rien à voir avec celle des ARMA :

V [??_t |h_t] = V [vht£t |h_t] = h_t V [£_t |h_t] = h_t E[£_t²|h_t] // E[£_t²|h_t] = 1 (Par hyp????hès??)

= h_t

Ainsi, contrairement aux modèles ARMA, la variance conditionnelle d'un processus ARCH n'est pas constante au cours du temps. C'est ce qui fait tout l'intérêt de ces processus, notamment pour les séries financières. Gardons cependant à l'esprit que ces modèles s'appuient sur une mesure de la variance proche de ??_t². En effet, on a :

E[??_t²|h_t] = E[h_t£_t²|h_t]=h_t

Ceci tient simplement au fait que ??_t soit naturellement un processus centré. Si ces modèles

semblent d'un abord pratiques, il n'en reste pas moins qu'ils produisent naturellement des erreurs de

mesure sur la volatilité.

Le calcul des moments non conditionnels permet de déterminer quelques conditions à remplir

afin de s'assurer de la stationnarité du processus. On détermine l'espérance à l'aide de la loi des

espérances itérées :

??[??_t] = ??[E[??_t|h_t]]

= E[0]

=0

Pour ce qui de la variance, il est possible de procéder par récurrence. Utilisons tout d'abord la

loi de la décomposition de la variance :

V [??_t] = E[V [??_t |h_t]] + V [E[??_t |h_t]]

= E[h_t] + 0

On en déduit alors l'équation suivante :

V[??_t] = E[h_t]

= E[co₀ + co1??t-1

2 ]

= co0 + co1E[??t-1

2 ]

= co0 + co1V[??t-1]

On obtient ainsi une formule de récurrence permettant de déterminer la variance non conditionnelle du processus. Il suffit, pour y parvenir, d'itérer la formule n fois, puis comme dans le cas des ARMA, de passer à la limite. On sait que :

V[??_t] = co₀ + co1V[??t-1] V [??t-1] = co0 + co 1V[??t-2] V [??t-2] = co₀ + co 1V [??t-3]

D'où :

V [??_t] = co₀ + co₁(co₀ + co1(co ₀ + co₁V [??t-3])) = co0(1 + co1 + co₁²) + co₁³ V [??t-3]

D'où la formule générale :

??

V [??_t] = co₀ (1 + ? co₁^?? ) + co₁^??+1V [??t-(??+1)] ??=1

= co0 1 co₁^?? 1 + co1ⁿ⁺¹V[xt-(n+1)]

i-0 J

D'où si |co₁| < 1, on a , lorsque n - +00

co0

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n

V [x_t] = 1 -- co₁

Cette dernière condition est nécessaire pour assurer l'existence de la variance, c'est à dire :

V[x_t] < 00

Cette condition est nécessaire pour obtenir un processus stationnaire (variance finie et indépendante

du temps). Il est nécessaire d'imposer une seconde condition : les variances conditionnelle et non

conditionnelle doivent être naturellement positives (la variance est le carré de l'écart type). La positivité

de la variance conditionnelle implique naturellement que :

co0 > 0

co₁ > 0

Ces deux conditions impliquent naturellement que la variance non conditionnelle, dotée de la

condition |co1|< 1, soit positive. Remarquons finalement que, dans le cadre d'un processus ARCH, la

variance conditionnelle ne coïncide pas avec la variance non conditionnelle, ce qui est précisément ce que

nous recherchions.

Ultime propriété d'un processus ARCH (1), il est possible de montrer que le carré du processus

admet une représentation AR (1).

Notons v_t la différence entre x_t²et h_t. On a alors :

h_t = co0 + co1xt-1

2

H x_t² -- v_t = co0 + co1V[xt--1]

H x_t² = co0 + _{co1V[xt_1]} + v_t

On retrouve ainsi un processus AR (1) sur les carrés des résidus. Ceci a plusieurs implications pratiques :

- D'une part, un processus ARCH (1) ne semble pas saisir de façon adéquate les processus de volatilité

financière : on a vu lors des applications des processus ARMA que la volatilité de certains actifs semble présenter

une structure plus proche des ARMA (retour à la moyenne en cas de choc importants) que des AR. Il sera

donc nécessaire de complexifier légèrement la chose, afin d'accommoder cette caractéristique empirique.

- Seconde implications pratique, l'identification d'un ARCH (1) ne doit pas poser de

problème, si l'on s'appuie sur ce qui a été dit plus haut au sujet des AR : il suffit d'étudier les

fonctions d'autocorrélations simple et partielle pour se faire une idée de l'ordre du processus à

retenir. On étudiera ceci au cours des applications empiriques proposées plus loin.

Ce qui vient d'être dit au sujet des ARCH (1) peut se généraliser aisément au cas des processus ARCH(p).

Un processus ARCH(p) est un processus x_t qui est de la forme :

{xt= -/ht e_t

2

h_t = co0 + co1xt-??

avec e_t--N(0,1) .

Comme précédemment, on fournit les moments conditionnels :

E[xt|xt-1] = 0

V [x_t |xt-1] = h_t

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Conditionnellement à l'information disponible à la date t, un processus GARCH est un processus de moyenne (conditionnelle) nulle et de variance égale à h??. Qu'en est-il des moments non-conditionnels ? L'espérance ne pose pas de problème, à la condition d'utiliser la loi des espérances itérées :

E[??_??] = 0

Pour ce qui est la variance, il est ici nécessaire de déterminer, comme précédemment, une formule de récurrence pour parvenir finalement à exprimer la variance en passant à la limite. On ne refait pas ici les calculs :

on se contente de fournir le résultat. Si |? ??1,?? < 1

?? , alors la variance du processus existe et est de la forme :
??=1

??[????] = ??0

1-? ??1,??

?? ??=1