Chapitre 2 :
FORMULATION THEORIQUE DE L'EQUATION
DE
COMPORTEMENT DE LA FLECHE EN VIBRATION DE
FLEXION D'UNE STRUCTURE
ORTHOTROPE.
Les vibrations sont omniprésentes dans tous les
équipements du secteur industriel provoquant parfois un
disfonctionnement de la machine. Ainsi, les vibrations mécaniques
doivent être prises en charge au cours de la conception des
matériaux avant d'être mis en application dans la conception des
structures. Le présent chapitre, a pour objectif de formuler
l'équation générale du comportement de la flèche
d'une poutre et d'une plaque d'un matériau composite de type pli
unidirectionnel ou orthotrope et stratifié croisé
symétrique ou antisymétrique. Pour y parvenir nous allons d'abord
ressortir l'équation de mouvement d'un stratifié dans le cas de
la flexion d'une plaque de Love-Kirchhoff puis sur une poutre de
Euler-Bernoulli en nous appuyant sur la théorie classique des
stratifiés, ensuite résoudre cette équation par la
méthode de séparation des variables et la méthode de
Rayleigh-Ritz, et enfin donner l'expression de la flèche pour chaque
condition aux limites.
Chapitre 2 : Formulation théorique de
l'équation de comportement de la flèche en vibration de flexion
d'un composite
2.1. Définition des paramètres du
problème.
Les structures composites traitées dans le cadre de
notre travail sont des plaques minces de Love-Kirchhoff et des poutres en
l'absence des couplages membrane-flexion-torsion.
? v ( x ,
y , t ) ? ? z ?
x
? ( , , ) ? ( , , )
? w x y t w x y t
2.1.1. Champ de déplacement cinématiquement
admissible du problème
La structure ne subissant aucun comportement en membrane, nous
avons :
?
u (x, y, t) ?
?z?y
0
;
?
Il vient : (2.1)
2.1.2. Champ de déformation
Le champ de déformation prend uniquement des
déformations de courbures dues à la flexion.
f
?? 2w0
? ? 2
? ?
? ?2w0
z x
? ?
?
?
(2.2)
21
zk ?? z y2
? ?
? 2 w
? ? ? ? ? ?
2z x y
??? ? ?
?
?
? ?
0 ? ? ?
2.1.3. Champ de déformation
La loi de Hooke à l'échelle du pli k, se
réduis à l'expression :
Q:2Q161 k 1
a = zQ'k
=z[Q:1
2
xy
Q16 Q
6 Q66 Jk k J
k
Q12 Q22 Q26 kyy
(2.3)
2.1.4. Equation constitutive et condition
d'équilibre dynamique de la structure L'équation
constitutive prend en compte les efforts appliqués à la
structure. Dans notre cas, nous avons à l'échelle du
stratifié :
?M 1 ?D D D 1 ?k 1
xx 11 12 16 xx
? ? ? ? ? ?
(2.4)
(2.5)
M ? ?Myy D12
D22 D26 kyy
??Mxy ???D16 D26 D66
????kxy ?
En développant, nous avons :
xx 11 xx 12 yy 16
M =Dk +Dk +Dkxy M = D
k + D k D k
yy 12 xx 22 yy +
26 xy
M = D k + D k +
D k
xy 16 xx 26 yy 66
xy
Chapitre 2 : Formulation théorique de
l'équation de comportement de la flèche en vibration de flexion
d'un composite
En l'absence des charges transversales , et des forces de
volumes, l'équation d'équilibre
dynamique est :
(2.6)
D'où : (2.7)
a 4 2
w a w
0 0
D ? ? 0
a a
x t
Il vient :
(2.8)
Cette équation est celle du mouvement transversal ou de
la déformée d'une structure orthotrope ou unidirectionnelle.
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