Evolution et révolution de la logique formelle des présocratiques à Georg Bool

C. Interprétation de la logique des classes

La logique des classes peut être interprétée de différentes manières. C'est justement ces différences dans l'interprétation qui ont été à la base du courant de l'algèbre de Boole, mieux des algèbres de Boole, car ces algèbres Booléennes sont différentes les unes des autres par le fait qu'elles n'interprètent pas toutes de la même manière les opérateurs de base (+, ., -, =). Il sied de préciser que le courant des algèbres de Boole n'est pas l'oeuvre exclusive de Boole seul, quantité de chercheurs y ont apporté leur contribution.

Toutefois, Boole distinguait deux types de propositions, à savoir : les propositions primaires et les propositions secondaires(^51(*)).

Les propositions primaires sont dépourvues de valeurs de vérité, c'est-à-dire qu'elles ne sont ni vraies ni fausses ni disponibles à l'être. Bref, ces propositions ne reçoivent aucune valeur de vérité.

Nous nous proposons d'illustrer quelques exemples des propositions primaires.

Soit la proposition suivante : tout y est x.

En algèbre classique, nous pouvons la représenter comme suit : y.x = y. On pourra la lire de la manière suivante : l'intersection de y et x équivaut à y pour signifier que tout y est x.

En logique des classes, conformément aux informations fournies ci-haut, nous pouvons formaliser la même proposition comme suit : y = x et on lira tout y est x, car le signe de l'identité correspond à la copule est.

Comme nous le savons déjà, Boole a été influencé par la théorie de la quantification de W. Hamilton, laquelle a été reprise et améliorée par De Morgan. Aussi, notre propositions s'écrira de la manière suivante : y = v x et se lira tous les y sont quelques x, car v est l'opérateur de sélection de la classe des éléments communs à y et x. Autrement, c'est le quantificateur particulier.

Maintenant nous pouvons formaliser les propositions de W. Hamilton à l'aide de la logique des classes.

Termes mnénotechiques	Propositions classiques	Logiques de classes
U	Tous les y sont tous x	y = x
I	Quelques y sont quelques x	vy = vx
A	Tous les y sont quelques x	y = vx
Y	Quelques y sont tous les x	vy= x
E	Aucune y n'est aucun	y= (1-x)
W	Quelques y ne sont pas quelques x	vy = v(1-x)
	Aucuns y ne sont quelques x	y =v(1-x)
O	Quelques y ne sont aucun x	vy = (1-x)

Jusque là, tout semble simple. Cependant, lorsque l'on veut donner la forme d'une équation du premier degré à ces propositions, les difficultés interviennent.

-x

En algèbre classique, l'équation y = x équivaut à y -x = 0, car il y a un principe mathématique qui stipule que : " si vous ajoutez une même quantité aux deux membres de l'équation, l'égalité ne change pas ". Ainsi, comme c'est x que nous voulons déplacer, on ajoutera aux deux membres de l'équation la quantité , ce qui nous donnera : y -x = x-x; et par la simplification, nous obtiendrons : y - x = 0.

En logique des classes, cette permutation n'est pas valide, car elle entrainerait l'interprétation suivante : le complément de x, c'est-à-dire y, est nulle.

Toutefois, avec le cinq axiomes que nous avions évoqués, il y a lieu de faire plusieurs permutations valides.

Quant aux propositions secondaires, nous disons qu'elles portent sur des classes de moments du temps où elles sont vraies. En termes clairs, les propositions secondaires sont pourvues de valeurs de vérité temporaires. Cela signifie que les propositions secondaires peuvent être vraies à un moment et fausses à un autre. Néanmoins, c'est par elle (les propositions secondaires) que Boole exprime la plupart des opérations propres à la syllogistique traditionnelle (conversions, syllogismes, etc.) et définit la notion générale de fonction logique. Il peut ainsi considérer la syllogistique comme un cas particulier d'une méthode algébrique plus générale.

Voici un exemple d'une proposition secondaire :

Soit la proposition suivante : "les richesses se composent de substances quantitativement limitées, échangeables, donnant du plaisir ou protégeant contre la souffrance".

En posant :

W : les richesses;

S : substances quantitativement limitées;

T: échangeables;

P : donnant du plaisir;

r: protégeant cotre la souffrance.

Nous obtiendrons l'Ebf (expression bien formée) suivante:

W= st[p+r (1-p)]

* ⁵¹ Cfr Jean François Mattei, op.cit, p.1630