Evolution et révolution de la logique formelle des présocratiques à Georg Bool

IV.1.2. Eléments de la logique des classes

A. Les classes, les symboles littéraux et les opérateurs de base

· Les classes

Il y a principalement deux classes chez Boole : la classe universelle ou l'univers de discours des objets concevables symbolisé par 1 et la classe nulle représentée par O. Ces deux classes sont des constantes. A ce propos, Lalande définit une classe logique de la manière suivante : " ensemble d'objets définis par le fait que ces objets possèdent tous et possèdent seuls un ou plusieurs caractères communs" (^50(*)). La classe nulle ou vide ne possède qu'un seul caractère, celui d'être nulle ou vide.

· Les symboles littéraux

Les symboles littéraux tels que x, y, z (...), qui représentent les choses visées par les concepts et qui correspondent aux substantifs et aux adjectifs, sont eux-mêmes des classes quelconques, mieux des sous -classes de la classe universelle, à la seule différence que les symboles littéraux sont des variables, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas des contenus fixes, ils n'ont des contenus que ceux qu'on leur attribue.

Soit la proposition suivante : tout mariage est heureux.

Intentionnellement (c'est-à-dire en compréhension), le prédicat heureux désigne la classe de toute chose heureuse alors qu'extentionnellement il désigne au moins un individu de la classe des choses heureuses: le mariage.

Quant à la classe complémentaire, elle est obtenue par la soustraction de la classe universelle par une classe quelconque et sa formule donne : (1-x) ou (1-y) ou encore (1-z).

· Les opérateurs de base

Boole utilisait quatre opérateurs de base (+, ., -, =) qui représentent respectivement la réunion ou la somme de deux classes, l'intersection de deux classes ou le produit logique, l'exception de certains éléments dans une classe donnée et l'identité extentionnelle, laquelle identité correspond à la copule Est de la forme de la proposition classique S est P.

Un cinquième opérateur "v" est le sélectionneur de la classe des éléments communs à x et y, c'est-à-dire que c'est le quantificateur particulier. Par conséquent, une variable précédée de "v" est particulier alors que celle qui n'en est pas précédée est universelle.

* ⁵⁰ Lalande, Op.cit, p.