A. Approche analytique simple
Supposons que la demande pour une ressource naturelle de type
non renouvelable soit linéaire et stable dans le temps.
L'inverse de la courbe de demande pour l'année t
s'écrit alors : p t = a - bq t
(1)
Le bénéfice total tiré de l'extraction
d'une quantité durant l'année t est égal à
l'intégrale de
qt
la fonction :
qt
Bénéfice total = =
? a - bq t dq
( )
0
|
b 2
? -
?? ( aq q
2
|
) ?
??
|
0
|
qt
|
(2)
|
|
b
BT = aq - q t (3)
2
t t 2
Nous admettons ici que coût marginal d'extraction
est constant et égal à c. le coût total
d'extraction d'une quantité quelconque qt sera :
CT t = cqt (4)
Le stock total de la ressource exploitable estQ.
L'horizon d'exploitation est T. L'allocation optimale intertemporelle suppose
la recherche du bénéfice net actualisé maximum sous la
contrainte de stock.
BT CT t
t -
Le bénéfice net actualisé par
période s'écrit : BN t t
= (5)
(1 )
+ r
BN
Ce qui est égal ici à :
b
2
aq q cq
- -
t t t
(6)
2
t t
=
(1 )
+ r
Le programme optimal sera donc :
Max
q t
t
? t
T t t
aq q
-
2
=
1
(1 )
+ r
b
2
t-1
- cq
T
t = 1
Pour résoudre ce programme on écrit le lagrangien
:
b
aq q cq
2
T t t t T
- -?
= + ?
? Q q ?
2
L - ? ? (7)
1
(1 ) t t
ë
-
+ ? ?
r
t = 1 t = 1
?L a bq c
- -
t
- ë
=
avec t=1,2,.....,T (8)
1 0
=
T
Q q
- ? = (9)
0
t
t = 1
L'équation (8) nous indique que dans un programme
d'allocation intertemporelle efficiente, les bénéfices marginaux
nets actualisés doivent être égaux à ë
pour chaque période, donc être égaux entre eux.
Cette équation peut être réécrite de
la façon suivante :
Pt c ë
- =
|
(1 )t
+ r
|
-
|
1
|
(10)
|
|
Le coût marginal étant égal à c,
on constate que la règle habituelle d'égalisation entre prix et
coût marginal ne tient pas ici. Il s'introduit un autre terme. A la
période 0 ce terme est égal àë. Il
s'interprète comme la rente de rareté (ou royalty, ou
coût d'usage) reflet du coût d'opportunité associé
à la perte d'une unité de ressource pour la consommation future.
En effet, ce prix fictif associé à la contrainte de stock retrace
le changement de valeur de la fonction objectif à la suite d'une faible
variation de la contrainte. On a donc une indication de l'accroissement de
bénéfice résultant du maintien d'une unité
supplémentaire in situ ou de la réduction de
bénéfice de la disparition d'une unité
supplémentaire in situ.
B. Approche planifiée, approche
décentralisée, monopole
1. Exploitation intertemporelle optimale. Approche
planifiée
On recherche les conditions nécessaires pour une
exploitation intertemporelle optimale, dans le cadre général
où les coûts sont affectés par la taille du stock
résiduel.
On considère n firmes identiques dont les coûts
totaux d'extraction sont du type :
C = C (y t , x t
) avec yt la production en période t et xt le stock
résiduel.
Les coûts peuvent être reliés positivement,
négativement au stock, ou être indépendants. On supposera
en général qu'il y a une liaison négative.
Nous supposons qu'un grand nombre de firmes identiques sont sous
le contrôle d'un planificateur. Il va s'agir de déterminer quelle
quantité doit-on extraire de la ressource chaque
période. La mesure du bénéfice est
constituée par le surplus donné par l'intégrale de la
demande pour la ressource : avec ny
? n y t P z d z t = consommation dans la période
t.
( )
0
Le bénéfice net est la différence entre
bénéfice et coût.
T ny t
Le problème est alors du type : 0 0 ( ) ( ,
)
? ? -è
Max P z dz nC y x e dt
t
? ? ? ? ? ?
- t t
y t
dx
Sous contrainte de : t = -
ny t
dt
Et de x0 = Xmax
On peut traiter ce problème en termes de
contrôle optimal en considérant simplement la valeur courante du
hamiltonien (et non la valeur actualisée). Le hamiltonien courant pour
ce problème est :
nyt
H=?
c 0
|
P z dz - nC y t xt -
ì nyt
( ) ( , )
|
|
Les conditions de premier ordre sont :
· 0
? =
H c
? yt
|
( t )
P ny
|
? C
- - =
n n ì 0 (11)
? y t
|
~ - = -
?
ì èì
~ = + n
x t
C
?
(12)
?xt
· d x t H c
?
=
dt ì
?
|
|
d x
|
t
|
= - (13)
y t
|
|
|
|
La condition (12) conduit à un résultat plus
complexe s'agissant de la règle de Hotelling. En effet, si 0
? =
? x t
marginal d'exploitation + rente de
rareté) P = CmE + ë .
C
, alors on retrouve la relation fréquemment
évoquée (prix = coût
Si par contre on a : 0
? <
C
comme c'est assez fréquemment le cas, alors le taux de
?xt
changement de la rente de rareté est inférieur aux
taux d'intérêt.
L'écart constitué par
|
?
?
|
C
|
est une forme de dividende associé au maintien d'une
unité dans
|
|
|
le stock pour sa contribution à l'abaissement du niveau
des coûts d'extraction.
2. Approche en terme de concurrence /
planification
Ici, au lieu d'un planificateur cherchant à rendre
maximum le bénéfice social net, nous avons affaire à une
firme opérant dans des conditions de concurrence pure et parfaite. Cette
firme est une des n firmes considérées auparavant. Elle est en
position de preneur de prix avec
p=p(ny) .
Le problème se met alors sous la forme :
T
M a x p y c y x e d t
? -
- è t
0 ( , )
[ ]
t t t
y t
d x
Avec t = -
y t
d t
x 0 = Xmax
Le hamiltonien courant pour ce problème est :
H c = py t - c(y
t ,x t ) -ø y t = 0
Les conditions de premier ordre donnent notamment les deux
résultats suivants :
? H
· 0
c =
? y t
( t )
p ny
(14)
?yt
ø0=
?C
- -
H c
? xt
?
· ø èø ~ - = -
?
C (15)
xt
ø è ø
~ = +
?
Les conditions sont identiques aux précédents
sachant que ì =ø. Comme les équations et
les paramètres sont également identiques, les solutions sont les
mêmes.
3. Monopole
Compte tenu de l'importance et de la fréquence de ce
type de structure de marché, il est important de s'interroger sur
l'effet qu'il faut en attendre en matière de profit d'épuisement
de la ressource.
Par rapport au modèle précédent une seule
différence intervient, elle résulte du fait que le monopole prend
en compte l'influence du niveau de production sur le prix.
?
(16)
H
?
c ?
d p C
= 0 p y d y y ø
+ - -
t 0
? =
y t t t
La rente de rareté ou royalty est alors la
différence entre le revenu marginal (constitué
des deux premiers termes) et du coût marginal
(troisième terme).
?
ì è ì
~ = + n
?
C
(17)
xt
En général, la production et donc le profil
temporel d'utilisation de la ressource est différent de la production en
situation de concurrence. Ceci dépend de la demande et de la relation
entre prix et revenu marginal. Il y a bien sûr une tendance naturelle du
monopole à retarder l'épuisement du stock dans la mesure
où il parvient à maintenir des prix plus élevés. La
figure 2 ci-dessous permet illustrer le profil d'épuisement et le profil
des prix optimaux d'une ressource non renouvelable en situation d'exploitation
concurrentielle et monopolistique. Il ressort de cette figure que le monopole
à un profil d'épuisement plus long (48 ans) contre 28 ans en
situation de concurrence dans la mesure où le monopole pratique des prix
optimaux plus élevés.
Figure 1 : profil d'épuisement et des prix
optimaux d'une ressource non renouvelable en situation de concurrence et de
monopole
Profil d'épuisement d'une ressource non
renouvelable
Exploitation concurrentielle et monopolistique
|
Stock résiduel
|
200
150
100
50
|
|
|
|
|
|
4
Prix
milliers
3
2
1
0
0 10 20 30 40 50
Temps t
Profil de concurrence Profil de
monopole
5
Profil des prix optimaux
Exploitation
concurrentielle et monopolistique
0 10 20 30 40 50
Temps t
Source : Point, P. (2004)
| 
