Apport des mathématiques dans la compréhension des phénomènes économiques (Approche sur la theorie de la demande)

II.1.2. Les équations

Une équation est une formule d'égalité entre des grandeurs qui dépendent les une des autres.

1. Equations linéaires

Par équation linéaire, on entend toute expression de la forme :

A₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = b

Ou encore

? a_ix_i = b

Où, ai représente des nombres réels appelés « coefficients de xi » ;

b est le terme indépendant et

ni représente les variables ou les inconnues de l'équation.

Un ensemble des nombres x_i = k₁, x_e=k₂, ..., x_n=k_n ou x : (k₁, k₂, ..., k_n) est une solution de l'équation de l'équation linéaire si a1k1 + a₂k₂ + ... + a_nk_n = b.

Exemple : considérons l'équation 2x₁ + x₂ - 4x₃ + _{xn = 3}

x : (2,3,1,0) est une solution de cette équation

x : (0,1,0,2) est une solution de cette équation

x : (1,1,0,0) est encore une solution de cette équation.

 Systèmes d'équations linéaires

Tout système d'équations linéaires peut s'écrire sous la forme matricielle AX=B. La forme générale d'un système de m équations en n variables est le suivant :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = b_m

ou

? a_ijx_j = b_i

Les a_ij (i=1,2, ..., m ; j=1,2,..., n) sont les coefficients du système ; les b_i (i = 1,2, ..., m) sont les termes constants ; les x₁, x₂, ..., x_n sont les variables.

Un vecteur x : (x₁, x₂, ..., x_n) est une solution du système s'il vérifie les égalités ou s'il est solution de m équations linéaires simultanément.

L'ensemble de toutes les solutions du système est appelé « l'ensemble solution » ou encore « la solution générale du système ».

Il convient de noter que la solution d'un système d'équations n'est pas nécessairement unique. Un système peut avoir une infinité des solutions ; il se peut aussi qu'il n'ait aucune solution. Dans ce cas, on dit que le système d'équations est incompatible ou impossible ou encore inconsistant.

2. Equations de degré n

Par équation de degré n, on entend toute équation de la forme :

A1msqlkfjmlksjfdmlqskjfmqskjfmqskjfmsqkjf

Où a₁, a₂, a₃, ..., a_n sont des coefficients ;

x₁, x₂, x₃, ..., x_m sont des variables ;

b est une constante

n, n-1, n-3, 0 des puissances et

n, la puissance la plus élevée (degré de l'équation).

Diverses méthodes de résolution des équations linéaires, des équations de degré n ainsi les calculs des déterminants seront présentés dans les applications.