Apport des mathématiques dans la compréhension des phénomènes économiques (Approche sur la theorie de la demande)

« A l'heure actuelle, il est généralement reconnu que tout travail théorique sérieux en matière économique exige une connaissance mathématique importante. »

KAMIANTAKO MIYAMUENI

Au président fondateur du fonds

GRESKA TRADE WAYS,

Monsieur Greska KAYEMBE NSENDAAVANT-PROPOS

A l'heure où la conquête économique rend déjà compte des observations qu'elle a suscitées et où, simultanément les phénomènes économiques se couvrent d'un tissu de relations de plus en plus serré, un appel aux mathématiques devient large et évident pour l'étude des faits ponctuels. A ce propos, Adhin J. écrit : « les méthodes mathématiques sont devenues très populaires en sciences économiques. Elles présentent un avantage évident en ce qu'elles permettent de tenir pleinement compte des influences réciproques d'un nombre élevé de variables et de les mettre en lumière en termes quantitatifs. Il est dès lors possible de voir beaucoup plus clairement l'ordre de grandeur de chacun des phénomènes étudiés » ^1(*)

Et Guerrien Bernard de renchérir : « l'utilisation des mathématiques, à condition qu'elle soit faible correctement comporte un certain nombre d'avantages ... Elle permet de présenter de façon simple beaucoup de raisonnements dont la formulation « littéraire » serait particulièrement lourde. Mais surtout, elle oblige à préciser les hypothèses sous-jacentes à telle ou telle démonstration, ce qui permet de connaître son domaine de validité » ^2(*)

Ce travail voudrait répondre à certaines exigences en présentant, outre les lois économiques récurrentes et traditionnelles, un nombre limité des phénomènes économiques à toutes échelles qui mettent en évidence la complexité des faits et introduisent l'analyse économique. Ainsi, des thèmes aussi variés que la demande, l'offre, la production, la consommation, ... pourront être abordés dans un cadre spatial spécifiquement mathématique mais aussi dans le temps car certains types d'analyse économique ont l'objet soit de tracer et d'étudier les sentiers temporels des variables, soit de déterminer si, étant donné une période de temps suffisante, ces variables convergent vers certains variables d'équilibre.

La mathématisation des phénomènes économiques et de leurs relations permet de dépasser la simple énumération des faits pour aboutir à la compréhension dynamique des grands défis de l'époque contemporaine en matière économique. L'examen mathématique et la comparaison des phénomènes économiques, par exemple, éclairent singulièrement les problèmes mondiaux nés de l'inégale répartition des ressources naturelles et de la dissociation spatiale de la production et de la consommation.

Un effort particulier a été porté en vue de la compréhension des phénomènes économiques abordés : quelques notions mathématiques ont été mises en lumière, telle que l'étude des fonctions, la notion des déterminants, les équations, la géométrie analytique descriptive, etc.

Ce travail ne visera à ne rien donner qui dépasse ce qui lui est strictement nécessaire tout en s'efforçant de ne pas lui donner moins qu'il n'en faut. Il comprend deux parties : la première subdivisée en deux chapitres, est consacrée au rapport entre mathématiques et phénomènes économiques. Le chapitre premier parle des considérations générales et le second chapitre introduit aux mathématiques et phénomènes économiques.

La deuxième partie, consacrée aux applications des mathématiques aux phénomènes économiques, comprend deux chapitres. Nous avons commencer par donner quelques éléments de l'algèbre et de la géométrie analytique descriptive (chapitre 3), et mettant l'accent sur le fait que les variables économiques sont susceptibles d'être enregistrées à une date donnée, ce qui fait que le facteur temps y joue un rôle non négligeable, nous avons parlé de l'analyse dynamique (chapitre 4).

Ce travail n'aurait pas vu le jour sans l'effort concerté d'un grand nombre de personnes. Nous devons une dette intellectuelle envers tous les professeurs, chefs de travaux et assistants de la faculté des Sciences Economiques et de Gestion de l'Université de Lubumbashi pour leurs enseignements et encadrements qui ont constitué, pour nous, un outil privilégié sans lequel notre recherche n'aurait pas été autrement plus fluide et facilement assimilables.

Nous avons apprécié le concours du professeur KIMENYEMBO MAFINGE, qui en dépit de ses occupations, a pu capitaliser sa disponibilité en vue de coordonner notre recherche.

Il nous est particulièrement agréable de pouvoir remercier le professeur KAMIANTAKO MIYAMUENI et le chef de travaux KIBOYA KETA qui ont pu démystifier les mathématiques en sciences économiques et de gestion et nous ont inspiré de mener une recherche à ce propos.

Nous demeurons cependant le seul responsable des faiblesses éventuelles contenues dans ce travail. Si par ailleurs quelques erreurs y subsistent, nous en prenons notre part de responsabilité et sérions reconnaissant au lecteur de bien vouloir nous les signaler à fin de correction.

KAYEMBE NSENDA

INTRODUCTION GENERALE

1. Présentation du sujet

A mesure que la mathématisation de la théorie économique devient de plus en plus remarquable et que le champs d'action de l'économie s'élargit davantage, nous avons mené une recherche à ce sujet.

« Apport des mathématiques dans la compréhension des phénomènes économiques (approche sur la théorie de la demande) », c'est le sujet de notre travail.

Ledit sujet traite de l'économie à plusieurs échelles dans un cadre spécifiquement mathématique vue l'importance de celle-ci.

2. Choix et intérêt du sujet

Tout est parti de l'observation de deux tendances idéologiques divergentes, l'une soutenant que les mathématiques sont indispensables à la théorie économique et l'autre affirmant que la théorie économique peut se passer des mathématiques. Cependant, notre étude est menée en rapport avec la première tendance ou courant de pensée.

Ce travail voudrait répondre à certaines exigences en présentant un nombre limité des phénomènes économiques qui mettent en évidence la complexité des faits et introduisent l'analyse économique et montrer comment les mathématiques s'introduisent dans la théorie économique.

L'analyse mathématique des données économiques sur le plan théorique et pratique est le moteur-guide tout au long de ce travail.

Ce travail démontre également que la mathématisation des phénomènes économiques et de leurs relations permet de dépasser la simple énumération des faits pour aboutir à la compréhension dynamique des phénomènes abordés.

3. Problématique

A mesure que l'économie politique acquiert une très grande importance en tant que science, elle fait un appel de plus en plus large aux mathématiques. A ce propos, les mathématiques sont devenues par ailleurs un langage de l'économie.

La définition de l'objet des mathématiques et la situation de cette science dans la théorie économique deviennent une controverse. Plusieurs alternatives s'opposent entre économistes et mathématiciens. Etant dit que les mathématiques ont pour objet, l'étude des propriétés de la grandeur calculable ou mesurable, bon nombre des mathématiciens prétendent que l'économie est une branche des mathématiques.

Cependant, la plupart des économistes modernes pensent que les mathématiques sont une science indépendante mais indispensable à l'économie et certains parlent de l'économie mathématique, terme qui désigne toute théorie économique faisant appel aux mathématiques ou mathématisée et d'autres de l'économétrie^1(*).

Depuis plusieurs années, la notion des mathématiques dans la théorie économique demeure une polémique idéologique, car divers courants de pensée donnent leurs considérations à ce propos, lesquelles considérations sont souvent divergentes. Par ailleurs, une tendance affirme que la science économique est indépendante de toute autre science car elle a sa méthodologie propre et peut atteindre son objet sans faire un appel aux mathématiques.

De part notre recherche, une étude générale a été menée en vue d'appréhender la place des mathématiques dans la théorie économique, ainsi la question principale à laquelle nous tenterons de répondre dans la suite est :

« Comment est-ce que les mathématiques permettent-elles à mieux comprendre une théorie ou un phénomène économique ? »

4. Hypothèse du travail

En dépit des considérations divergentes, les mathématiques dans la théorie économique sont manifestes et réellement un langage de l'économie. C'est ainsi que Kamiantako Miyamueni écrit : « A l'heure actuelle, il est généralement reconnu que tout travail théorique sérieux en matière économique exige une connaissance mathématique importante » (^2(*))

Aucune autre compréhension d'un phénomène économique n'est meilleure que celle mathématisée. Grâce aux mathématiques, un phénomène économique théorique peut être transformé en modèle mathématique permettant une analyse systématique.

L'économie ayant également un ensemble des questions à étudier, pour résoudre les unes, il suffit généralement de les réduire en équations mathématiques car il est mieux de résoudre une question économique mathématisée qu'une question économique littéraire.

Les mathématiques présentent souvent les faits d'une manière plus claire et facilement assimilable. C'est ainsi qu'un phénomène économique peut être évidemment assimilé à l'application des techniques mathématiques à ce dernier.

5. Méthodes utilisées

La question de méthode s'est posée pour toutes les sciences y compris la science économique. En particulier, on éprouve quelques peine aujourd'hui à imaginer l'ardeur, la combativité avec laquelle pendant plus d'un siècle les économistes ont confronté leurs conceptions à propos de l'opposition entre méthode déductive et méthode inductive, opposition qui a été l'un des sujets de ce qu'on a appelé « la querelle des méthodes »

De nos jours évidemment, l'opposition paraît apaisé car tout le monde admet en définitive que déduction et induction sont également nécessaires et se complètent

Cette querelle a néanmoins laissé des traces. A peine apaisée, elle ressurgit sous une forme moderne plus précise, elle se déroule autour de la technique statistique et du raisonnement mathématique et, s'analyse en un double conflit : d'une part au sein de la méthode déductive, entre l'analyse psychologique et le raisonnement mathématique et, d'autre part au sein de la méthode inductive, entre méthode historique et méthode statistique.

5.1. Méthode déductive

Déduire, c'est essentiellement tirer, par une chaîne de raisonnements logiques, les conséquences d'un principe. La démonstration d'un théorème de géométrie est le type même de la méthode déductive.

On part de quelques vérités simples et évidentes, axiomes de postulats, et par une série de déductions on arrive à certaines conclusions. On pose certaines suppositions et par le raisonnement logique on aboutit à des conclusions ou lois.

Ainsi déductive, la science économique devient hypothétique et abstraite, une fois les prémisses posées, le raisonnement se déroule logiquement avec rigueur, sans que jamais soit repris le contact ou la confrontation avec les faits. Et même quand cette confrontation a lieu, pourtant, c'est juger les faits en fonction de la théorie, et jamais en fonction des faits.

5.2. La méthode inductive

Induire, c'est remonté de l'observation des faits à une proposition générale. On commence par réunir un grand nombre de faits et événements contingents, pour rechercher ensuite si et dans quelle mesure des rapports existant entre les divers faits et événements observés, et l'on entre ainsi dans le domaine de la statistique descriptive, c'est à dire d'après A. Marshall « la forme la plus sûre de l'observation »

De nos jours, la statistique est universellement considérée comme la méthode inductive par excellence de l'économie.

6. Techniques utilisées

Principalement, la technique documentaire consistant en l'étude ou la consultation des ouvrages scientifiques physiques ou sur le net est usitée.

Nous avons également pour l'étude des phénomènes économiques pratiques, reconnu à la collecte de quelques données dans les entreprises.

7. Délimitation du sujet

Ce travail porte deux caractères : économique et mathématique sur le plan économique, nous nous sommes limités sur la théorie microéconomique et particulièrement sur la théorie de la demande et sur le plan mathématique, le caractère est général et limité vue le nombre des notions spécifiques mathématiques abordées.

En regard de notre sujet, le facteur espace-temps demeure vague.

8. Plan sommaire du travail

Au-delà de l'introduction générale et de la conclusion générale, ce travail comprend deux parties majeures. La première partie consacrée au rapport entre mathématiques et phénomènes économiques est subdivisée en deux chapitres. Le chapitre premier parle des considérations générales démontrant les mathématiques dans la théorie économique et l'importance ou apport des mathématiques dans l'étude économique, et le second chapitre introduit aux mathématiques et phénomènes économiques.

La deuxième partie, plus pratique que la première est consacrée aux applications des mathématiques aux phénomènes économiques. Nous avons commencé par donner quelques éléments de l'algèbre et la géométrie analytique descriptive, le chapitre 3 et le chapitre 4 porte sur l'analyse dynamique développant le calcul infinitésimal.

Première partie

Rapport entre mathématiques et phénomènes économiques

CHAPITRE I : CONSIDERATIONS GENERALES

I.1. Les mathématiques dans la théorie économique

Au cours des 30 dernières années, les mathématiques sont devenues le « langage de l'économie ». Aujourd'hui, les économistes considèrent les mathématiques comme un outil appréciable à tous les niveaux de l'étude, allant de l'expression statistique des tendances du monde réel jusqu'au développement de systèmes économiques totalement abstraits. (^3(*))

a. Relations étroites qui lient les mathématiques à l'économie

Au niveau le plus élémentaire, les mathématiques fournissent les fondements de formulations empiriques avec des variables économiques.

Des formulations comme « une hausse de 10% du prix de l'essence provoque une baisse de 5% de la demande d'essence ».L'expression mathématique de cette relation économique est la fonction de la demande.

L'observation ci-dessus peut être résumée par la formulation suivante : « l'élasticité de la demande d'essence est de -0,5 ». Nous avons connaissance de cette relation empirique en utilisant des techniques de la statistique qui, elle-même, est une branche des mathématiques.

Avec la statistique, l'économiste transforme les données brutes du monde réel en des généralisations numériques comme celle que nous venons de mentionner.

Une fois que la relation statistique est formulée, elle peut être combinée avec d'autres relations du même type. Ainsi, nous pouvons construire un réseau entier avec d'autres relations du même type. Ledit réseau pourra permettre de tirer des conclusions sur des variables économiques qui ne sont qu'indirectement reliées entre elles. En partant de l'information que dans une société précise, la demande d'essence diminue de moitié par rapport à l'augmentation de son prix, nous pouvons chercher à savoir comment le prix d'essence est relié au prix du pétrole, au coût de la vie ou à la demande d'électricité.

Cependant, le rôle des mathématiques s'étend bien au-delà du domaine de la statistique. Par exemple, les constructions des représentations mathématiques des marchés et des sociétés afin de mieux comprendre comment ces derniers fonctionnent. Néanmoins, un modèle mathématique permet de réduire la complexité du monde réel en des formalisations maniables.

Pour un objet d'étude, un modèle mathématique nous oblige à définir précisément les termes. Ce dernier doit formuler clairement les hypothèses sous-jacentes avant de s'engager sur un chemin complexe de pensée et présente clairement la nature exacte de l'abstraction du travail.

Les mathématiques sont utilisées non seulement pour organiser des faits, mais aussi pour générer et explorer des nouvelles idées théoriques.

Souvent des raisonnements mathématiques sont employés comme la déduction logique, afin de déduire des théorèmes qui s'appliquent à une grande variété des situations économiques au lieu d'une spécificité.

Les mathématiques ne constituent pas seulement un outil puissant permettant d'obtenir des connaissances à partir des modèles de l'économie, elles sont aussi utiles pour élargir le champ d'application d'un modèle qui serait trop restrictif pour utile. Elles permettent aussi le traitement de plusieurs informations en même temps. A ce stade, nous présentons un exemple spécifique de cette dernière utilisation de la modélisation mathématique en économie. Nous voyons comment on utilise les mathématiques pour augmenter la portée d'un modèle géométrique simple et connu dans la théorie microéconomique de base.

b. Modèles de choix du consommateur

 Modèle de choix à deux dimensions du consommateur

Lorsqu'on étudie le modèle néoclassique du choix du consommateur, dans les cours de la théorie microéconomique élémentaire, on suppose généralement que le consommateur ne peut choisir qu'entre deux biens.

Pour illustration, supposons de places de cinéma et de places de théâtre.

Soit x₁ une variable représentant le nombre de places de cinéma achetées par un consommateur et soit x₂ une variable représentant le nombre de places de théâtre achetées. Le couple (x₁, x₂) représente le choix d'une quantité pour les deux biens et s'appelle un « panier de biens ». Si nous supposons que x₁ et x₂ peuvent prendre n'importe quelles valeurs non négatives, alors l'ensemble de tous les paniers de biens possibles peut être représenté géométriquement par le quadrant « l'espace des biens ».

Sur la figure 1.1, le nombre de places de cinéma dans un panier de biens est mesuré sur l'axe horizontal, tandis que celui de places de théâtre est mesuré sur l'axe vertical.

Y1

Figure 1.1

Deux paniers de biens dans l'espace des biens

X1

Les consommateurs ont des préférences par rapport à des paniers de biens dans l'espace des biens : étant donnés deux paniers de biens quelconques, soit le consommateur préfère un panier à l'autre, soit il est indifférent entre les deux. Si les préférences du consommateurs satisfont quelques hypothèses de cohérence, elles peuvent alors être représentées par une fonction d'utilité si le consommateur préfère le panier de biens (x₁, x₂) au panier de biens (y₁, y₂), alors, la fonction d'utilité prend une valeur plus grande en (x₁, x₂) qu'en (y₁, y₂). Ainsi, on pourra écrire U(x₁, x₂) le nombre associé par la fonction d'utilité au panier (x₁, x₂₎

Généralement, cette situation est représentée en traçant quelques courbes d'indifférence du consommateur dans l'espace des biens, comme le montre la figure 1.2.

Y

U = 10

U = 6

U = 1

X

Figure 1.2

Courbes d'indifférence dans l'espace des biens

La fonction d'utilité associe le même nombre à tous les paniers situés sur une même courbe d'indifférence. En d'autre terme, le consommateur est indifférent en deux paniers de biens situés sur une même courbe.

La flèche sur la figure 1.2. indique la direction de préférences. Les paniers de biens sur les courbes d'indifférences situées loin de l'origine sont préférés aux paniers de biens qui sont sur des courbes d'indifférence situées près de l'origine, pour indiquer que ce consommateur préfère « plus » à « moins ».

Cette représentation des préférences du consommateur est utilisée pour décrire le choix du

consommateur. Ainsi, un consommateur, devant un ensemble de paniers de biens, son choix

visera à maximiser sa fonction d'utilité sur l'ensemble. Ce problème est de nature

mathématique s'intéressent aux choix qui concernent les marchés. Nous décrivons cette

situation de choix comme suit :

A chaque bien est associé un prix, p1 pour le prix des places de cinéma et p2 celui des places de théâtre. Le consommateur dispose de M francs à repartir entre les deux biens et il ne peut pas dépenser plus qu'il n'en a.

D

C

u

0

A

Figure 1.3

L'ensemble budgétaire OAD et quelques courbes d'indifférence

Le coût du panier de biens (x1, x2) est p1x1 + p2x2. Ce coût ne peut pas excéder M. Notre théorie a besoin de s'appliquer seulement aux ensembles de choix de la forme.

B = [(x1nx2) : x₁ = 0, x₂ = 0, (p₁x₁ + p₂x₂) = M]

Ce sont les ensembles budgétaires auxquels le consommateur peut faire face théoriquement. Les ensembles budgétaires sont faciles à visualiser. Dans l'espace des biens, traçons le segment de droite donnée par l'équation p₁x₁ + p₂x₂ = M. Tous les points qui se trouvent sur ou sous cette droite sont accessibles financièrement. Ce sont les points situés dans le triangle OAD de la figure 1.3.

 Modèle de choix multidimensionnel du consommateur

Dans notre approche géométrique, nous ne pouvons répondre à aucune de ces questions. Nous devons nous tourner vers d'autres outils mathématiques.

Notamment, les fonctions de plusieurs variables et l'algèbre matricielle. Pour le faire, il faudra que nous posions le problème de façon analytique. Supposons que dans l'économie que nous modélisons, il y a n biens. Les paniers de biens sont à présent des listes (x₁, x₂, ..., x_n) et une fonction d'utilité associé un nombre U(x₁, ..., x_n) à chaque liste (x₁, ..., x_n). Le problème de maximisation du consommateur peut s'énoncer de la façon suivante :

Maximisation U(x₁, ..., x_n)

Sous les contraintes p₁x₁ + p₂x₂ + ... + p_nx_n = M,

X₁ = 0, ... ) xn = 0

Le système d'équations mathématiques qu'on peut utiliser pour décrire les conditions de «tangence» lorsqu'il y a n, inconnues au lieu de 2 est complexe. Il contient (2n + 1) équations différentes et (2n + 1) inconnues. L'étude de toutes ces questions se réduit à l'étude de ce système d'équation.

I.2. Importance ou apport des mathématiques dans l'étude économique

« Pour le meilleur ou pour le pire, les mathématiques sont devenues le langage des analyses économiques modernes. Elles quantifient les relations entre les variables économiques et les acteurs de l'économie. Elles formalisent et clarifient les propriétés de ces relations. Grâce à cette approche, elles permettent aux économistes d'identifier et d'analyser ces propriétés générales qui sont exigées pour le comportement des systèmes économiques» (^4(*))

Les mathématiques permettent de faire la démonstration empirique des lois économiques en termes quantitatifs. Ainsi, elles transforment certaines données économiques en équations mathématiques afin d'analyser et de trouver les solutions.

Exemple : les entreprises Vodacom, Celtel et Oasis ont engagé des frais communs de publicité payés à la RTNC qui s'élèvent à 12.000 FC dont la répartition se présente comme suit :

- Vodacom a engagé le double des frais de Oasis ;

- Celtel a engagé le triple des frais payés par Vodacom auxquels il faut ajouter 30.000 FC

Calculer la part de chacune de ces entreprises.

Pour mieux résoudre un tel exercice, la transformation des données en équations mathématiques est nécessaire.

Soit x représentant la part de Vodacom, y celle de Celtel et z celle de Oasis.

- Vodacom, Celtel et Oasis ont engagé des frais communs qui s'élèvent à 120.000 FC

x + y + z = 120.000 FC (1)

- Vodacom a engagé le double de frais de Oasis

x = 2z (2)

- Celtel a engagé le triple des frais de Vodacom auxquels il faut ajouter 30.000 FC.

- y=3x+30000 (3)

Ainsi nous aurons un système de 3 équations à trois inconnues suivantes

x + y + z = 120 000 (1)

x - 2z = 0 (2)

y - 3x = 30000 (3)

x + y + z = 120 000 (1)

x = 2z (2)

y = 3x + 30000 (3)

(2) : x - 2z = 0 ==> z = x/2 ; (3) y = 3x + 30000

(2) et (3) dans (1) : x + (3x + 30000) + x/2 = 120000

==> x + 3x + 30000 + x/2 = 120000

==> 4x + x/2 = 120000 - 30000

==> 9x/2 = 90000

==> 9x = 180000

20000

2

==> x = 20000 (4)

= 10000

(4) dans (2) : z =

(4) dans (3) y = 3 (20000) + 30000 = 90000

D'où ce système a pour solutions :

x = 20000

y = 90000 et

z = 10000

Donc, VODACOM a engagé 20000 FC, CELTEL 90000 FC et OASIS 10000 FC.

Adhin J. écrit : « les méthodes mathématiques sont devenues très populaires en sciences économiques. Elles présentent un avantage évident en ce qu'elles permettent de tenir compte des influences réciproques d'un nombre élevé de variables et de les mettre en lumière en terme quantitatif. Il est dès lors possible de voir beaucoup plus clairement l'ordre de grandeur de chacun des phénomènes étudiés. (^5(*)) Et Guerrien Bernard renchérit : « l'utilisation des mathématiques à condition qu'elle soit faite correctement comporte un certain nombre d'avantages... Elle permet de présenter de façon simple beaucoup de raisonnement dont la formulation « littéraire » serait particulièrement lourde. Mais surtout, elle oblige à préciser les hypothèses sous-jacentes à telle ou telle démonstration, ce qui permet de connaître son domaine de validité » (^6(*))

Un aspect essentiel de la théorie économique consiste à exprimer et à comprendre les relations qui existent entre des variables économiques. A ce propos, les mathématiques deviennent importantes.

Les mathématiques permettent une bonne représentation graphique des données économiques par des méthodes qui lui sont strictement propres.

Les éléments de base pour construire les mathématiques étant les nombres et les fonctions, sont aussi importants en économie.

La méthode mathématique est à la déduction ce que la statistique est à l'induction, c'est à dire un raffinement.

S. Jevons est beaucoup plus claire : « notre science, écrit-il, doit être mathématique simplement parce qu'elle s'occupe des quantités ». (^7(*)) : les prix, les quantités produites et consommées, les salaires, les émissions de monnaie fiduciaire, les importations, etc.

D'après Louis Baudin, « La mathématique fournit à l'économiste un mode de raisonnement déductif sous une double forme, discontinue (le nombre) et continue (la ligne). Son utilisation systématique définit une branche de l'économie qu'on appelle « économétrie », dont les précurseurs sont Cournot et L. Walras. (^8(*))

Pédagogiquement elle offre un procédé d'exposition : « la forme met en relief certains éléments et frappe l'esprit mieux que la phrase. Elle est plus importante comme procédé de recherche et de démonstration. Elle permet de découvrir la solution de systèmes qui échappent à l'analyse logique en raison de leur complexité.

Théoriquement, les mathématiques nous offre un merveilleux procédé de dépassement du monde sensible. Elles réduisent l'hétérogène à l'homogène en ouvrant la voix à la statistique et en faisant surgir des affinités entre des phénomènes d'apparence différents : ce qu'on appelle « modèle économique » qui est précisément une représentation simplifiée du réel complexe. Cette simplification du réel par le modèle d'exprime surtout dans les hypothèses qu'on introduit : un modèle économique a toujours un caractère conditionnel, parce que toute modification apportée dans les hypothèses de base conduit à d'autres conclusions. C'est peut être ici le lieu de souligner le danger des mathématiques. Ce danger consiste en une double illusion :

- l'illusion de la certitude, alors que la déduction et la mathématique ne sont qu'une superstructure entièrement dépendante de la solidité des suppositions, des hypothèses, des prémisses ou des postulats de base. Si ces derniers sont arbitraires ou incomplets, l'édifice mathématique tout entier devient purement abstrait.

- L'illusion de l'utilité pratique, alors que les hommes souvent incapables de se comporter raisonnablement, rationnellement (et même mathématiquement) en toutes circonstances et ne se contentant le plus souvent que d'approximations obtenues empiriquement.

C'est pourquoi on essaie aussi dans la science économique de vérifier si les conclusions tirées par les voies déductives et mathématiques sont juste en les confrontant avec la réalité.

CHAPITRE II. MATHEMATIQUES ET PHENOMENES ECONOMIQUES

II.1. Mathématiques

1. Qu'est ce que les mathématiques ?

Le mot « mathématique » vient du grec mathêma, « science ». Il désigne de façon générale un objet de connaissance :

Le substantif « mathématique », qui désigne la science, est employé au singulier par certains mathématiciens, qui parle alors de « la mathématique ». Cette dénomination est due à une tendance récente visant à l'unification des différentes branches des mathématiques.

Cependant, le dictionnaire précise : « les mathématiques sont l'ensemble des opérations logiques que l'homme applique aux concepts de nombre, de forme et d'ensemble » (^9(*))

La particularité des mathématiques par rapport aux autres sciences, est d'être abstraite, à caractère essentiellement déductif qui se construit par le seul raisonnement. C'est une science de base qui s'est avérée fort précieuse, voire indispensable pour les autres sciences.

Les mathématiciens manipulent des « objets mathématiques » (comme des nombres, des points, des droites, des ensembles...) et créent des relations logiques entre ces objets. Contrairement aux économistes, par exemple, qui effectuent des observations et des analyses théoriques, les mathématiciens ne font que raisonner et construire à partir de postulats qu'ils ont établis.

Les mathématiques comportent des définitions multiples et variées, néanmoins toutes convergent vers l'étude des grandeurs calculables ou mesurables.

A ce propos, Larousse dit : « 1. (au pluriel) science qui étudie par le moyen du raisonnement déductif les propriétés d'être abstraits (nombre, figures géométriques, fonctions, espaces, etc.) 2. (au singulier) ensemble des disciplines mathématiques envisagées comme constituant un tout organique. » (^10(*))

Les mathématiques sont les langage et méthode qui forment la base des sciences exactes ; ses objets sont les nombres, les grandeurs et les figures. (^11(*))

Voici quelques concepts dérivant du mot « mathématique ».

- Math ou maths : abréviation du mot mathématique

- Mathématicien, enne : personne qui fait de la recherche et/ou de l'enseignement en mathématiques.

- Mathématique : relatif aux mathématiques (adjectif)

- Mathématiquement : au point de vue mathématique, de façon mathématique

- Mathématisation : processus par lequel un objet est intégré à une méthodologie et/ ou à une théorie mathématique

- Mathématiser : appliquer, introduire des méthodes mathématiques dans un domaine. Mathématiser une théorie économique.

2. Les branches des mathématiques

Bien que formant un tout cohérent et unifié, les mathématiques sont habituellement divisées en différentes branches dont la classification est plus complexe. On répertorie plusieurs grandes branches, aucune n'étant indépendante des autres.

 la logique

On situe souvent la logique à la frontière de la philosophie et des mathématiques. En mathématiques, elle est un préliminaire indispensable aux théories mathématiques, car elle leur donne les moyens de leur rigueur démonstrative.

 La théorie des ensembles

En mathématique (comme en économie), un ensemble est une collection d'objets ayant en commun au moins une propriété, et susceptibles d'avoir entre eux des relations.

La théorie des ensembles est à la base des mathématiques modernes. Elle classe et dégage les propriétés des objets mathématiques.

Selon les relations qui s'établissent entre eux. Selon le langage général et codifié permet une unification des mathématiques.

 Les nombres, l'arithmétique et l'algèbre

Les nombres en mathématiques, introduisent à l'étude des ensembles des nombres. Après l'ensemble des entiers naturels N, c'est à dire l'ensemble des nombres entiers {0, 1, 2,3,...} ; les mathématiques ont construit d'autres ensembles : l'ensemble Z des entiers relatifs (entiers positifs et négatifs) et l'ensemble des rationnels Q, ou ensemble des fractions.

L'ensemble Z permet de résoudre les équations de la forme x+a =b (où x est l'inconnue, qui n'étaient pas solubles avec les nombres de N). L'ensemble Q permet de résoudre les équations de la forme ax=b.

L'ensemble R des nombres réels (rationnels et irrationnels) permet de résoudre les équations de la forme x²=2 et l'ensemble C des nombres complexes permet de résoudre les équations de la forme x²=-2 insolubles dans R en posant i²=-1.

L'arithmétique est la science des nombres entiers relatifs et rationnels. Elle étudie donc les propriétés des ensembles N, Z et Q.

L'algèbre est une généralisation de l'arithmétique aux nombres réels et complexes. Elle s'appuie aussi sur la théorie des ensembles, l'algèbre moderne.

 L'analyse

L'analyse est la branche des mathématiques traitant du calcul infinitésimal et de ses applications. Comme son nom l'indique, le calcul infinitésimal traite des infiniment petits. Il débouche sur le calcul différentiel et le calcul intégral qui sont des outils indispensables pour l'étude des fonctions.

 La géométrie

La géométrie a pour but d'étudier les propriétés de l'espace. Elle étudie les relations entre points, droites, courbes, surfaces et volumes.

 La trigonométrie

La trigonométrie étudie les propriétés des fonctions circulaires des angles et des arcs. Elle permet de calculer par triangulation, les mesures des cotés d'un triangle ou de ses angles à partir de certaines d'entre elles.

Son objet est d'évaluer les côtés d'un triangle (ou plus généralement d'un polygone). A chaque angle est associé une grandeur appelée rapport trigonométrique. Ce sont les sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tan) et cotangente (cotan).

 Les probabilités et les statistiques

La probabilité est la branche des mathématiques née des jeux du hasard. La probabilité qu'un événement se produise est définie comme étant le rapport du nombre de cas favorables à cet événement sur le nombre total de cas possibles.

Exemple : soit deux biens, le cinéma et le théâtre. Trouvons la probabilité qu'un consommateur porte sur son choix sur le cinéma.

Nombre de ces favorables, n = 1 : le cinéma

Nombre de cas possibles, N = 2 : le cinéma et le théâtre

Probabilité P = n/N = ½ = 0,5.

La statistique est l'ensemble des méthodes mathématiques qui, à partir du recueil et de l'analyse de données réelles, permettent l'élaboration des modèles probabilistes autorisant les prévisions.

Notons toutes ces branches des mathématiques sont généralement usitées dans la théorie économique. Ces disciplines découlent de l'ensemble de l'édifice mathématique, et ne sont pas des branches indépendantes les unes des autres. La mathématique forme un véritable édifice, pourtant maintes fois remis en cause au cours de son histoire, qui s'est construit lui-même, à partir de ses postulats de base.

II.2. Phénomènes économiques

De part la définition du mot phénomène, un phénomène économique est tout fait relevant de l'activité économique.

Ainsi dans la science économique nous appréhendons divers phénomènes économiques dans toutes leurs complexités et l'analyse desdits phénomènes nous ramène à l'étude de quelques notions récurrentes ou théorie économique.

Dans le cadre de ce travail nous tenterons d'étudier les faits observables et dans une certaine mesure chercher à connaître les causes par des modèles et méthodes mathématiques et ce, d'une manière systématique.

1. La théorie de la production

Jean-Yves CAPUL et Olivier Garnier écrivent :  « la production désigne l'activité économique consistant à créer des biens et des services » (^12(*))

A. JACQUEMIN et Henry T. définissent la production comme tout acte par lequel des biens sont utilisés pour être transformés en « produits », c'est à dire en d'autres biens. (^13(*))

Ainsi, des définitions précédentes, nous disons que la production est l'opération économique consistant, à travers d'autres biens et services, en créer d'autres susceptibles d'être consommés ou de créer d'autres biens et services.

1.1. Facteurs de production

L'expression facteurs de production désigne l'ensemble des biens et services qui permettent la production. Elle pourrait être identifiée au terme inputs, mais elle est plutôt employée en faisant référence à une classification des facteurs en trois catégories typiques :

- le facteur naturel ;

- le capital et ;

- le travail.

Ce sont les trois facteurs traditionnels de la production.

Le facteur naturel comprend la terre et tous les minéraux qu'elle contient à l'état brut.

Le capital recouvre un ensemble composite des biens et services (le capital « physique ») d'une part et d'autre part, des sommes financières (le capital financier)

Le travail désigne toute activité productive humaine.

Le facteur naturel et le travail sont souvent appelés « facteurs primaires » car ils ne sont le fruit d'aucune activité économique antérieure : ils ne sont en rien des outputs.

Dans le processus de production, nous avons :

 Les inputs : biens et services utilisés pour en fabriquer d'autres, quels que soient leurs états et leurs origines.

 Les outputs : les résultats d'une production, quels que soient leurs états (fini, demi-fini, brut élaboré...) et leurs destinations (consommation ou production).

La figure 2.1 illustre le processus d'une production économique.

Consommation

Ressources

Facteurs ou Inputs

Production

Produis ou Outputs

Besoins

Figure 2.1

1.2. Fonction de la production

La fonction de production est la relation établie pour chaque entreprise, entre son niveau de production et les quantités des facteurs de production nécessaires. (^14(*))

Les entreprises sont caractérisées par une fonction de production qui relie les différents éléments entrant dans la production (matières premières, travail et capital, aussi appelés inputs) à la quantité maximale des produits (output) que l'on peut obtenir d'eux compte tenu des techniques en vigueur.

D'où dans la théorie de la production, la quantité produite dépend exclusivement des facteurs de production mis en oeuvre. Ainsi la production est fonction des facteurs de production.

Dans un modèle mathématique, nous pouvons noter :

Q = f (N, K, T), où Q représente la quantité de production et N, K, T les différents facteurs de production.

La fonction de production permet de voir plus clairement en terme de qualité, le volume de chaque facteur de production et la variation de la production lorsque varie l'un ou l'autre facteur de production.

L'étude mathématique de la fonction de production permet d'appréhender les combinaisons nécessaires des facteurs permettant la production et le niveau de ladite production.

1.3. Coût de production

L'étude de la fonction de production a mis en lumière l'éventail des possibilités qu'offre la technique quant à l'utilisation et la combinaison des facteurs, pour réaliser un produit donné.

Fondamentalement, les producteurs sont appelés à transformer des inputs acquis par eux sur les marchés, en output ou produits. L'acquisition des inputs entraîne des dépenses ou coûts.

Le coût total d'un niveau de production donné (noté CT) est la somme en valeur, aux prix du marché, de tous les inputs utilisés par le production pour réaliser cette production, pendant une période de temps donné.

Dans le processus de production, le facteur naturel est généralement négligé, ainsi le coût total sera constitué par la somme des dépenses pour chacun de deux facteurs, est donc égal à la quantité de travail utilisée, T, multipliée par le prix de celui-ci, pT, plus la quantité de capital utilisée, K, multipliée par le prix pK, c'est-à-dire :

CT = _pT x T + pK x K

2. La théorie de la consommation

La consommation est une opération économique consistant dans l'utilisation immédiate de biens ou de services qui seront détruits dans ce processus. (^15(*))

La consommation, qui se caractérise donc par la destruction immédiate ou progressive du bien à travers son utilisation se distingue ainsi de l'investissement qui consiste à utiliser d'une façon durable des biens à des fins productives.

Toute consommation ne correspond pas cependant à une destruction immédiate comme c'est le cas pour un produit alimentaire (c'est une consommation non durable). Certains biens peuvent être utilisés pendant un grand nombre de fois jusqu'à leur usures comme l'automobile ou les appareils électroménager (c'est une consommation durable).

Choix du consommateur

Les choix du consommateur d'un individu, expression de ses besoins, peuvent être décrits à priori d'une manière complète, sans passer par l'expérimentation, à condition de supposer son comportement rationnel. Ainsi, il en résulte essentiellement deux choses : d'une part, que le consommateur pose des jugements de préférence à l'égard des divers biens (en quantité comme en qualité) ; et d'autre part qu'il se comporte conformément à ces jugements, dans ses décisions d'achat et de consommation.

La notion de choix du consommateur a été développée d'une manière approfondie au premier chapitre.

3. La théorie de la demande

3.1. Notion

La demande représente la quantité de produits que les acheteurs sont prêts à acquérir pour un certain prix. On dit aussi qu'il s'agit de la demande solvable, puisque les agents disposent des ressources financières suffisantes pour acheter ces produits. Ainsi, les besoins des individus en matière de luxes (grosses voitures par exemple) ne se transforment pas toujours en une demande en raison du prix élevé de ces biens.

L'offre, de son côté représente la quantité de produits que les vendeurs souhaitent vendre à un prix donné.

La demande, l'offre et le prix d'un bien sont en effet liés.

Lorsque le prix d'un produit baisse, les consommateurs ont tendance à en acheter davantage, la diminution du prix peut aussi rendre ce produit plus abordable, compte tenu de leurs ressources. Ainsi, la baisse du prix correspond à un accroissement de la demande.

C'est généralement vrai, mais dans certains cas, ce mécanisme n'est pas vérifié. Par exemple, certains produits en sont pas achetés en plus grande quantité lorsque leur prix baisse (le pain, le beurre, le sucre). Comme la demande de ces produits est peu sensible au prix, on dit que l'élasticité de la demande de ces produits par rapport à leur prix est faible ou nulle.

Du côté de l'offre, la baisse du prix d'un bien conduit généralement ces entreprises productrices à réduire les quantités fabriquées.

3.2. La loi de l'offre et de la demande

Dans une économie de marchés à l'état pur, il est bien connu que ces derniers fonctionnent selon la célèbre « loi de l'offre et de la demande » celle-ci se définit comme le mécanisme par lequel le prix et les quantités échangées d'un bien (produit ou facteur) sont déterminées sur son marché, lorsque seuls interviennent les offreurs et les demandeurs.

Nouvelle expression du principe général de la liberté d'initiative, cette fois en nature de transactions, à côté de celle d'entreprendre, d'emprunter, de travailler, etc.

Cette loi n'a en soi rien de légal au sens juridique : le terme vise seulement à suggérer que lorsque prix et quantités sont déterminés par l'action des seuls offreurs et demandeurs, ils tendent à se situer à des niveaux que l'on peut expliquer par les forces sous-jacentes aux courbes d'offre et de demande.

La loi de l'offre et de la demande implique aussi une hypothèse fondamentale sur les comportements individuels dans l'échange, à savoir que chaque agent choisit librement la quantité qu'il veut vendre ou acheter, et aucun agent n'est jamais forcé à acheter ou à vendre plus qu'il ne désire. (^16(*))

Si cette hypothèse relève aussi sans doute la libre initiative, elle contient en outre un élément d'absence de coercition, qui est non moins typique d'une organisation de la société basée sur le respect de l'individu.

Cette hypothèse est rarement rendue explicite dans l'analyse des phénomènes de marchés, pourtant elle peut jouer un rôle tout à fait essentiel dans l'explication de phénomènes économiques extrêmement importants.

Notons que la quantité qu'un agent désire vendre ou acheter est évidemment celle qui est déterminée par son équilibre individuel.

Prix

Quantité

Figure 2.2

Courbe d'offre

Prix

Courbe de demande

Figure 2.3

Quantité

- la figure 2.2. montre que les quantités offertes par l'entreprise augmentent avec des prix ;

- la figure 2.3. représente les quantités demandées par les consommateurs qui augmentent lorsque les prix baissent.

3.3. Fonction de la demande

3.3.1. La demande en fonction du revenu

a. La courbe « consommateur-revenu »

Les variations du revenu monétaires à prix constants entraînent des variations dans les quantités achetées. Sur la figure 2.4, le rapport des prix est donné par la pente de la droite du budget AB et il reste inchangé pour toutes les droites de budget parallèles à AB (dans l'espace des biens XOY).

Avec un revenu monétaire représenté par AB, le consommateur arrive à l'équilibre au point E1, tangente avec la courbe d'indifférence Ci1 et consomme la quantité X₁ du bien X.

Si avec le revenu, A₂, B₂, le consommateur se reporte sur un nouvel équilibre E2, tangente avec Ci₂ et consomme X₂.

Si le revenu se déplace encore successivement en A₃B₃, A₄B₄, A₅B₅, ..., les nouveaux points d'équilibre seront respectivement E₃, E₄, E₅, ..., avec les quantités respectives de X consommées X₃, X₄, X₅, ...

Le lieu de tous les points d'équilibre E1, E2, E3, E4, E5, ... tangences des droites de budget AB, A2B2, A3B3, A4B4, A5B5, etc. est une courbe « consommation-revenu », qu'on appelle aussi « sentier d'expression du consommateur » : la courbe E1E5. Cette courbe représente l'ensemble des consommateurs d'équilibre maximisent la satisfaction du consommateur au fur et à mesure que son revenu varie, les prix nominaux des biens restants constants.

Revenu

Quantité

B5

B4

B3

B2

X2

B

X5

X1

0

Figure 2.4

b. La courbe d'Engel17(*)

Transposons les équilibres de la figure 2.4. dans un graphique sur la figure 2.5. tel que le revenu soit porté en abscisse et les quantités en ordonnée.

En fait, le problème est celui de montrer comment varient les quantités achetées lorsque le revenu augmente. Si nous faisons correspondre les quantités d'équilibre x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, ... de la figure 2.4. et les niveaux de revenu y₁, y₂, y₃, y₄, y₅, ... nous obtenons dans la figure 2.5 une « courbe d'Engel » lieu de telles correspondances.

On pourra remarquer que de E1 à E3 la courbe d'Engel a une pente légèrement positive, impliquant que les variations du revenu monétaire n'ont pas d'effet substantiel sur la consommation (variation moins que proportionnelle) : bien de première nécessité.

De E2 à E4, la courbe a une pente fortement positive, impliquant que les quantités achetées varient avec le revenu monétaire (variation plus que proportionnelle) : bien supérieur, de base.

Quantité

X

E₄

X₄

E₃

X₃

X₂

E₂

X₁

E₁

Revenu

Y

Y₃

Y₂

Y₄

Figure 2.5

Y₅

Y₁

3.3.2. La demande en fonction du prix

a. La courbe « consommation-prix »

Soit dans un espace de biens XOY, la courbe d'indifférence ci1, ci2, ci3, ... et la droite de budget AB (figure 2.6.). Lorsque le prix Px varie - Py et le revenu monétaire constant, la droite de budget AB pivote autour du point A fixe sur l'axe des ordonnées y.

A chaque position de AB correspond un point d'équilibre E1, E2, E3, ... nouveau point de tangence de AB et d'une courbe d'indifférence Ci1, Ci2, Ci3, ... en d'autres termes chaque point d'équilibre E1, E2, E3, ... est une combinaison préférée à toutes les autres.

La courbe « consommation-prix » est le lieu des points de l'espace des biens représentant des ensembles de biens x-y d'équilibre résultant des variations du rapport des prix, le revenu monétaire restant constant.

Prix

Y

Ci₁

Ci₂

A

Ci₃

E₁

E₂

E₃

Quantité

Figure 2.6

X

B₃

X₃

B₂

X₂

B₁

X₁

b. La courbe de « demande »

La courbe de demande du consommateur individuel pour un bien x donné peut être obtenue à partir de la courbe « consommation-prix », comme la courbe d'Engel a été obtenue à partir de la courbe « consommation-revenue ». Mais il ne faut pas confondre la courbe consommation-prix avec la courbe de demande telle qu'elle apparaît sur le marché du bien x. Cette dernière courbe de demande est représentée dans la figure 2.7. qui montre le lien entre les quantités demandées de x (en abscisses) et le prix absolu de x (en ordonnées)

En d'autres, sur la figure 2.6, chaque point d'équilibre

E₁, E₂, E₃,... étant une combinaison préférée des biens x et y, il suffit de reporter sur un graphique distinct (figure 2.7) les divers prix absolus de x et les quantités correspondantes de x qui sont choisies à l'équilibre. Le lieu de telles correspondances dans la figure 2.7 : D1, D2, D₃, ... est une courbe de demande individuelle.

La forme de la courbe D₁D₂ traduit un principe fondamental connu sous le nom de « loi de la demande » et qu'on peut énoncer comme suit : « les quantités demandées d'un bien x varient en sens inverse de son prix, le revenu monétaire et le prix des autres biens restant constants ».

D₁

Px

Px₁

Px₂

D₂

Px₃

D₃

X

X₂

X₃

X₁

3.4. Les déterminants de la demande

a. La fonction de demande et la clause « Ceteris Paribus ».

Le fondement et l'origine de la fonction de demande est l'utilité (courbe d'indifférence). Elle a été définie comme le bien des points indiquant les quantités maximales qui seront achetées soit aux divers niveaux de revenu, soit aux divers prix, toutes choses égales par ailleurs.

Etudier la fonction de demande en acceptant la variation des prix du bien considéré (x) ou du revenu monétaire du consommateur, « toutes choses égales par ailleurs », revient à introduire la clause « ceteris paribus ». Si on abandonne cette clause, l'analyse ne pourra être menée correctement.

Que peut-on inclure dans ces toutes choses égales par ailleurs ? Nous pouvons répondre en les classant en trois catégories de variables :

1. « les autres choses égales par ailleurs » qui affectent la demande (variable étudié) de manière significative ou qui sont affectées par elle, notamment les prix des autres biens qui sont très proches du bien considéré : les biens compléments, substituts, conjoints ou concurrents,...

2. « les autres choses égales par ailleurs » qui affectent la demande de manière significative, mais qui ne sont pas affectées par elle, notamment le revenu du consommateur et sa répartition, la fortune ou le patrimoine du consommateur et sa répartition, les prix moyens de tous les autres biens, les goûts, les préférences du consommateur, ses anticipations, le degré atteint par sa consommation antérieure,...

3. « les autres choses égales par ailleurs » qui n'affectent pas la demande de façon significative et qui ne sont pas non plus affectées par elle : C'est l'ensemble de toutes les variables qui ne sont concernées ni par la première, ni par la deuxième catégorie et difficile à déterminer parce qu'elle relèvent d'un champ différent de l'économie : L'éthique sociale. Ce sont les variables pour lesquelles intervient un arbitrage politique visant à soustraire leur satisfaction aux règles du marché, donc aux libres jeux des préférences individuelles.

On suggère de ranger parmi elles  les flux culturels et symboliques auxquels sont soumis les membres de la collectivité et qui rendent le consommateur prisonnier du mode de vie de sa communauté.

La frontière entre ces trois catégories de variables n'est pas facile à établir une fois pour toutes. Cela dépend de ce que l'on considère comme « significatif » ainsi que la connaissance empirique que l'on a des facteurs étudiés et de leurs effets.

En tenant compte de ces trois catégories de variables, on peut écrire la fonction de demande de la manière suivante :

D_x = f(P_x, P_y, P_z,... , P_o, g, R, F) (1)

Où D_x = la demande du produit x

P_x = prix du bien x

P_y, P_z = prix des biens y, z, qui sont très proches du bien x

P_o = prix moyen des autres biens

g = goûts, préférences, anticipations, utilité antérieure,

F = fortune ou patrimoine du consommateur et sa répartition

Si à la limite on admet que toute variable est significative sauf celles de la troisième catégorie, il est alors nécessaire d'inclure dans la fonction de demande le prix de chaque élément de la seconde catégorie

La relation (1) devient :

D_x = f(P_x, P_y, P_z, ..., P_r, P_g, ...) (2)

Où P_x, P_y, P_z, ...= la série des prix des produits de consommation

P_r, P_g, ... = la série des prix des biens de production.

On note qu'il y a plus des variables qu'on peut supposer constantes. Il n'y a plus que des prix explicitement exprimés.

Si nous choisissons de nous en tenir à nos trois variables significatives habituelles : Px, Po, Pr ou R, nous pouvons écrire :

Dx = f(Px, Po, R) (3)

Où les autres variables qui sont émises sont supposées avoir des valeurs données.

Les conditions nécessaires à la réalisation de l'optimum sous la contrainte budgétaire (des prix et du revenu) s'obtiennent par une méthode classique dite des multiplicatieurs de Lagrange. La relation (3) peut donc s'écrire :

D_x = f(P_x, P_o, R) = f(ëP_x, ëP_o, ëR) (4)

Où ë est le « multiplicateur de Lagrange », constance qui peut parfois être considérée comme un prix.

La relation (4) peut être ramenée à une fonction à deux variables : P et R en effet, dans (4), égalons ë à 1/Po on a :

) P (5)

x , R

Po Po

F (

Dx =

En général on décrit ceci en disant que la demande en fonction du prix du bien x, le revenu monétaire du consommateur et le prix des autres biens restant constants. C'est un moyen commode et simple, sur le plan mathématique, de réduire Px, Po, R à deux variables.

C'est aussi un moyen simple d'écrire l'expression générale de la fonction de demande classique, sous les hypothèses que 1/Po et R sont des paramètres (1) : Donc,

D_x = f(P_x) = f(P₁, P₂, P₃, ...) (2)

En général aussi, et pour respecter la tradition anglo-saxonne et par convention (1), (2) on écrit la fonction de demande :

P_x = f(D_x), les prix des autres biens et le revenu constants.

La courbe de demande tire sa forme ou son allure des propriétés des courbes d'indifférence :

1. elle a une pente négative : pour un prix plus bas, une plus grande quantité est demandée. Mais dans certains cas exceptionnels, la proposition contraire peut être valable : paradoxe de Giffen, effet Veblen, ...

2. en général la demande est une fonction univoque des prix et du revenu. C'est-à-dire qu'à une seule quantité maximale demandée correspond une seule distribution donnée des prix et du revenu. Si pour une seule distribution des prix et du revenu on peut avoir différentes quantités demandées, la fonction de demande est dite multivoque (cas d'une courbe de demande épaisse). Pour que la fonction de demande soit univoque, il faut que le consommateur soit parfaitement rationnel, achetant en parfaite connaissance et cherchant délibérément à maximiser sa satisfaction.

3. la fonction de demande est une fonction homogène de degré zéro par rapport aux prix et au revenu, c'est-à-dire que si on multiplie simultanément tous les prix ainsi que le revenu par un même nombre positif (ë), la quantité demandée reste inchangée.

3.5. De la courbe de demande individuelle à la courbe de demande de marche

Représentons tous les biens et services demandés par (X₁, X₂, ... X_i, ..., X_n) avec leurs prix respectifs (P_x1, P_x2, ..., P_xi, ..., P_xn) lorsque le consommateur confronte son revenu avec tous ces biens, sa dépense totale sera définie par la relation :

R = X₁P_x1 + X₂P_x2 + ... + X_iP_xi + ... X_nP_xn

Où R = ? P_xi X_i

Pour un revenu R quelconque donne et un ensemble des prix, on peut supposer que le demandeur individuel choisit des quantités déterminées de chaque bien est fonction de tous les prix et du revenu R. on peut écrire :

X₁ = D¹ (P_x1, P_x2, ..., P_xi, ... P_xn, R)

X₂ = D² (P_x1, P_x2, ..., P_xi, ..., P_xn, R)

...

X_i = D_i (P_x1, P_x2, ..., P_xi, ..., P_xn, R)

...

X_n = Dⁿ (P_x1, P_x2, ..., P_xi, ..., P_xn, R)

Ces équations représentent les fonctions générales de demande Marshallienne.

La fonction de demande pour tout bien X_i serait naturellement :

X_i = Dⁱ (P_xi) tous les prix autres que P_xi, ainsi que les revenus étant supposés constants.

La somme de telles fonctions pour tous les demandeurs du bien X_i présents sur le marché, donne la fonction de demande globale ou de demande du marché relative au bien considéré.

Soit Eo un état d'équilibre du marché possible, défini par un ensemble des consommateurs, un ensemble des prix (P_x1, P_x2, ..., P_xi, ... P_xn) et un ensemble des revenus de niveaux différents (R₁, R₂, ..., R_i, ..., R_n). Les conditions qui caractérisent un tel état d'équilibre de marché pour la demande du bien Xi sont définies par :

R_i = P_x1X_i¹ + Px₂xi² + ... + Px_ix₁ⁱ + ... + Px_n x_nⁿ

Autrement dit, l'état d'équilibre Eo, les prix P_xn et les différents niveaux de revenu expriment la fonction de demande de marché.

X_i = D (P_xi) les autres prix ainsi que le niveau des revenus donnés constants.

3.6. Elasticité de la demande

3.6.1. Notion

Selon les biens envisagés, la forme et la position de la courbe de demande peut être très différente : ces propriétés dépendant en fait de la forme des courbes d'indifférence. Cela signifie donc que les quantités demandées de différents biens sont diversement sensibles aux changements des prix et du revenu. Afin de caractériser, et même mesurer avec précision, ces différences de sensibilité, l'économie politique utilise depuis longtemps le concept d'élasticité de la demande.

On distingue ainsi l'élasticité de la demande d'un bien par rapport à son prix, celle par rapport au revenu et enfin l'élasticité « croisée » de la demande d'un bien par rapport au prix d'un autre bien.

3.6.2. L'élasticité de la demande par rapport au prix

L'élasticité de la demande d'un bien par rapport à son prix Eqp est définie comme étant le rapport entre la variation relative de la quantité demandée et la variation relative du prix.

Elle s'exprime par la formule :

?q/p

?p/q

Variation de la quantité demandée

Variation du prix

=

åqp =

Ces variations s'expriment en pourcentage

Ce rapport est nécessairement négatif, en raison du sens inverse dans lequel se font les variations de prix et de quantité. L'élasticité de la demande d'un bien peut aussi varier de zéro à moins l'infini.

Dans cette vaste plage de variation on distingue les zones suivantes au moyen desquelles on caractérise les courbes de demande :

a. å = 0 le changement du prix ne provoque aucun changement de la quantité demandée, la demande est dite alors parfaitement inélastique ;

b. 0 > å > -1 : le changement en pourcentage de la quantité demandée est inférieur au changement en pourcentage du prix, la demande est dite inélastique ;

c. å = -1 le changement en pourcentage de la quantité demandée est exactement égal au pourcentage du changement du prix, la demande est dite alors d'élasticité unitaire ;

d. - 1 > å > - 8 : le changement en pourcentage de la quantité demandée est supérieure au changement en pourcentage du prix, la demande est dite élastique ;

e. å = -8 : le changement en pourcentage de la quantité demandée, qui fait suite à un changement donné en pourcentage du prix, est infini, la demande est alors dite parfaitement élastique.

3.6.3. L'élasticité de la demande par rapport au revenu

La quantité demandée d'un bine dépend non seulement de son prix, mais aussi du revenu du consommateur, comme l'illustre la courbe d'Engel. On peut dès lors définir l'élasticité de la demande par rapport au revenu comme le rapport des variations relatives de la quantité demandée aux variations relatives du revenu.

Formellement,

?q/q

?R/R

å_{qR =}

Cette élasticité est normalement positive, c'est-à-dire si l'accroissement du revenu provoque une augmentation de la consommation du bien considéré, elle est en revanche négative s'il s'agit du bien inférieur.

En ce qui concerne les biens normaux, on les appelle supérieurs lorsque l'élasticité de leur demande par rapport au revenu est supérieure à l'unité, on les appelle de nécessité si cette élasticité est inférieure à 1.

3.6.4. L'élasticité croisée de la demande

L'élasticité croisée de la demande mesure la variation relative de la quantité demandée d'un bien par rapport au changement relatif du prix d'un autre bien. Cette notion découle du fait que la demande d'un bien dépend non seulement de son propre prix, mais aussi du prix des autres biens.

?qx/q

?py/R

Ainsi, l'élasticité croisée de la demande d'un bien x (qx) par rapport au prix du bien y (py) est donnée par ¹ :

åqx, py =

Si les biens sont substituts, l'élasticité croisée est positive : une hausse du prix de y tend à augmenter la demande de x. Par contre, si les biens sont complémentaires, par exemple les appareils photos et les films, l'élasticité croisée est négative.

Deuxième partie :

Applications des mathématiques aux

phénomènes économiques

CHAPITRE III. ALGEBRE ET GEOMETRIE

III.1. Algèbre

L'algèbre est une branche des mathématiques qui, dans sa partie classique, se consacre à la résolution par des formules explicites des équations algébriques et, dans sa partie moderne étudie des structures telles que groupes, anneaux, corps idéaux, ...

Dans ce travail, nous allons traiterons deux notions majeures de l'algèbre classique : les déterminants et l'algèbre analyse consacrée à l'étude des fonctions.

III.1.1. Les déterminants

Dans l'analyse des modèles, on utilise couramment les déterminants. Par exemple, ils servent à déterminer si un système d'équations linéaires admet ou non une solution, à calculer cette solution si elle existe, et à décider de la qualité de l'approximation par linéarisation d'un système d'équations non linéaires. Les déterminants sont les outils-clés pour déterminer la nature d'une forme quadratique et, par conséquent, comme second ordre pour distinguer les maxima des minima dans les problèmes d'optimisation.

1. Les matrices

Une matrice est, d'une manière générale, un tableau rectangulaire à « m » lignes et « n » colonnes (m et n étant deux entiers positifs), comprenant m x n coefficients scalaires. Nous noterons les matrices par des lettres A, B, C. Les coefficients de ces matrices seront notés a_ij, b_ij, c_ij (i = 1,2,..., n ; j=1,2,..., n) pour désigner un élément quelconque d'une matrice A, par exemple, qui se trouve dans la i^eme ligne et j^eme colonne. On écrit a_ij : ainsi, l'élément a23 se trouve à la ligne 2 et à la colonne 3.

1 2 4

-5 0 3

Exemple :

B = [bij] =

Le nombre des lignes et celui des colonnes détermine le format ou la dimension d'une matrice. S'il y a « m » lignes et « n » colonnes, le format ou la dimension d'une matrice est m fois n qu'on écrit m x n. Si le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes, la matrice est une matrice carrée. Dans ce cas, m=n. On dira simplement que la matrice est d'ordre n. Si le nombre de lignes m est supérieur au nombre de colonnes n, la matrice est dite haute ; dans le cas contraire elle sera dite large.

Exemple :

1 3

2 2

3 1

1 2 3

2 1 2

3 2 1

1 2 3

1 2 3

Carrée

Large

Haute

Dans l'optique de ce travail, nous traiterons seulement les matrices carrées.

2. Déterminants d'une matrice carrée

Le déterminant d'une matrice est un scalaire (un nombre) obtenu des éléments d'une matrice en effectuant des opérations spécifiques.

Considérons une matrice carrée d'ordre n, considérons de plus le produits de n éléments de cette matrice tels que un et un seul élément de chaque ligne et un et un seul élément de chaque colonne apparaisse dans chaque produit. Tout produit de ce type est de la forme a₁j₁, a₂j₂,..., a_nj_n.

A

a_ij

Par définition, un déterminant d'une matrice carrée A, que l'on note

ou dét A = avec i, j = 1,2,...,n est une somme algébrique de n termes, chaque terme étant choisit en faisant le produit de n éléments de la matrice choisis de façon à ce qu'il n'y ait pas deux éléments qui appartiennent à la même ligne ou à la même colonne, le tout affecté d'un signe positif ou négatif selon que le nombre d'inversions dans l'ordre de j (après qu'on ait arrangé l'ordre de i dans les termes des produits de façon ascendante) est pair ou impair.

Méthode de calcul pour les déterminants d'ordre 1, 2 et 3.

a. Déterminant d'ordre 1.

A

a₁₁

Soit A = il est clair que = a₁₁

b. Déterminant d'ordre 2.

A

a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

A = on a = a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁ (1)

Dans (1), chaque terme est lui-même le produit de deux éléments de A n'appartenant ni à la même ligne, ni à la même colonne.

La règle de calcul est donc la suivante : on effectue le produit de la diagonale principale dont on retranche le produit de la deuxième diagonale.

c. Déterminant d'ordre 3

b₁₁ b₁₂ b₁₃

b₂₁ b₂₂ b₂₃

b₃₁ b₃₂ b₃₃

Considérons une matrice B de dimensions 3x3 :

B = on a

A

= b₁₁ b₂₂ b₃₃ + b₁₂ b₂₃ b₃₁ + b₁₃ b₂₁ b₃₂ - b₃₁ b₂₂ b₁₃ - b₃₂ b₂₃ b₁₁ - b₃₃ b₂₁ b₁₂

b₁₁ b₁₂ b₁₃

b₂₁ b₂₂ b₂₃

b₃₁ b₃₂ b₃₃

Figure 3.1

La figure 3.1. illustre une méthode alternative de calcul d'un déterminant d'ordre 3. Pour trouver ce déterminant, on multiplie simplement chacun des éléments de la première ligne par les éléments auxquels ils sont reliés par la ligne en trait plein et on additionne leurs produits. On multiplie ensuite chacun de ces trois même éléments de la première ligne par les éléments auxquels ils sont connectés par une ligne en pointillée et on soustrait la somme de leurs produits du total précédent.

Pour une matrice carrée d'ordre 3, le calcul du déterminant s'effectue par la règle dite de SARRUS que nous décrivons ci-après :

- on recopie les deux premières colonnes de A à la droite de A. Les trois diagonales descendantes donnent lieu aux permutations paires, les trois diagonales ascendantes aux permutations impaires ;

- la valeur du déterminant est donc égale à la somme des produits de 3 diagonales descendantes dont on retranche la somme des produits des trois diagonales ascendantes ;

- on peut aussi recopier les deux premières lignes de A en dessous de la matrice A et suivre un raisonnement identique pour calculer le déterminant.

a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

a₃₁ a₃₂

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃

A =

Exemples :

6. (-2)

A

3 -2

6 1

1. si A = alors = 3.1 - = 3 + 12 = 15

B

4 0

1 1

2. si B = = 4.3 - 1.0 = 12 - 0 = 12

1 3 1

2 1 0

3 4 5

C

3. aveec C = = (1.1.5 + 3.0.3 + 1.2.4) - (3.1.1 + 4.0.1 + 5.2.3)

= (5+0+8) - (3+0+30)

= 13-33 = -20

k k

4 2k

A

4. Soit A = calculer les valeurs de k telles que = 0

A

= 2 k² - 4k = 2k (k - 2) = 0 d'où k = 0 et k = 2

En utilisant cette règle, on se rend compte que par exemple le déterminant d'une matrice d'ordre 4 est la somme algébrique de 4 ! termes ; celui d'une matrice d'ordre 5 est la somme algébrique de 5 ! = 120 termes.

D'où le déterminant d'une matrice d'ordre n est la somme algébrique de n ! termes.

n = factoriel de n

n ! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ... x 1

Note : dans ce travail, nous ne traiterons que les déterminants des matrices d'ordre 1,2 et 3.

II.1.2. Les équations

Une équation est une formule d'égalité entre des grandeurs qui dépendent les une des autres.

1. Equations linéaires

Par équation linéaire, on entend toute expression de la forme :

A₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = b

Ou encore

? a_ix_i = b

Où, ai représente des nombres réels appelés « coefficients de xi » ;

b est le terme indépendant et

ni représente les variables ou les inconnues de l'équation.

Un ensemble des nombres x_i = k₁, x_e=k₂, ..., x_n=k_n ou x : (k₁, k₂, ..., k_n) est une solution de l'équation de l'équation linéaire si a1k1 + a₂k₂ + ... + a_nk_n = b.

Exemple : considérons l'équation 2x₁ + x₂ - 4x₃ + _{xn = 3}

x : (2,3,1,0) est une solution de cette équation

x : (0,1,0,2) est une solution de cette équation

x : (1,1,0,0) est encore une solution de cette équation.

 Systèmes d'équations linéaires

Tout système d'équations linéaires peut s'écrire sous la forme matricielle AX=B. La forme générale d'un système de m équations en n variables est le suivant :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = b_m

ou

? a_ijx_j = b_i

Les a_ij (i=1,2, ..., m ; j=1,2,..., n) sont les coefficients du système ; les b_i (i = 1,2, ..., m) sont les termes constants ; les x₁, x₂, ..., x_n sont les variables.

Un vecteur x : (x₁, x₂, ..., x_n) est une solution du système s'il vérifie les égalités ou s'il est solution de m équations linéaires simultanément.

L'ensemble de toutes les solutions du système est appelé « l'ensemble solution » ou encore « la solution générale du système ».

Il convient de noter que la solution d'un système d'équations n'est pas nécessairement unique. Un système peut avoir une infinité des solutions ; il se peut aussi qu'il n'ait aucune solution. Dans ce cas, on dit que le système d'équations est incompatible ou impossible ou encore inconsistant.

2. Equations de degré n

Par équation de degré n, on entend toute équation de la forme :

A1msqlkfjmlksjfdmlqskjfmqskjfmqskjfmsqkjf

Où a₁, a₂, a₃, ..., a_n sont des coefficients ;

x₁, x₂, x₃, ..., x_m sont des variables ;

b est une constante

n, n-1, n-3, 0 des puissances et

n, la puissance la plus élevée (degré de l'équation).

Diverses méthodes de résolution des équations linéaires, des équations de degré n ainsi les calculs des déterminants seront présentés dans les applications.

II.1.3. Applications économiques

Dans ce point nous essayons d'appliquer la notion des déterminants et celles des équations aux problèmes économiques.

Note

Vu les difficultés rencontrées, nous n'avons pas pu récolter les données réelles auprès des agents économiques de la ville de Lubumbashi. C'est ainsi que nous présentons des données arbitraires, mais pouvant être réelles.

1. Phénomène économique 1

Une entreprise propriétaire de cinq boutiques a en stock 10 postes de télévision (t), 15 chaînes stéréo (s), 9 tourne-disques (d) et 17 magnétophones (m) dans le magasin 1 ; 20t, 14s, 8d et 5m dans le magasin 2 ; 16t, 8s, 15d et 6m dans le magasin 3 ; 25t, 15s, 7d et 16 m dans le magasin 4 ; 5t, 12s, 20d et 18 m dans le magasin 5.

Questions :

a. Exprimer les stocks existants sous une forme matricielle ;

b. la société-mère effectue les livraisons D à des magasins, sachant que

4 3 5 2

0 9 6 1

4 7 2 6

12 2 4 8

9 6 3 5

D = que deviennent les stocks ?

8 12 6 9

10 11 8 3

15 6 9 7

21 14 5 18

6 11 13 9

c. un état mensuel des ventes E révèle que E =

Quel niveau ont les stocks en fin de mois ?

d. si le prix d'un poste de télévision est de 3.000F, le prix d'une chaîne stéréo de 2.500 F, le prix d'un tourne-disque d e1.750 et le prix d'un magnétophone de 1.250 F. Déterminer la valeur V du stock dans le magasin 2 et celle des cinq magasins réunis.

Résolution mathématique

a. Présentons d'abord ces données d'une manière graphique.

10 15 9 17

20 14 8 5

16 8 15 6

25 15 7 16

5 12 20 18

(m)

Magasin 1	10	15	9	17

A =

5

Magasin 3	16	8	15	6
Magasin 4	25	15	7	16

Figure 3.2

18

De ce tableau, nous avons la matrice A que voici :

A =

10 15 9 17

20 14 8 5

16 8 15 6

25 15 7 16

5 12 20 18

- A est l'expression des stocks existants sous formes matricielle.

b. Pour avoir le nouveau niveau des stocks, nous devons additionner les matrices A et D.

Additionner deux matrices de même ordre A et D consiste à additionner deux à deux les éléments correspondants c'est-à-dire occupant les mêmes places dans A et B. Ainsi,

4 3 5 2

0 9 6 1

4 7 2 6

12 2 4 8

9 6 3 5

10 15 9 17

20 14 8 5

16 8 15 6

25 15 7 16

5 12 20 18

=

A + B =

10+4 15+3 9+5 17+2

20+0 14+9 8+6 5+1

16+4 8+7 15+2 6+6

25+12 15+2 7+4 16+8

5+9 12+6 20+3 18+5

14 18 14 19

20 23 14 6

20 15 17 12

27 17 11 24

14 18 23 23

C =

=

c. Pour connaître le niveau des stocks en fin du mois, soustrayons la matrice E représentant l'état de vente de la matrice C représentant le nouveau stock. Ainsi,

8 12 6 9

10 11 8 3

15 6 9 7

21 14 5 18

6 11 13 9

14 18 14 19

20 23 14 6

20 15 17 12

27 17 11 24

14 18 23 23

-

C - E = =

6 6 8 10

10 12 6 3

5 9 8 5

6 3 6 6

8 7 10 14

14-8 18-12 14-6 19-9

20-10 23-11 14-8 6-3

20-15 15-6 17-9 12-7

27-21 17-14 11-5 24-18

14-6 18-11 23-13 23-9

F =

d. Le magasin 2 est représenté par la deuxième ligne de la matrice (cfr. Figure 3.2.). Ainsi, si nous prenons la deuxième ligne de la matrice F, nous avons le vecteur ligne (10, 12 6 3) où chaque chiffre représente le stock de chaque article.

Ainsi pour connaître la valeur V2 du stock dans le magasin 2, nous devons multiplier la quantité de chaque article par son prix unitaire et additionner tous les produits. Nous aurons alors.

(t) (S) (d) (m) (t) (S) (d) (m)

Magasin 2 = M₂ (10 12 6 3) et prix unitaire P = (3000F 2500F 1750F 1250F)

V₂ = M₂ x P = [ (10 x 3000) + (12 x 2500) + (6 x 1750) + (3 x 1250)]

V₂ = 74.250 FC

· Pour connaître la valeur V des stocks de cinq magasins réunis, i faudra trouver les valeurs des stocks de chaque magasin, puis les additionner.

2. Phénomène économique 2

La condition d'équilibre pour deux biens substituables est donnée par :

5p1 - 2p2 = 15

-p1 + 8p2 = 16

Question : trouver le prix d'équilibre

Résolution : nous allons résoudre ce système par la méthode de substitution

==> P₂ = = 2,5 (3)

(1) 5p₁ - 2 p₂ = 15 1

(2) -p₁ + 8p₂ = 15 5

38p₂ = 95

95

38

(3) dans (2) - p₁ + 8.2,5 = 16

==> - p₁ + 20 = 16

==> - p₁ = -4

P₁ = 4

Les prix d'équilibre sont p₁ = 4 et p₂ = 2,5

3. Phénomène économique

Dans une économie, la demande et l'offre en fonction du prix sont données par les relations suivantes :

Demande = 2q + p = 6

Offre : q - p = 0, où q représente la quantité demandée et p le prix.

Question : Trouver  le prix d'équilibre du marché

Résolution : trouver le prix d'équilibre est celui du moment où les quantités offertes et demandées se correspondent.

Ainsi, d'une manière mathématique, nous allons faire l'intersection des équations de ces deux courbes ou résoudre ce système d'équations :

2q + p = 6 (1) x1

q - p = 0 (2) x -2

3p = 6 ==> p - 6/3 = 2 (3)

(3) dans (2) q - 2 = 0 ==> q = 2

D'où q = 2 et p = 2, c'est-à-dire le prix d'équilibre est 2

II.1.4. Etudes des fonctions

1. Définition d'une fonction dans R

Une fonction f : R ==> R est une relation telle que chaque antécédent ou au plus une image.

On note f : R ==> R

x ==> f(x) = y ; f(x) = y : « y est image de x par f »

2. Domaine de définition d'une fonction

Le domaine de définition de f : R ==> R est l'ensemble des antécédents ayant une image. Il est noté Dom f.

Pour un polynôme entier, c'est-à-dire de la forme :

axⁿ + bx^n-1 + cx^n-2 + ... + dx^n-n + cx^o = y , Domf = R

Dans l'analyse économique, étudier le domaine de définition d'une fonction c'est connaître l'ensemble des valeurs qui vérifient cette fonction (équation). Ainsi dans la théorie de la demande, le domaine de définition d'une fonction de demande est l'ensemble des valeurs (prix, quantités ou revenus) favorables à la demande ou vérifiant l'équation.

Ces valeurs se trouvent exclusivement sur la courbe de demande.

- f(x_o) existe dans R et

- lim f(x) = f(x°)

^{X => 0}

3. Continuité

Une fonction f(x) est continue en x_o si :

Dans l'analyse économique, particulièrement dans la théorie de la demande, x_o représentera la quantité, le prix ou le revenu. A une valeur x_o donnée (quantité, prix ou revenu), on verra si la demande sera continue, c'est-à-dire la demande ne s'arrêtera pas à ces prix, quantité ou revenu.

4. Maximum - Minimum

La fonction y = f(x) admet le point A (x_o, y_o) comme :

· Maximum si y'_o = 0 et y' change de signe (c'est-à-dire de + à -)

x -8 x_o +8

-y' + + + 0 - - - -

y_o

Max

y' est la dérivée première de y

· Minimum si y'_o = 0 et y' change de signe de - à +

y_o

x -8 x_o +8

y' - - - 0 + + +

Dans la théorie de la demande, les « maximum » et « minimum » correspondent au niveau maximal et minimal de la demande de part une fonction de demande.

5. Croissance et décroissance

Une fonction y = f(x) est :

- croissante dans un intervalle [a, b] si y' > 0 en chacun de ses points

- décroissante dans un intervalle [a, b] si y' < 0 en chacun de ses points

Dans la théorie de la demande, nous verrons sur la fonction dans quelle intervalle la demande est croissante et dans laquelle elle est décroissante (par intervalle entendons les niveaux des prix ou revenu).

6. Concavité

- la concavité de la courbe est tournées vers les y positifs (c'est-à-dire vers le haut) si y'' > 0

- elle est tournée vers le bas ou vers les y négatifs si y'' < a.

y'' est la dérivée seconde de y.

7. Point d'inflexion

Le point d'inflexion est le point d'une courbe où la courbe change d'allure (de signe), concavité tournée vers le haut d'un côté et vers le bas d'un autre côté.

A (x_o, y_o) est un point d'inflexion pour la courbe y = f(x) si y'' = o et change de signe en x = x_o.

II.1.5. Applications économiques

Nous allons appliquer dans ce point, l'étude d'une fonction pour une fonction de demande.

p + 1

p

Dans un marché, l'évolution de la demande q d'un bien par rapport au prix p est exprimé par la fonction q = Etudions cette fonction.

a. Domaine de définition

N(x)

D(x)

q étant une fonction rationnelle de la forme fx = Domf f = R\[x\D(x) = 0]

p + 1

p

d'où q= Domf q = R\p=0 ou R\[0] = ]-8,0[ U ]0, +8 [

Ceci signifie que la quantité demandée est définie à tout prix outre que O. O représentant l'origine d'un marché où aucun prix n'est fixé et le bien est supposé livré gratuitement. D'où la demande est infinie.

b. Continuité

Dans la théorie de la demande, la continuité d'une fonction nous permet de voir chaque fois si à un prix fixé, la demande s'arrêtera ou pas.

Si nous prenons le prix p =2 ;

q(2) = lim q

^p =>2

2 + 1

2

q (2) = = 1,5

2 + 1

2

lim q = = 1,5

^p =>2

D'où, au niveau du prix équivalent à 2, la demande continue.

c. Maximum - minimum

Etudions d'abord, la dérivée première de cette fonction, q' :

- 1

p²

p - (p+1)

p²

(1'.p - p' (p+1)

p

(p + 1)'

p

* q' = = = =

1

p²

* q' = 0 ==> ==> 1 = 0 (indétermination)

Etude des signes de q' :

p -8 0 +8

-1 - - - - - - - - - - - - -

p² - - - 0 + + +

q' + + + // - - -

Cette fonction n'admet ni des demande et prix maximales ni minimales.

d. Croissance - décroissance

Etudions les signes de la dérivée première de q, q' :

- 1

p²

q' =

p -8 0 +8

-1 - - - - - - - - - - - - -

p² - - - 0 + + +

q' + + + // - - -

Conformément à la théorie mathématique, toutes choses restant égales par ailleurs, la demande est croissante dans l'intervalle]-8, 0[et décroissante dans ]0, +8[. Ceci signifie qu'à tout prix inférieur a zéro la demande augmente et dans le cas contraire elle diminue.

e. Concavité

Etudions la dérivée seconde de q, q'

(- 1)'. p² - (-).(p²) = +2p = 2

p⁴ p⁴ p³

- 1

p²

- 1

p²

q' = = q'' = =

2

p³

q'' = p³ = 0 ==> p = 0

Signes de q''

p -8 0 +8

2 + + + + +

p³ - - - 0 + + +

- - - - // + + + + +

A tout prix supérieur à 0, la courbe de demande est tournée vers le haut, et à tout prix inférieur à 0, la courbe de demande est tournée vers le bas.

0 représente un prix unique que le marché n'accepte pas.

f. Point d'inflexion

La courbe n'admet aucun couple (prix-demande) au niveau duquel elle changera de position.

g. Graphique

Le graphe de cette fonction de demande dans un système d'axes orthogonaux se présente comme suit :

Figure 3.3

0

La figure 3.3. représente la courbe de demande relative à la fonction ci haut donné. Cette dernière démontre le principe de la loi d'offre et de la demande (la demande diminue lorsque le prix augmente). 0 représente l'origine des prix et des demandes.

III.2. Géométrie analytique

Ce qui définit principalement la géométrie analytique, c'est le lieu qu'elle établit entre l'algèbre et la géométrie. On utilise d'une part les lois, méthodes et équations algébriques pour décrire des lieux géométriques, pour interpréter et pour résoudre des problèmes géométriques. On exprime d'autre part les lieux géométriques et leurs propriétés par des équations algébriques.

Le cadre dans lequel s'établit cette relation entre un lieu géométrique et une équation algébrique est un système de coordonnées.

On peut ainsi représenter graphiquement des relations entre deux ensembles de nombres réels, ces relations s'exprimant en général par des équations.

Inversement, à partir des représentations graphiques, on peut décrire au moyen d'équations les caractéristiques géométriques observées. En fait, la géométrie analytique a grandement facilité l'étude des fonctions menée à bien dans la section précédente.

Note : il existe d'autres systèmes de coordonnées dans un plan, comme les systèmes obliques et le système de coordonnées polaires. Nous n'utilisons dans ce travail que le système dit cartésien ou rectangulaire. Le principe de ce système qui comporte deux axes réels perpendiculaires, est le suivant : à chaque point d'un plan correspond un couplé unique de nombres réels et à chaque couple de nombres réels est associé un seul point du plan.

La représentation graphique des phénomènes demeurant un élément indispensable à l'analyse économique, la géométrie analytique est nécessaire à la compréhension des phénomènes économiques. Ainsi grâce à la géométrie analytique nous pouvons faire des prévisions économiques et la révision des situations économiques.

III.2.1. Le point

Y

0

p

è

Le point est, tout comme la droite, l'élément fondamental de la géométrie. La figure 3.4 démontre la représentation d'un P(a, b) dans un système des coordonnées cartésien.

P (a,b)

X

Figure 3.4

a

- ox est l'axe des abscisses ou des x

- oy est l'axe des ordonnées ou des y

- o est l'origine des axes

- a est l'absence

- b est l'ordonnée

- x ô y est l'angle des axes, qui est égal à 90' dans le système cartésien

Dans la science économique, la représentation d'un point correspond à la représentation des phénomènes interdépendants. C'est ainsi que dans la théorie de la demande la représentation d'un niveau des prix ou revenu auquel correspond une demande est un point.

Exemple : sur un marché d'un seul bien, lorsque le prix est de 2 F, la demande est de 6 F et lorsqu'il est de 3 F la demande est de 4 F.

Quantité

(2, 6)

6

(3, 4)

4

Figure 3.5

1

4

3

2

Prix

III.2.2. La droite

Une droite est une suite continue et illimitée des points alignés. Sa forme générale est : Ay+Bx+C = 0. Avec A, B, C, å R. Donc toute équation du premier degré est une droite.

Ainsi, l'ensemble des phénomènes économiques interdépendants deux à deux et chacun évoluant progressivement suivant le modèle d'une progression arithmétique ; chaque phénomène avec sa raison de progression précise, sa courbe représentative est une droite.

Exemple :

Sur le marché d'un bien, on observe pendant un temps bien déterminé ceci : lorsque le prix augmente chaque fois d'un franc, la quantité d'unités demandées diminue de 2. Représentons graphiquement ce phénomène sachant initialement lorsque le prix vaut 1, la quantité égale 8.

Quantité

8

7

6

5

4

3

2

1

Figure 3.6

Prix

4

3

2

1

Ainsi grâce à la représentation sur la figure 3.6, nous pouvons trouver l'équation de cette droite.

Pour avoir cette équation, prenons au préalable deux couples (points) de ce phénomène (prix - quantité).

Dans la géométrie analytique, l'équation d'une droite passant par deux points (x₁, y₁) et (x₂, y₂) se présente comme suit :

Y₂ -Y₁

X₂ - X₁

Y - Y₁ = (X - X₁)

Si nous prenons les niveaux « prix - quantité » (1, 8) et (4, 2) ; nous aurons :

2 -8

4 - 1

Y - 8 = (X - 1)

Y - 8 = -2 (X - 1)

Y - 8 = -2x + 2

Y = -2x + 10 (1)

Si dans l'équation (1) nous remplaçons y par la quantité q et x par le prix p, nous aurons la fonction de demande de ce phénomène qui est l'équation de la droite. q = -2p + 10.

III.2.3. Lieux géométriques

1. Définitions

Un lieu géométrique est l'ensemble des points jouissants d'une propriété commune bien définie. Ex : droite, cercle, Ellipse, Hyperbole, parabole.

Ainsi l'ensemble des phénomènes économiques interdépendants évoluant suivant une règle bien définie et pouvant être représentée graphiquement, est un lieu géométrique.

Exemple : voir phénomène représenté sur la figure 3.6.

Tout changement de la demande en fonction du prix, sur un même marché pour un ou plusieurs biens déterminés suivant une quelconque propriété, la représentation graphique de la fonction de cette demande est un lieu géométrique.

2. Méthodes de recherche

La recherche d'un lieu géométrique consiste à trouver l'équation algébrique de ce lien. L'équation d'un lieu géométrique est une expression algébrique qui décrit la condition d'appartenance à ce lieu, c'est-à-dire qui caractérise tous les points de ce lieu. Cette équation exprime ainsi la relation qui existe entre les coordonnées x et y d'un point quelconque P(x, y) de ce lieu.

Il existe différentes méthodes de recherche des lieux géométriques ; mais nous n'utiliserons uniquement que la méthode dite de traduction.

Méthode de traduction

On traduit la propriété commune en donnant à un point du lieu les coordonnées (?, â). si la propreté s'écrit f(?,â) = 0, alors le lieu cherché est f(x, y) = 0

Exemple :

Un point P se déplace de telle sorte que la somme de ses distances aux axes coordonnées est égale au carré de sa distance à l'origine. Trouvez l'équation du lieu de P.

En effet, soit P (?, â) :

- distance de P (?, â) à OX = â

- distance de P (?, â) à OY = ?

- distance de P (?, â) à 0 (00) = v?² + â²

on a â + ? = (v?² + â²)²

â + ? = ?² + â² = ?² + â² - ? - â = 0

Lieu : x² + y² -x - y = 0, c'est un cercle

Notons que la manière de traduire un fait géométrique ne sera pas nécessairement la même que celle de traduire un phénomène économique.

3. Représentation graphique d'un lieu géométrique

Nous avons vu que l'équation algébrique d'un lieu géométrique établit une correspondance entre l'abscisse x et l'ordonnée y de chacun des points P (x, y) qui appartient à ce lieu. Lorsque nous voulons représenter un lieu géométrique, nous devons trouver le plus parfaitement possible la courbe représentative du lieu. Toutefois, il est avantageux de connaître les caractéristiques générales de certains lieux afin de les représenter correctement et plus facilement.

Ainsi, on peut tracer une courbe en procédant point par point : On dresse un tableau des valeurs (en nombre suffisant) des couples x et y qui satisfont à l'équation du lieu, on représente les points correspondants dans un plan cartésien et on trace la courbe en reliant ces points. On peut aussi tracer une courbe à partir des caractéristiques générales du lieu décrit et de son équation : le domaine, l'ordonnée à l'origine et les zéros de l'équation, les symétries du lieu, etc.

Exemple :

Représentons dans un plan cartésien le lieu géométrique décrit par l'équation 3x - 2y + 1 =0

En effet,

Si nous procédons point par point, nous trouvons quelques points de la courbe :

X	-1	0	1	3
Y	-1	½	2	5

3x + 1

2 2

Nous portons ces points dans le plan et nous tracerons la droite (figure 3.7a)

En transformant l'équation 3x-2y+1 = 0, nous obtenons y =

Nous reconnaissons l'équation de la fonction affine. La droite décrite par cette équation est de pente 3/2 et d'ordonnée à l'origine ½.

Nous pouvons représenter ce lieu à partir de ces deux caractéristiques (figure 3.7b).

3

2

2

-1

-1

1

X

2

5

Y

Figure 3.7b

Figure 3.7a

-1

3

1

X

2

5

Y

-1

CHAPITRE IV. ANALYSE DYNAMIQUE

IV.1. Notion

Le concept dynamique a plusieurs significations dans l'analyse économique. Ce terme se réfère au type d'analyse dont l'objet est soit de tracer et d'étudier les sentiers temporels des variables, soit de déterminer si, étant donné une période de temps suffisante, ces variables convergent vers certaines variables d'équilibre.

Un trait saillant de l'analyse économique est de dater les variables. C'est ainsi que le temps joue un rôle important en économie.

Le temps peut se dérouler de façon continue ou peut être décomposé en un certain nombre de périodes.

La définition d'une période de temps dépendra de la manière dont se déroule le phénomène économique considéré. Ainsi dans ce travail nous essayerons de tracer et d'étudier les sentiers temporels des phénomènes se déroulant d'une manière régulière et suivant une fonction bien définie.

L'étude des fonctions, les intégrales et les équations différentielles sont des notions mathématiques intervenant généralement dans l'étude de temps dans l'analyse économique.

Dans l'analyse économique, l'étude de temps permet de voir la variation d'un phénomène par rapport au temps afin de faire quelques prévisions économiques et connaître la rentabilité d'un projet.

IV.2. Calcul du temps

Nous verrons, dans cette section le temps d'une production et le temps de demande, la dynamique de production et la dynamique de la demande.

IV.2.1. La dynamique de la production

Etant donné une fonction de production déterminée, laquelle définissant toutes les possibilités de production. Dans l'application, chaque possibilité correspondra à un temps défini et connaissant ledit temps, l'analyse temporelle est possible.

Ainsi si à titre d'exemple, une industrie manufacturière produit régulièrement 10 tonnes de chocolat chacune des trente minutes, nous pouvons connaître la quantité à produire pendant un temps quelconque.

IV.2.2. La dynamique de la demande

Etant donné le caractère complexe de la théorie de la demande, les résultats pouvant être obtenus dans la dynamique de la demande seront généralement plus hypothétique car pour définir avec précision la demande par rapport au temps, nous devons également tenir compte des facteurs démographiques, sociaux, culturels ainsi que la nature du marché.

Pour avoir cette précision, nous devons cibler une catégorie des consommateurs bien précise contraint à consommer perpétuellement un bien défini, lequel bien fournit par un agent économique en monopole parfait.

Si nous considérons que la farine de maïs consommée dans la ville de Lubumbashi est vendue uniquement par l'entreprise Greska, et que la demande est de quatre mille tonnes par mois, alors nous pouvons exprimer la demande par rapport au temps. Mais dans le cas contraire nous allons recourir à la méthode statistique pour calculer la demande par rapport au temps.

L'objectif de la dynamique de la demande étant de connaître le niveau de la demande par rapport au temps, nous pouvons avoir une fonction de demande par rapport au temps, dans laquelle fonction le temps est une variable, l'inconnue.

La fonction de demande par rapport au temps est une fonction algébrique de la forme atⁿ + bt^n-1 + ct^n-2 + ... + zt^n-n = 0 où a, b, c, ..., z représentent la quantité produite et t la variable temps. L'étude de cette fonction est la même que celle de toutes les fonctions algébriques.

Nous devons relever par ailleurs que cette demande en fonction du temps est tributaire soit du prix, soit du revenu car ce sont ces derniers qui déterminent les quantités demandées.

Ainsi nous aurons deux expressions :

- la demande par rapport au prix en fonction du temps ;

- la demande par rapport au revenu en fonction du temps.

Exemples :

1. sur un marché monopolaire, la quantité demandée d'un bien x par rapport au prix est de 1200 unités par semaine (en moyenne). Trouver la quantité demandée pendant 2 jours, 3 semaines et une année de 365 jours. En effet, dans ce cas la quantité demandée hebdomadairement est constante et l'unité de temps est la semaine. Lorsque la semaine est une, la quantité demandée globale est inchangée. D'où nous pouvons tirer cette équation de la demande globale q_t en fonction du temps : qt = 1200 t ;

· lorsque t vaut une semaine, q_t = 1200 x 1 = 1200 unités

· lorsque t vaut 2 jours c'est-à-dire 2/7 semaines, q_t = 1200 x 2/7 = 342,8 unités

· lorsque t vaut 356 jours c'est-à-dire 365/7 semaines, q_t = 1200 x 365/7 = 62571,428 unités.

2. par rapport à un revenu constant, la quantité demandée d'un bien x est de 2 unités par jour sur un marché monopolaire. Faites la prévision de la demande pour une semaine.

En effet, la quantité demandée quotidiennement est constante est l'unité de temps est le jour. Ainsi l'équation de la demande globale q_t en fonction du temps est :

q_t = 2t

t=1 ==> q_t = 2

t=2 ==> q_t = 4

t=3 ==> q_t = 6

t=4 ==> q_t = 8

t=5 ==> q_t = 10

t=6 ==> q_t = 12

t=7 ==> q_t = 14

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

q_t

Figure 4.1

1 2 3 4 5 6 7

t

La figure 4.1 représente graphiquement le phénomène. Ainsi le lien de tous les points (quantités globales - temps) est une droite.

CONCLUSION GENERALE

Les mathématiques connaissent aujourd'hui un succès indiscutable leur place est particulièrement importante dans les économiques car elles pénètrent tous les niveaux du cadre pratique des dites sciences.

Nous avons, dans ce travail, pu démontrer d'une manière typique l'intervention incontournable des mathématiques dans les sciences économiques et particulièrement dans la théorie de la demande. C'est ainsi que nous pouvons affirmer que l'on ne peut étudier la théorie de la demande sans mathématiques.

Au coeur de la microéconomie se trouve l'hypothèse que les agents économiques ont un comportement optimisateur au sein de leur environnement.

Le champ des mathématiques le plus approprié pour une telle étude est l'optimisation, c'est-à-dire la maximisation ou la minimisation d'une fonction de plusieurs variables dans laquelle les variables sont contraints soit par des équations soit pour des inéquations.

« L'économie est un domaine dynamique ; les théories économiques introduisent ou utilisent régulièrement de nouvelles idées et techniques mathématiques pour éclairer la théorie économique et l'analyse économique ».

« Le sujet de ce travail exprime une double intention : présenter la théorie de la demande dans ses fondements logiques, et montrer le néophyte à la démarche scientifique dans la réflexion économique-mathématique. Cette approche en exclut nécessairement d'autres : par exemple, celle d'une présentation encyclopédique des phénomènes économiques qui risquerait d'être trop elliptique, voire superficielle ; ou encore celle d'une description détaillée et complète des institutions et de la vie économique, dont la compréhension en profondeur nous parait impossible sans connaître au préalable les règles générales du fonctionnement de l'économie.

La succession des thèmes étudiés se présente dans un ordre correspondant à celui des interactions entre les divers éléments de la vie économique, allant du particulier au générale et les modèles mathématiques ».

« Soulignons d'ailleurs que les principales démonstrations du texte comportent chaque fois trois types d'illustrations numériques, algébrique et graphique, représentant trois versions du même argument.

BIBLIOGRAPHIE

1. Allen, R.G.D., Mathématical economics, 2^nd edition, Macmilan, London, 1966 .

2. Archibold, G.C., and Lipsey, R.C., An introduction to a mathematical treatement of economics, 3^rd edition, ESBS, London, 1976.

3. Arhimard, G. et Guerrien, B., Analyse mathématique pour économistes, Economica, Paris, 1992.

4. Baumol, W. and Blinder, A., Economics : principles and poley, 4th edition, Hacourt Brace Jovanovich, 1988.S

5. Cahuc, P., La nouvelle microéconomie, La découverte, Paris, 1998

6. Capul, J.Y. et Garnier, O., Dictionnaire d'économie et des sciences sociales, Hatier, Paris, 2005

7. Chiang, A.C., Fundamental methods of mathematical, 3^rd ed., McGraw-Hill Inc. New York, 1984

8. Dupont, Bernard, Algèbre pour les sciences économiques, Armand colin, Paris, 1997

9. Esh, L., Mathématiques pour économistes et gestionnaires, De Boeck université, Bruxelles, 1992

10. Etner, Percheron, Exercice de microéconomie, 7^e édition, Armand colin, Paris, 2001

11. Gabszewiez, J.J., Théorie microéconomique, 2^e éd., De Boeck université, Bruxelles, 1987

12. Gandolfo, G., Mathematical methods and models in economic dynamics, North-Holland, Amsterdam, 1980

13. Grawitz, Madeleine, Méthodes des sciences socials, 11^e éd., Dalloz, Paris, 2001

14. Guerrien, B., Algébre linéaire pour économistes, 4^e éd, Economica, Paris, 1997

15. Heertjie, H., Pierretti, P. et Barthelemy, P., Principe d'économie politique, 2^e éd., De Boeck université, Bruxelles, 1997

16. Jacquemin, A., et Tulkens H., Fondements d'économie politique, De Boeck université, Bruxelles, 1996

17. Jallais, S., Mathématiques des modèles dynamiques pour économistes, La découverte, Paris, 2001

18. Kamiantako M., Mathématiques générales pour économistes, Kinshasa, 2005 (inédit)

19. Lancaster, Kelvin, Mathematical economics, Dover publications Inc, New York, 1987

20. Musewa, Mbayo, L'art de confectioner un travail scientifique, Presses universitaires de Lubumbashi, Lubumbashi, 2003

21. Percheron, Serge, Exercices de mocroéconomie, 7^e éd., Armand Colin, Paris, 2001

22. Pratier A., Cahuzac, P., et Chmbadal, L., Economie et mathématiques, Presses universitaires de France, Paris, 1965

23. Provost, Jol, Les mots de l'économie, Elllipses, Paris, 1989

24. Samuelson, P.A., Economics, Mcgraw-Hill Inc, New York, 1976

25. Silem, A. et Albertin, I.M., Lexique d'économie, Dalloz, Paris, 1999

26. Simon, C. et Blume, L., Mathématiques pour économistes, De Boeck université, Bruxelles, 1998

27. Takayama, A., Mathématical economics, 2^e éd., Cambridge université, Bruxelles, 1998

28. Wenu, Becker, Travail scientifique : théorie et pratique, Presses universitaires de Lubumbashi, Lubumbashi, 2001

TABLE DES MATIERES

Avant-propos III

Introduction générale 1

1. Présentation du sujet 1

2. Choix et intérêt du sujet 1

3. Problématique 1

4. Hypothèse du travail 2

5. Méthodes utilisées 3

5.1. Méthode déductive 3

5.2. La méthode inductive 4

6. Techniques utilisées 4

7. Délimitation du sujet 4

8. Plan sommaire du travail 4

Première partie Rapport entre mathématiques et phénomènes économiques 5

Chapitre I : Considérations générales 6

I.1. Les mathématiques dans la théorie économique 6

a. Relations étroites qui lient les mathématiques à l'économie 6

b. Modèles de choix du consommateur 7

I.2. Importance ou apport des mathématiques dans l'étude économique 10

Chapitre II. Mathématiques et phénomènes économiques 14

II.1. Mathématiques 14

1. Qu'est ce que les mathématiques ? 14

2. Les branches des mathématiques 15

II.2. Phénomènes économiques 17

1. La théorie de la production 18

1.1. Facteurs de production 18

1.2. Fonction de la production 19

1.3. Coût de production 19

2. La théorie de la consommation 20

3. La théorie de la demande 21

3.1. Notion 21

3.2. La loi de l'offre et de la demande 21

3.3. Fonction de la demande 22

3.3.1. La demande en fonction du revenu 22

a. La courbe « consommateur-revenu » 22

b. La courbe d'Engel 24

3.3.2. La demande en fonction du prix 24

a. La courbe « consommation-prix » 24

b. La courbe de « demande » 25

3.4. Les déterminants de la demande 26

a. La fonction de demande et la clause « Ceteris Paribus ». 26

3.5. De la courbe de demande individuelle à la courbe de demande de marche 29

3.6. Elasticité de la demande 30

3.6.1. Notion 30

3.6.2. L'élasticité de la demande par rapport au prix 30

3.6.3. L'élasticité de la demande par rapport au revenu 31

3.6.4. L'élasticité croisée de la demande 31

Deuxième partie : Applications des mathématiques aux phénomènes économiques 32

Chapitre III. Algèbre et géométrie 33

III.1. Algèbre 33

III.1.1. Les déterminants 33

1. Les matrices 33

2. Déterminants d'une matrice carrée 34

II.1.2. Les équations 37

1. Equations linéaires 37

2. Equations de degré n 38

II.1.3. Applications économiques 38

1. Phénomène économique 1 39

2. Phénomène économique 2 42

3. Phénomène économique 42

II.1.4. Etudes des fonctions 43

1. Définition d'une fonction dans R 43

2. Domaine de définition d'une fonction 43

3. Continuité 43

4. Maximum - Minimum 43

5. Croissance et décroissance 44

6. Concavité 44

7. Point d'inflexion 44

II.1.5. Applications économiques 45

a. Domaine de définition 45

b. Continuité 45

c. Maximum - minimum 45

d. Croissance - décroissance 46

e. Concavité 46

f. Point d'inflexion 47

g. Graphique 47

III.2. Géométrie analytique 48

III.2.1. Le point 48

III.2.2. La droite 49

III.2.3. Lieux géométriques 51

1. Définitions 51

2. Méthodes de recherche 51

3. Représentation graphique d'un lieu géométrique 52

Chapitre IV. Analyse dynamique 53

Chapitre IV. Analyse dynamique 54

IV.1. Notion 54

IV.2. Calcul du temps 54

IV.2.1. La dynamique de la production 54

IV.2.2. La dynamique de la demande 55

Conclusion générale 57

Bibliographie 58

Table des matières 60

* ¹ Cité par Kamiantako, M., Mathématiques générales pour économistes, Kinshasa, 2005 (inédit)

* ² Idem

* ¹ Science qui a pour objet d'étudier et d'appliquer les méthodes et techniques mathématiques et statistiques à l'économie

* ² KAMIANTAKO MIYAMUENI, Mathématiques générales pour économistes, mai 2005 (inédit)

* ³ Carl P. Simon & Lawrence Blume, Mathématiques pour économistes, De Boeck université, Bruxelles, 1998, p.V

* ⁴ Cart P. Simon & Lawrence Blume, Mathématiques pour économistes, De Boeck université, Bruxelles, 1998, p.V

* ⁵ cfr. Page III

* ⁶ Idem

* ⁷ Cité par MWALABA KASANGANA, Cours d'économie politique I, 1999-2000, p.17

* ⁸ Idem

* ⁹ cfr. Encyclopédie alphabétique Hachette, volume 16, 1993, p.2233

* ¹⁰ Dictionnaire : Le petit Larousse, édition 2001

* ¹¹ Cfr. Encyclopédie Hachette

* ¹² Jean-Yves et Olivier Garnier, Dictionnaire d'économie et sciences sociales, Hâtier, Paris, 2005, p.357

* ¹³ A. Jacquemin et Henry , T., Fondements d'économie politique, De Boeck université, Bruxelles, 1996, p.8

* ¹⁴ Jean-Yves C. et Olivier G., Dictionnaire d'économie et des sciences sociales, Hâtier, Paris, 2005, p.157

* ¹⁵ Jean-Yves C. e Olivier G., op. Cit, p.87

* ¹⁶ A. Jacquemin et H. Tulkens, Fondements d'économie politique, De Boeck, Paris, 1996, p.138

* ¹⁷ Christian Lerenz Ernest Engel, Statisticien allemand qui a étudié le premier les lois statistiques de la consommation.