Relation entre la charge centrale de l'algèbre de Virasoro et l'effet Casimir dans le plan

3. Cas d'un plan fini

On considére le cas particulier de la transformation conforme, qui consiste a la transformation qui fait passer d'un plan infini a une bande semi- infinie de largeur (L).

On pose z = p e^iè et w = u + iv. La transformation conforme

z '-* w(z) =L 2ð ln(z) réduit un plan infini repéré par le nombre complexe z en une bande semi- infinie de largeur L, repérée par le nombre complexe w.

En effet:

L w(z) = ln(z) = 2ð

u= ^Llnp ; p?[0,+8[ 2ð L v=è ; è ? [0, 2ð[ 2ð

f uER
v E [0,L[

On en déduit qu'il s'agit bien d'une transformation du plan vers la bande semi-infinie. Dans ce cas, la dérivée Shwartzienne de w(z) par rapport a z, s'écrit :

_!2

L

2ðz² = 1

L 2

2ðz

{w(z); z} =

L ðz³ L 2ðz

Le tenseur énergie impulsion sur la bande vaut alors :

(2ðz)2 ( z²Tp (z) - _c)

Tb (w) = (29)

L 24

Pour une théorie conforme invariante par translation dans le plan infini, la dimension conforme L est nulle [4, 7]. En utilisant l'identité de Ward, il vient :

(Tp) = 0 (30)

On en conclut que :

ð²c

(Tw) = - (31)
6L²

On précise que (...) désigne la moyenne par rapport aux configurations du champs ?(x).

Dans le cas d'une transformation conforme infinitésimale dans le plan complexe de w, d'une bande semi-infinie de largeur L, a celle de largeur L + 8L, les coordonnées u et v varient comme:

fu7? u v7?(1

Ce qui se traduit par :

(32)

+E)v

fau = Ev8u2 (33)
gu _í = -2 E8í28u2 D'autre part, l'énergie libre, a une constante près, d'un système statistique

défini sur le plan est donnée par:

F=-lnZ (34)

Oü Z est la fonctionnelle génératrice des moments, qu'on appelle aussi fonction de partition du système statistique, et elle est donnée par une intégrale de chemin :

JZ=D

fi? e-S[?] avec D? = x?Ù

d?(x) (35)

Calculons la variation de l'énergie libre :

8F =--^8Z (36)
Z

= (--S[?]) (37)

= -- = --

417 LX (T^uí) 8^guí (38)

1

47 Ld²X (T²²) 8^g22 (39)

Pour une theorie invariante d'echelle, le tenseur energie impulsion est de trace nulle, ce qui donne :

(_T22) (_T11) (40)

= -- (T(z)) -- (T(z)) (41)

= --2 (T(z)) (42)
Et par consequent, on en tire :

8F = --4₇ Id² X (--2 (Tb(z))) (--2E) (43)
= 1

⁷ 1

d2 X (Tb(z)) E (44)

6 1 d2X _L2 avec E = 8L

7c E L (45)

=

7c I d2 X L3 8L

6 n (46)

=

Remarque 2 : Nous avons suppose que (Tb(z)) = 0, mais dans le cas general, il existe une energie libre constante f0 tel que (Tb(z)) = f0.

Remarque 3 : Le domaine d'integration Q designe la bande semi-infinie de largeur L. Autrement dit, Q = R x [0, L[.

Il vient de ces deux remarques ^:6L²) L

8F = IdX (f0 + 7c 8L (47)

+8_IL 7 8L

C

du dv (f0 +

6L² ) L

0

+8

)

(48)

(49)

1 -

du (f0 + ₆7₂) 8L

+

= I du8FL oU 8FL = (f0 + 6L2) 8L (50)

7c

--

8F est la variation de l'énergie libre par unite de longueur.

Finalement, on déduit que l'énergie libre par unite de longueur est obtenue par integration sur la largeur entre 0 et L. Toutefois, la borne 0 conduit a une divergence de l'integrale, ce qui impose une regularisation de l'integrale par un cutt off :

ZL~f0+ ^ðc )

FL = 8L (51)
6L²

Ä(L)

ðc ðc

= f0L_ 6L _6Ä(L) (52)

Il faut préciser que le cutt off doit être choisi de telle manière qu'il s'annule

pour une bande de longueur infinie L 7? +00, car dans ce cas, l'expression 51 repro duit bien l'energi e libre d'une bande i nfini e : F00 = f+00 (f0 + ðc) 8L.

06L²