Section 2 : Méthode de Holt & Winters
Généralités :
Parmi les méthodes traditionnelles de prévisions
des séries chronologiques, figure la technique du lissage exponentiel
qui revient à estimer une grandeur à partir d'une moyenne
pondérée de ses valeurs passées.
Le lissage regroupe l'ensemble des techniques empiriques qui
ont pour caractéristiques communes d'accorder un poids plus important
aux valeurs récentes de la chronique. Ces méthodes portent aussi
le nom de filtrage, car il s'agit d'une opération mathématique
transformant un entrant Xt en une nouvelle chronique sortante
Yt
Parmi les techniques du lissage exponentiel, celle de Holt
& Winters (1960) en est intéressante. Il s'agit d'un lissage
exponentiel double (LED) de Holt à deux paramètres pour la partie
saisonnière et d'un lissage exponentiel saisonnier à un
paramètre de Winters. Cette méthode de lissage exponentiel
comporte, donc, trois paramètres à estimer et il en existe deux
versions : une version multiplicative et une version additive.
2.1 SCHEMA MULTIPLICA TIF :
La chronique s'écrit dans ce cas :
Xt = (at + btt)St + å t Trois lissages distincts
sont effectués :
- Le lissage de la moyenne a avec un coefficient de
lissage á, avec á ? [0,1]
- Le lissage de la tendance b avec un coefficient de lissage
â , avec â ? [0,1]
- Le lissage de la saisonnalité S avec un coefficient de
lissageã, avec ã ? [0,1] 2.1.1
Formulation :
> Lissage de la moyenne
xt xt
aa
t =( )+(1-)(1+1
áá--
tbt)áá--
aa
t=( )+(1-)(1+bt1)
t
Stp
-Stp-
> Lissage de la tendance :
bt = ß(at - at-1) + (1-ß)bt-1
> Lissage de la saisonnalité :
St = ã( ) + (1 -ã)St-p
xt
at
2.1.2 Prévision à un horizon de h
période :
si 1 S h S p
xth ahbStph
à = (t +t) - +
+
xth ahbS t ph si p+1 S h S p
à +=(t +t ) - +
Avec:
at = moyenne lissée de la série en t
xt = valeur observée de la série en t
St = coefficient saisonnier en t
p = périodicité des données (p=12 en
mensuel, p=4 en trimestriel) bt = tendance estimée en t
Remarque : Dans le lissage de
la moyenne, on utilise St - p car n'est pas encore
St
connue.
Dans certaines écritures du modèle les
coefficients saisonniers vérifient la propriétés :
selon le principe de la conservation des aires.
p
?
Spi =
i = 1
2.2 SCHEMA ADDITIF :
La chronique s'écrit dans ce cas : xt = at + btt+St +
åt 2.2.1 Formulation :
|
Lissage de la moyenne :
at = á(xt - St-p) + (1-á)(at-1 + bt-1)
Lissage de la tendance : bt =
ß(at - at-1) + (1-ß)bt-1 Lissage de la
saisonnalité : St = ã(xt - at) + (1
-ã)St-p
|
|
2.2.2 Prévision à un horizon de h
périodes :
xahbStph
à = (t +t)+ - +
th +
|
si 1 S h S p
|
|
x ahbStph si p+1 S h S 2p
à (t t)
t h
+ = ++2
- +
Dans ce cas le principe de la conservation des aires implique
:
p
0
Si
?
i = 1
Les paramètres a, ? et y sont optimisés comme
pour les méthodes non saisonnières en minimisant la somme
carrée des erreurs prévisionnelles entre la valeur
observée de la chronique et les valeurs prévues.
Initialisation du modèle de Holt &
Winters :
Comme pour les autres méthodes du lissage (simple,
double,...), dans la pratique, il y a un problème de démarrage de
la technique : les valeurs de départ peuvent être estimées
par la méthode des moindres carrée ordinaires ou plus simplement
initialisées pour la première année (t = 1... p) de la
manière suivante :
>
1
Rj=
k
? t
Rj
0
1
pR j
Sjp p
-=
?
j
k tpj
x(1)
- +
=1Xpjb
+ 1
t - -
() 2
Initialisation de la saisonnalité :
Les coefficients saisonniers pour la première
année sont estimés par la valeur observée en t
(xt) divisés par la moyenne X des p premières
observations de la première année.
St
x t
=pour tout t = 1...p X
> Initialisation de la moyenne lissée
: ap = X
> Initialisation de la tendance :
bp = 0
La technique d'initialisation proposée par Montgomery et
Johnson est préférable bien que plus complexe : il s'agit de
calculer les moyennes arithmétiques des k premières
périodes X1,,..., Xk
Puis :
1
XkX-
0
=
b
(1) kp -
0
p
aX b
0= 1+
2
| 
