Etude de l'efficience des marchés financiers. Applications au Tunindex 20

2.3 Construction du portefeuille efficient 

2.3.1 Calcul de la matrice variance/covariance

Pour pouvoir calculer le risque lié à un portefeuille, plusieurs méthodes existent. Concernant le risque passé, il suffit de mesurer la volatilité de ses rendements. Par contre, pour pouvoir estimer son risque futur, il faut s'attaquer à un calcul un peu plus musclé permettant de tenir compte à la fois de l'amplitude des variations des différents titres, mais aussi à leurs corrélations respectives. Ce calcul nécessite quelques bases, dont le principal est la notion de covariance.

La formule de la variance se présente comme suit :

D'autre part la formule de la covariance se présente comme suit :

En effet la variance d'une variable aléatoire est une mesure de la dispersion des valeurs prises par cette variable autour de sa moyenne, la covariance quant à elle, elle mesure la corrélation de deux séries de données, plus elle est faible, plus les séries sont indépendantes et donc moins le portefeuille est risqué.

Nous procédons donc à l'élaboration de la matrice variance-covariance. Pour cela, nous avons eu recours aux rendements mensuels calculés précédemment. Le calcul a été réalisé grâce à la macro CreeMatriceVarCovar^16(*), et ce afin d'obtenir les variances des différents titres, ainsi que les covariances pour le calcul de la variance du portefeuille.

Le calcul de cette matrice débute par la recherche des nombres de séries correspondants, c'est-à-dire des titres, et le stockage de début et de fin de période pour chaque titre. Ensuite, la matrice est générée tout en détectant en rouge les titres qui disposent de moins de 36 observations, c'est-à-dire moins de 3 ans vu qu'ils se sont introduit récemment en bourse.

2.3.2 Calcul de la rentabilité annuelle

En vue de trouver une moyenne annuelle pour les rendements mensuels de chaque titre nous avons eu recours au calcul de la moyenne géométrique dont voici la formule :

En effet lorsqu'il s'agit d'une progression, d'une suite et non pas d'une suite d'entités indépendantes et surtout si on cherche une moyenne des rendements, nous utilisons la moyenne géométrique, et ce, en faisant le produit des N valeurs observées puis on prenant la racine Nième du nombre obtenu. Elle est largement utilisée en économie et en finance, notamment pour déterminer le taux de croissance ou rendement moyen sur une période donnée.

Le calcul de la rentabilité annuelle historique pour chaque titre a été généré par la même matrice CreeMatriceVarCovar, et qui servira de base pour la détermination du portefeuille efficient, son calcul se fait comme suit :

R_i = MG¹² - 1 ^17(*)

Quant à la volatilité elle sert en général de base pour la mesure du risque, c'est-à-dire par l'intermédiaire de la mesure de l'amplitude des variations, elle est mesurée par l'écart type des rendements constatés.

Nous avons aussi eu recours au calcul du bêta, un coefficient de volatilité ou de sensibilité qui indique la relation existant entre les fluctuations de la valeur du titre et les fluctuations du marché, qui est dans notre cas l'indice Tunindex 20. Il s'obtient en régressant la rentabilité de chaque titre sur la rentabilité de l'ensemble de l'indice. Il ne servira pas au calcul de la frontière efficiente, mais nous allons l'utiliser ultérieurement pour mesurer la volatilité des titres qui construiront le portefeuille efficient par rapport à son indice de référence. Sachant que le calcul du bêta s'est effectué sur la période allant de 2007à 2011.

* ¹⁶ Le code de la macro CreeMatriceVarCovar est en annexes. Macro fournie par le site bnain.org, que nous remercions fortement.

* ¹⁷ MG = Moyenne Géométrique de la valeur.