Résolution numérique des équations différentielles ordinaires linéaires

UNIVERSITÉ ABDELHAMID IBN BADIS-MOSTAGANEM
FACULTÉ DES SCIENCES EXACTES ET SCIENCES DE LA NATURE ET
DE LAVIE
DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES

Mémoire de licence

Spécialité Contrôle et Analyse de Système

Thème

Résolution Numérique Des Equations Différentielles

Ordinaires Linéaires

Présenté par

BAALI Fakhreddine

RAiIS Omar

Soutenu le 11 /06/2013
Devant le jury

Mr BAHRI Sidi Mohamed Examinateur U. MOSTAGANEM.

Mme BENSIKADDOUR Dj Encadreur U. MOSTAGANEM.

Table des matières

1	Introduction Rappels et notations		1 2
	1.1	Généralités	2
	1.2	Équations différentielles du premier ordre	2
		1.2.1 Classification des équations différentielles du premier ordre	2
		1.2.2 Les équations différentielles linéaires du premier ordre	3
	1.3	Équations différentielles linéaires d'ordre n	6
		1.3.1 Cas d'une équation non homogène	6
		1.3.2 Cas d'une équation homogène	7
	1.4	Problème avec conditions initiales	8
2	La solution numérique des équations différentielles		10
	2.1	Méthode d'Euler	10
	2.2	Méthode Runge-Kutta	12
		2.2.1 Méthode Runge-Kutta d'ordre 1 (RK1)	12
		2.2.2 Méthode Runge-Kutta d'ordre 2 (RK2)	13
		2.2.3 Méthode Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4)	13
	2.3	La convergence des méthodes numériques	14
		2.3.1 L'erreur locale et l'erreur globale	14
		2.3.2 Définition de la convergence	15

TABLE DES MATIÈRES 3

3 Programmation sur Matlab 17

3.1 La méthode d'Euler 17

3.2 La méthode de Runge-Kutta 18

3.3 L'application 19

Conclusion 21

Bibliographie 22

INTRODUCTION

Les équations différentielles constituent l'un des domaines les plus importants de l'analyse grâce à leurs nombreuses applications. Elles permettent de modéliser mathématiquement plusieurs phénomènes physiques et biologiques et d'étudier des problèmes de population, de métrologie...

Dans ce mémoire on présente un rapide survol de quelques méthodes de résolution des équations différentielles ordinaires linéaires en illustrant quelques exemples. Il n'est pas toujours possible de résoudre les équations différentielles et trouver leurs solutions analytiques, pour tels problèmes on applique des méthodes numériques pour déterminer des solutions approchées aux équations différentielles du type problème de Cauchy qui ce formule de la manière suivante :

~

y'(t) = f(t, y(t)), Vt E [t0, t0 + T ] (0.0.1)
y(t0) = y0 où f(t, y(t)) est une fonction de Rⁿ⁺⁴ dans Rⁿ et y0 E Rⁿ est une condition intiale. La

résolution du problème de cauchy consiste à trouver une fonction unique y(t) qui soit une solution de (0.0.1) dérivable sur un intervalle fini [t0, t0 + T] c R.

On a divisé le mémoire en trois chapitres :

1. Dans le premier on rappelle les définitions, les différents types et des méthodes de base de résolution d'équations différentielles ordinaires.

2. Le second chapitre est consacré à la présentation des méthodes d'approximation pour la résolution numérique d'équations différentielles linéaires.

3. Le troisième chapitre consiste à illustrer ces méthodes par des exemples à l'aide de logiciel de calcul numérique Matlab.