4. Choix du modèle :
On fait appel à des critères d'information afin
de choisir le modèle optimal parmi tous les modèles
repérés :
Le critère AIC introduit par Akaike :
AIC (p, q) = log [?2] +
Le critère BIC de Schwartz :
BIC (p, q) = log [?2] + (p+q) *
Le modèle optimal est celui qui minimise ces deux
critères.
5. Prévision :
A. Transformation de la série :
Lorsque on a appliqué différentes
transformations (exemple différenciation dans le cas d'une série
I (1)) afin d'identifier le modèle ARMA, il est nécessaire lors
de la phase de prévision de prendre en compte la transformation retenue
et de recolorer la prévision. Plusieurs cas sont possibles :
Si le processus contient une tendance déterministe, on
extrait cette dernière par régression afin d'obtenir une
série stationnaire lors de la phase de prévision, on adjoint aux
prévisions réalisées sur la composante ARMA stationnaire,
la projection de la tendance.
Si la transformation résulte de l'application d'un
filtre linéaire (de type par exemple différence
premières), on réalise les prévisions sur la série
filtrée stationnaire e l'on reconstruit ensuite par inversion du filtre
les prévisions sur la série initiale.
B. Prédicteur pour un modèle ARMA :
On considère un modèle ARMA tel que :
Chapitre VI Méthodologie de Box Z Jenkins
Avec : .
Appliquons le théorème de Wold au processus et
considérons la forme
MA (?) correspondante :
Il s'ensuit que la meilleure prévision que l'on peut faire
de compte tenu de toute
l'information disponible jusqu'à la date t, notée ,
est donnée par :
Dès lors, l'erreur de prévision est donnée
par la réalisation en de l'innovation qui
en n'est pas connue :
Plus généralement pour une prévision
à un horizon on a :
X _ X à ( k
) l
t + k t --~
N(0,1)
1
var [ à ( ) ] 2 T ??
X X k
t k _
+ t
et
Déterminons un intervalle de confiance sur la
prévision sous l'hypothèse de
normalité des résidus. On montre alors que :
E X t k X à
t ( k
)
? ? ? ?
k ? 1 k ? 1
? ? ? ? 2 2
? E ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
j t ? k ? j j
?
j ? 0 j ? 0
? ? ??
2 ?
X X k l
t k ? N (0,1)
|
?
Or on sait que :
? t ( )
1
? ? ?
? ?
k ? 1 2 2 T
??
? j j
? 0
|
|
2
|
IC
2
à
?e ? ? ? J
à
?
D'où
r ? k ? 1 ?
? 2
X à ( ) a a
On peut donc construire un intervalle de confiance sous la forme
:
k t 2 ? ?
?
t j
? j ? 0
?
? ? ?
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Chapitre VI Méthodologie de Box Z Jenkins
USTHB Page 81
L'étude des séries temporelles, correspond
à l'analyse statistique d'observations régulièrement
espacées dans le temps. Leur domaine d'application est très vaste
et s'étend de l'astronomie à l'économie en passant par la
biologie. Elles ont donc suscité un très vif
intérêt, ce qui a eu pour conséquences le
développement de nombreux modèles : AR, ARMA,
ARIMA...s'appliquant particulièrement à la compréhension
des processus à mémoire courte, c'est-à-dire ceux pour
lesquels il n'y a pas de persistance des chocs. Pour tenir compte de la
persistance à long terme des chocs dans certaines séries,
phénomène appelé « mémoire longue »,
d'autres modèles ont été développés dont les
modèles ARFIMA au début des années
1980.
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