D. troisième critère :
Recherche séquentielle d'un nouveau système
d'axes :
Ce critère est basé sur le second indice
Rappelons
que : ( ) ? ?
La recherche du système d'axe se fait de la manière
séquentielle suivante :
On choisit tel que en moyenne, l'angle ( , ) soit minimum, alors
est tel que
? soit maximum.
A l'étape 1, on impose à d'être orthogonal au
sous-espace engendré par et de
maximiser ? Et ainsi de suite jusqu'à
Un tel système d'axe peut, grâce à cette
méthode, être facilement obtenu analytiquement : est le vecteur
propre associé à la plus grande valeur propre de matrice :
est le vecteur propre associé à la plus grande
valeur propre de la matrice :(? (?
Où I est la matrice identité de taille p
et est la matrice de taille p x T définie
par : = [ ]
Chapitre II Double analyse en composantes principales
USTHB Page 18
Cette méthode accorde une importance
décroissante aux axes. En effet, elle privilégie les premiers
axes par rapport aux derniers puisque la séquence commence à
l'axe 1 pour se terminer à l'axe q : on laisse moins de « champs
pré » aux derniers axes qu'aux premiers. Cela se justifie dans le
sens où les premiers axes sont les plus importants puisqu'ils expliquent
le plus d'inertie.
Il est possible de comparer les résultats obtenus avec
les trois critères précédents en calculant
les indices : Ö (v) = ? ?4 ?
?
Et : ( ) ? ?
E. recherche globale d'un nouveau système d'axes
:
Ce critère consiste à résoudre
directement le problème : Max sous la contrainte :
( ) orthonormés.
La résolution d'un tel problème n'est pas
possible analytiquement ; par contre il existe des méthodes
numériques permettant de trouver une solution.
Enfin, il faut noter que contrairement à la
méthode séquentielle, cette méthode attribue une
importance identique aux axes (premiers et derniers axes).
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