Memoire Online - Datation du cycle des cours de pétrole et prévision à court terme - Beaudelaire TAFOUEDA & Jean Roger TAGNE FOTSO

TAFOUEDA Beaudelaire et TAGNE FOTSO Jean Roger
Elèves Ingénieurs Statisticiens Economistes, 3ème année

^*'Elèves Ingénieurs Statisticiens Economistes, 3^ème année, a` l'Institut Sous-régional de Statistique et

^†Ingénieur Statisticien Economiste, Chef de Cellule a` l'INS - Cameroun et Enseignant a` l'ISSEA.

Résuméiv

3.4 Méthodologie de modélisation univarié: la procédure de Box et Jenkins . 12

4.1 Traitements préliminaires 13
4.1.1 Identification des composantes gouvernant le processus générateur

Résumé

L'extraction du cycle d'une série temporelle présente un intérêt majeur pour l'analyse conjoncturelle et peut avoir des incidences en matière de politiques économiques. En particulier, une anticipation des cycles de hausse et de baisse des cours internationaux du pétrole contribuerait a` réduire la vulnérabilitéd'un pays exportateur net de l' ' or noir » tel que le Cameroun.

Nous nous somme proposéd'étudier les cycles des prix du baril de pétrole. L'approximation finie et asymétrique du filtre passe-bande idéal élaborée par Christiano et Fitzgerald nous a permise d'extraire cette composante qui a ensuite étédatée gràace a` l'algorithme de Bry et Boschan. La composante cyclique identifiée par cette méthode non-paramétrique présente des propriétés intéressantes et rend bien comptes de l'environnement politico-économique international. Sur la période d'étude (Janvier 1989 - Avril 2009), sept cycles ont étéidentifiés, cycles animés par sept phases de hausse et huit autres de baisse tendancielle du cours du pétrole. Les phases de hausse sont en moyenne plus longues que celles de baisse, ce qui témoigne du mouvement haussier du prix de cette matière première. Afin d'éprouver la qualitéde notre algorithme de datation, nous avons a` nouveau identifiéles cycles avec la méthode paramétrique des Modèles a` Changement de régime Markovien. Cependant, aucun déphasage significatif n'est apparu entre les cycles issus des deux méthodes de datation.

Par ailleurs, une modélisation de type Box et Jenkins des cycles précédemment extraits nous a` donnéde prévoir une hausse tendancielle des cours du baril de pétrole qui entreront dans une phase cyclique d'augmentation pour les six mois qui suivent la période d'étude.

Mots clés : Cycle, Datation, Irréguliers, Modèle ARMA, Modèle MS-AR, Points de retournement, Saisonnalité, Tendance.

Le p'etrole est une ressource 'energ'etique non renouvelable donc 'epuisable. Son int'erêt 'economique ainsi que sa dimension g'eopolitique et strat'egique ont fait de cette ressource l'une des matières premières les plus convoit'ees de la planète. C'est sans doute pour cette raison qu'il est souvent appel'e « l'or noir ». Le commerce du p'etrole est le plus important de la planète en terme de valeur et si la d'etermination de son prix d'evie très souvent les pronostics des organisations de pays producteurs (OPEP en l'occurrence), c'est qu'elle fait l'objet d'une confrontation entre l'offre et la demande sur le march'e international a` l'instar des valeurs financières. Entre la seconde guerre mondiale et l'ann'ee 2005, neuf des 10 r'ecessions qui ont frapp'e l''economie am'ericaine ont 'et'e pr'ec'ed'ees par des hausses importantes du prix de p'etrole (Hamilton, 2005). Ces prix ont doubl'e entre 2007 et 2008 et font l'objet de grandes pr'eoccupations 'economiques internationales. En effet, malgr'e le ralentissement de la croissance au niveau mondial, les cours du p'etrole ont continu'e de croàýtre, atteignant le niveau record de 132, 83¹ dollars US le baril en Juillet 2008 .

Comme la quasi-totalit'e des pays de la sous-r'egion Afrique Centrale, le Cameroun est un pays exportateur de p'etrole. A` ce titre, les recettes p'etrolières constituent une ressource essentielle de financement des d'epenses publiques. Nous en voulons pour preuve la structure des recettes publiques du Cameroun qui 'etaient compos'ees a` 29 % de rentr'ees p'etrolières en 2008. La volatilit'e des cours mondiaux et la d'epr'eciation du dollar ne facilitent pas la pr'evision des recettes p'etrolières. De telles fluctuations ont une incidence certaine sur les recettes publiques. Une mauvaise anticipation des cours du p'etrole est donc susceptible de freiner l''economie nationale. Ainsi, il apparait indispensable pour un pays exportateur de p'etrole comme le Cameroun de disposer d'un outil fiable de pr'evision du prix de « l'or noir » afin de mieux d'efinir ses projets de d'eveloppement et d'affiner son cadrage macrobudg'etaire.

Les fluctuations du cours du p'etrole ont une incidence sur le budget de l''Etat Camerounais, donc sur la mise en oeuvre de ses politiques de d'eveloppement. Le l'egislateur

ne dispose pas toujours des meilleurs outils de pr'evision de ce prix lors de la prise de d'ecision, notamment dans l''elaboration des budgets pr'evisionnels et des notes de conjoncture. La question a` laquelle nous tenterons de r'epondre dans le cadre de cette 'etude est la suivante : quelle est la dynamique qui sous-tend le mouvement de fluctuation des cours du pétrole ?

L'objectif principal de ce travail est d'identifier le m'ecanisme ou le processus g'en'erateur du cycle de la s'erie de prix du p'etrole. L'objectif ainsi fix'e peut se d'ecliner comme qu'il suit :

L'analyse des fluctuations des s'eries 'economiques a fait l'objet de nombreux travaux
empiriques. Cette analyse a toujours 'et'e plus accentu'ee dans celle d'extraction des cycles
et de datation de ces dernières. Les 'etudes portent dans la plupart des cas sur les s'eries
des agr'egats 'economiques dans les pays industrialis'es, en particulier dans une optique de
mesurer la concordance entre deux agr'egats, ceci pour une synchronisation de ces derniers.
Nous pr'esentons en revue dans cette section, les principaux travaux men'es pour
l''etude (extraction et datation) des cycles d'affaires. Il y sera 'egalement question, la pr'e-
sentation des travaux consacr'es a` la pr'evision de la s'erie des cours mondiaux de p'etrole.

2.1 Définition du concept de cycle économique

D'une manière g'en'erale, un cycle 'economique, ou cycle d'affaire, est un type de fluctuation 'economique, r'ecurrente non p'eriodique et d'une dur'ee sup'erieure a` un an². La principale r'ef'erence de la d'efinition d'un cycle d'affaire est celle propos'ee par Burns et Mitchell³ en 1946. Pour ces auteurs, ' Les cycles d'affaires sont un type de fluctuations que

³Burns, A. F. et Mitchell, W. C. (1946), « Measuring Business Cycles », NBER, New York, p. 3.

l'on rencontre dans l'activitééconomique globale des nations o`u l'essentiel du travail est effectuépar des entreprises commerciales; un cycle se compose de phases d'expansion qui interviennent simultanément dans de nombreuses activités économiques, suivies de phases non moins générales de récession, de contraction et de reprise qui débouchent sur une nouvelle phase d'expansion dans le cycle suivant; cette suite de variations est récurrente sans être périodique; la durée des cycles d'affaires varie de plus d'un an a` dix ou douze ans : ils ne sont pas divisibles en cycles plus courts possédant les mêmes caractéristiques et d'amplitude proche de la leur. [Burns et Mitchell (1946, p. 3), traduction dans Greenwald (1984, p. 214)]⁴.

Cette définition laisse apparaàýtre qu'un cycle est caractérisépar une succession d'expansions (booms) et de récessions (slumps). Cette alternance de pics et de creux n'est pas définie par une périodicitérégulière. La durée d'un cycle, et de ses phases ascendante et descendante, peuvent varier considérablement, de six a` trente deux trimestres selon Burns et Mitchell : les points de retournement qui y sont associés ne constituent donc pas une chronique régulière. Ainsi défini, le cycle économique constitue avant tout une récurrence de phases d'expansion et de contraction.

2.2 Extraction du cycle d'affaire : Quelques travaux empiriques Les travaux de Jean-Yves Fournier

Le filtre passe-bande (méthode d'extraction de la tendance, du cycle et de l'irrégulier d'une série temporelle) proposépar Baxter et King⁵ (1995) a fait l'objet d'un certain nombre d'études empiriques. Nous nous intéressons en particulier a` celles menées par Jean-Yves Fournier. En effet, outre la mise en oeuvre de la comparaison de deux approximations différentes du filtre passe-bande idéal, les travaux de cet auteur présentent l'avantage de mettre en relation les résultats obtenus avec ceux résultant de l'usage d'autres types de filtres.

Dans un premier article publiéen novembre 1999, Jean-Yves Fournier⁶ présente une approximation du filtre passe-bande idéal ainsi que sa mise en uvre sur la série du

⁵Baxter M. et R. King (1995) : The phase average trend: a new way of measuring economic growth ) in Proceedings of the Business and Economic Statistics Section.

⁶Jean-Yves Fournier (1999) : Extraction du cycle des affaires la méthode de Baxter et King ), novembre 1999, Institut National de la Statistique et des 'Etudes 'Economiques.

PIB francais (1970-1998) et sur un certain nombre d'autres variables 'economiques des pays partenaires de la France. La m'ethode utilis'ee est celle propos'ee par Baxter et King⁷ (1998) . Elle repose sur le filtre infini a(L) = P+8

-8 a_°L° pr'esent'e plus haut. Se r'ef'erant aux travaux de Baxter et King (1998), l'auteur admet que la meilleure approximation de ce filtre par un filtre fini sym'etrique d'ordre p s'obtient par simple troncature du filtre infini a` l'ordre p. Cette approximation n'est valide que lorsque la somme des coefficients est ramen'ee a` 1, en ajoutant le même correctif a` chacun de ceux-ci. Baxter et King recommandent de prendre p = 12 pour des donn'ees trimestrielles, ce qui implique une perte de donn'ees de 12 points a` chaque extr'emit'e de la s'erie en 'etude. Les r'esultats obtenus sur des s'eries trimestrielles suggèrent que la consommation est peu cyclique et que les variables r'eput'ees être de bons indicateurs avanc'es des variations cycliques de l''economie ne se distinguent pas comme telles par ce filtre. Par ailleurs, l'estimation d'un 'ecart de production faiblement positif pour l''economie francaise a` la fin de l'ann'ee 1998 se rapproche des r'esultats obtenus par la m'ethode du filtre de Hodrick et Prescott.

Dans une seconde publication, en Mai 2000, Jean-Yves Fournier⁸ pr'esente l'approximation finie du filtre passe-bande id'eal propos'ee par Christiano et Fitzgerald⁹ (1999) qui est ensuite appliqu'ee a` la s'erie du PIB francais pour la p'eriode allant de 1970 a` 1998. Dans ces travaux, l'auteur valide l'hypothèse de marche al'eatoire sans d'erive de la s'erie 'etudi'ee en estimant les 3 premiers coefficients autor'egressifs de ÄLog(PIB)¹⁰ . Cette application permet de d'egager un cycle semblable a` celui 'emanent de l'approximation du filtre id'eal propos'ee par Baxter et King. Il rend fidèlement compte des faits 'economiques les plus marquants de la p'eriode en 'etude, notamment le choc p'etrolier de 1973, la r'ecession de 1993 et les pics de croissance de 1990 et 1995. Le filtre de Christiano et Fitzgerald pr'esente en outre l'avantage de prendre en compte toutes les donn'ees temporelles disponibles et d'avoir une fonction de gain voisine de celle du filtre id'eal. La conclusion de cet article est que cette m'ethode propos'ee par Christiano et Fitzgerald fournit l'approximation du filtre passe-bande la plus optimale.

⁷Baxter M. et King (1998) : Measuring Business Cycles, Approximate Band-pass Filters for Economic Time Series , Universitéde Virginie, Document de Travail, septembre 1998.

⁸Jean-Yves Fournier (2000) : L'approximation du filtre passe-bande proposée par Christiano et Fitzgerald , mai 2000, Institut National de la Statistique et des 'Etudes 'Economiques.

⁹Christiano L. J. et Fitzgerald T. J. (1999) : The band pass filter , NBER, Document de Travail 7257, Juillet 1999.

¹⁰Cette hypothèse est admise car la somme de ces trois coefficients est inférieure a` 0,5.

2.3 Quelques travaux de datation des cycles

On distingue, dans la litt'erature, deux m'ethodes pour la datation des cycles 'economiques : les m'ethodes param'etriques et les m'ethodes non param'etriques. Les m'ethodes non param'etriques sont bas'ees sur un algorithme qui retrace l''evolution des donn'ees. L'algorithme de datation le plus utilis'e est celui de Bry et Boschan (1971) pour les donn'ees mensuelles et de Harding et Pagan (2001) pour les donn'ees trimestrielles. Le principal avantage des m'ethodes non param'etriques est la simplicit'e des règles qu'elles utilisent. Par ailleurs, les r'esultats de la datation non param'etrique sont robustes et non sensibles aux changements de la taille de l''echantillon. On peut aussi les comparer pour diff'erentes bases de donn'ees.

Toutefois, les avantages des m'ethodes non param'etriques, qui d'ecoulent des m'erites de simplicit'e et de non sp'ecificit'e, ont g'en'er'e des nombreuses critiques. C'est ainsi, qu'entre autre, Hamilton (2003)¹¹ rejette ces m'ethodes non param'etriques en avancant comme raison que l'on peut les utiliser pour des donn'ees qui n'ont aucune relation avec les donn'ees 'economiques.

2.3.1 Le modèle markovien a` changement de régime

C'est un modèle de la famille des m'ethodes param'etriques de datation des cycles. Il trouve son fondement th'eorique dans le fait que de nombreuses s'eries 'economiques et financières pr'esentent des ruptures notamment dans leur moyenne. Les travaux pionniers de Hamilton (1989) introduisent les modèles a` changement de r'egime markoviens qui intègrent ce type de non stationnarit'e en le mod'elisant a` l'aide d'un processus lin'eaire par morceaux. On suppose que la s'erie en 'etude admet une repr'esentation autor'egressive dont les paramètres varient avec le temps. L''evolution de ces paramètres est r'egie par une variable qualitative non-observable (St)t, laquelle est suppos'ee rendre compte de l''etat de l''economie. Un int'erêt pratique de ce type de modèle est qu'il permet d'obtenir a` tout moment une probabilit'e d'occurrence de la variable non-observable. Un grand nombre de travaux empiriques proposent des applications de ce type de modèle.

La variable inobservable _(St)t est mod'elis'ee comme une chaàýne de Markov a` K r'egimes. Ainsi, pour tout t, St ne d'epends que de _S(t-1). Autrement dit, pour i, j = 1,2,...,K, : P(St = j|St-1 = i,St-2 = i,...) = P(St = j|St-1 = i) = pij . Nous ne

nous intéresserons ici qu'àdeux régimes (K = 2) : la récession (St = 2) et l'expansion (St = 1). Les probabilités _{(pij)i,j=1,2,} dites de transition, mesurent la probabilitéde rester dans un régime et celle de passer d'un régime a` un autre. Les probabilités _p11^et_p22 sont des mesures de la persistance de chacun des régimes de la série. Elles servent également a` estimer la durée moyenne des régimes. En effet, la moyenne et la variance de la durée du régime i sont données respectivement par¹

2.3.2 La proc'edure de Bry et Boschan

La procédure de Bry et Boschan est la méthode de datation la plus répendue pour les séries de données mensuelles. Elle est basée sur une approche non paramétrique, contrairement aux modèles a` changements de régimes markoviens, et est plus utilisées par le NBER¹² pour l'étude des cycles de croissance américain.

Ndongo et al. (2006) ont travaillésur la datation du cycle du PIB du Cameroun entre 1960 et 2003, utilisant la procédure de Bry et Boschan. Ces auteurs, a` partir de données annuelles tirées de la base WDI¹³ 2003, se fixent pour objectif de caractériser les cycles de l'activitééconomique au Cameroun. Afin d'y parvenir, ils se proposent de mesurer, dater et analyser le cycle économique camerounais. Outre la méthode de filtrage de Hodrick et Prescott utilsée pour extraire la tendance, lls utilisent la méthodologie qui consiste en l'estimation de la profondeur et la sévéritédes cycles par :

¹⁴O`u x_p et x_c désigne respectivement la valeurs d'un pic et d'un creux de la série.

Ils parviennent a` la conclusion suivant laquelle le PIB camerounais a connue 6 cycles durant la p'eriode dont le cinquième, de 54 trimestres¹⁵ a` partir de f'evrier 1980 est le plus long de la p'eriode.

Par ailleurs, Giancarlo B. et al. (2004) 'etudient la datation des cycles d'affaires italiens. Ces auteurs, commes les pr'ecedents, mettent en oeuvre la m'ethode de Bry et Boschan, ceci pour dater un ensemble de 6 variables macro'economiques en Italie. Bien plus, afin de confronter les r'esultats pour diff'erentes m'ethodes, ces auteurs utilisent en même temps une proc'edure non param'etrique.

L'analyse des fluctuations des cours d'une matière première, a` l'instar du p'etrole, se doit d'être pr'ec'ed'e par l''etude des cycles de la chronique ayant engendr'e les observations constitu'ees par ces prix. Laquelle 'etude des cycles s'op'erant en trois 'etapes : l'extraction de la composante cyclique de la chronique; la datation des diff'erents cycles obtenus et la d'etermination des caract'eristiques¹⁶ de chacun d'eux, et la mod'elisation pour des fins de pr'evision dans un horizon de court terme.

Avant toutes choses, nous pr'esentons les donn'ees auxquelles sera appliqu'ee la m'ethodologie d'ecrite dans cette section.

3.1 Présentation des données

Cette 'etude porte sur les cours mensuels, libel'es en $ USA, de p'etrole sur le march'e international. Il s'agit d'une s'erie d'observations pour la p'eriode de Janvier 1989 a` Avril 2009, soit un 'echantillon de 244 observations. Ces donn'ees sont obtenues en ligne sur le site web du Fond Mon'etaire International¹⁷.

3.2 Méthodes d'extraction de la composante cyclique

Il en ressort de la revue pr'esent'ee a` la section pr'ec'edente que divers algorithmes et m'ethodes ont 'et'e mis en exergue dans la litt'erature pour extraire la composante cyclique

¹⁵Il faut noter ici que les auteurs n'ont pr'esent'e, ni pr'ecis'e, la proc'edure de trimestrialisation du PIB. ¹⁶Dur'ee, amplitude absolue, amplitude moyenne mensuelle, amplitudes maximales des phases ascendantes et descendantes, coefficient d'asym'etrie et d'aplatissement, . . .

des séries par différents auteurs. Parmi ceux-ci, les plus utilisés sont le filtre passe-bande de Christiano et Fitzgerald (2003), le filtre de Baxting et King (1998), le filtre de Hodrick et Prescott (1997) et les modèles de Harvey (1989).

Nous utilisons dans le cadre de ce travail, d'abord, le filtre le Hodrick-Prescott et ensuite celui de Christiano et Fitzgerald. Le premier étant limitépar l'incapacitéd'inclure les points limites de la série dans la décomposition tendance-cycle, exactement tel que le filtre moyennes mobiles arithmétiques. La particularitédu deuxième est d'avoir résolue cet inconvenient que soulève le premier.

Les méthodologies que nous allons présenter ici s'appliquent a` des séries additives, c'est-à-dire des séries _(Xt)t s'écrivant :

O`u Tt est la composante tendancielle de la série; Ct, sa composante cyclique et, It sa composante irrégulière. Cette dernière composante renvoyant a` des fluctuations de très court terme. Nous nous assurerons au préalable d'être dans cette condition d'application lors de la mise en oevre de la méthode de filtrage qui sera choisie. Ceci se fera notamment par l'examen du type (additif ou multiplicatif) de décomposition de notre série de données. Par ailleurs, l'application d'une méthode de filtrage a` une série requiert a` celle-ci d'être corrigée des variations saisonnières. La seconde phase de préparation des données consiste donc a` appliquer un test de détection de la composante saisonnière dans la série.

Un filtre est une application qui, étant donnée une série d'observations temporelles, permet d'extraire soit sa composante tendancielle, soit sa composante cyclique. La composante cyclique est alors obtenue par différence _Xt-Ct (équation 2), a` un aléa It près. La procédure de correction de Ct, et donc d'obtention de It étant propre a` chaque méthode filtrage.

3.2.1 Le filtre de Hodrick et Prescott

Hodrick et Prescott (1997) ont proposéde décomposer une série Xt en composante cyclique et tendance par le programme de minimisation suivant :

O`u ôt est la tendance de la s'erie et ë un paramètre ad hoc. Le filtre de Hodrick-Prescott revient donc a` minimiser une pond'eration de la somme des carr'es de la composante cyclique et de la somme des carr'es des acc'el'erations de la tendance. Le premier terme correspond a` la variance de la composante cyclique et a` une mesure de la souplesse de la tendance. Le coefficient ë mesure l'importance relative que l'on accorde a` la souplesse de la tendance par rapport a` l'ampleur des cycles. Plus le coefficient ë est faible, plus la tendance sera souple. Plus le coefficient ë est 'elev'e, moins la tendance sera souple. Deux cas extremes peuvent etre distingu'es :

? Si le coefficient ë est infiniment grand, la tendance est une fonction affine du temps : Äôi = Äôi-1 : ôi = a + bi-1 ;

? Si le coefficient ë est nul, la tendance est identifi'ee a` la s'erie initiale, cet-à-dire yi = ôi.

On retient souvent la valeur 14400 pour le paramètre ë sur des donn'ees mensuelles, de 1 600 pour les donn'ees trimestrielles, de 400 pour des donn'ees semestrielles et de 100 pour des donn'ees annuelles.

Le programme de minimisation peut s''ecrire sous forme matricielle : min_ô (y - ô)⁰(y - ô) + ëô^'M^'Mô

Les conditions de premier ordre donnent ainsi -2(y - ô) + 2ëM^'Mô = 0, soit donc ô = (IT - ëM^'M)^-1y.

Dans ce filtre propos'e par Hodrick et Prescott, la tendance s'exprime donc comme une moyenne mobile des observations. En effet, ôi = PT i=1 at iyi,t = 1, .. . , T.

Les coefficients de pond'eration at i d'ependent de l'observation pour laquelle la ten-dance est filtr'ee. Ainsi, la technique de Hodrick-Prescott permet donc d'obtenir une d'ecomposition entre tendance et cycle meme pour les points extremes, initiaux ou terminaux de la s'erie des observations. Pour ces points terminaux, le filtre de Hodrick-Prescott enregistre deux limites, a` savoir l'absence de sym'etrie de la moyenne mobile associ'ee et les r'evisions ult'erieures importantes.

Le filtre propos'e par Hodrick et Prescott suppose implicitement une dur'ee connue des cycles, variable et sans p'eriodicit'e minimale, ce qui ne r'epond pas exactement a` la d'efinition du cycle pos'ee par Burns et Mitchell.

3.2.2 Le filtre passe-bande de Christiano et Fitzgerald

Christiano et Fitzgerald (2003) ont propos'e une approximation finie et optimale du filtre a` passe-bande¹⁸ dans le but d'extraire les mouvements cycliques qui, d'après eux, sont des p'eriodes de r'ecurrences dans un intervalle [ù_a, ùb].

Le critère d'optimalit'e retenu par Christiano et Fitzgerald pour approximer le filtre infini par un filtre fini consiste a` minimiser l'esp'erance de l'erreur quadratique E [(yt - y^*_t )²|{X1, . . . , XT}]. Cette erreur est mesur'ee entre yt issue du filtre id'eal, et y* t issue du filtre approxim'e, pour chaque t. On d'etermine ainsi un filtre optimal pour chaque observation de la s'erie consid'er'ee.

Par construction, puisqu'on cherche un filtre lin'eaire, y* t appartient au sous-espace engendr'e par les Xt. La d'etermination de ce filtre dans le cas g'en'eral est complexe. Le filtre obtenu d'epend de l'ensemble de la s'erie consid'er'ee et il varie d'une observation a` l'autre. Ainsi, un tel filtre n'est pas lin'eaire par rapport aux s'eries, et les liens entre les filtres d'etermin'es pour divers intervalles de fr'equences semblent, eux aussi, complexes¹⁹.

Toutefois, dans le cas o`u la s'erie est une marche al'eeatoire sans d'erive, ces auteurs ont montr'e que le filtre optimal approxim'e est beaucoup simplifi'e :

3.3 Méthode de datation des cycles : l'algorithme de Bry et Boschan

Bry et Boschan ont propos'e en 1971 une m'ethode non param'etrique de datation des cycles, bas'ee sur algorithme it'eratif de d'etection des creux et des pics.

¹⁸Une presentation de la methodologie du filtre passe-bande ideal est faite en annexe, page 35. ¹⁹Fournier, J. Y. (2000).

La m'ethode, de Bry et Boschan, que nous d'ecrivons et utilisons dans ce papier est inspir'e de l'article de Anas, J. et al. (2003), qui eux l'ont d'evelopp'ee pour d'eterminer une chronologie de retournement des cycles 'economiques dans la zone euro.

Nous estimons la survenance d'une augmentation (diminution) des cours de p'etrole brut, en mesurant la dur'ee et la profondeur. Tout d'abord, l'on identifie tous les points de retournement candidats fournis par l'algorithme non param'etrique de Bry et Boschan d'ecrit ci-dessous, ensuite la dur'ee et la profondeur des diff'erentes phases sont mesur'ees a` partir de la s'erie brute des observations des cours de p'etrole. La proc'edure non param'etrique d'evelopp'ee par ces auteurs pour une datation sur une s'erie univari'ee est bas'ee sur l'algorithme qui suit :

I La s'erie est corrig'ee des variations saisonnières. En effet, au cas o`u la s'erie ne serait pas corrig'ee des variations saisonnières, les fluctuations de la s'erie dues a` ces mouvements saisonniers seront confondues aux fluctuations conjoncturelles; et toutes analyses seraient donc sans fondement;

I La d'etermination d'un premier ensemble de points de retournement candidats sur la s'erie {Xt}T _t=1 est faite en utilisant la règle suivante :

I Les points de retournement se situant dans l'intervalle de six mois du d'ebut ou de la fin des s'eries ne sont pas consid'er'es;

I Une proc'edure pour se rassurer que les Pics et les Creux alternent est d'evelopp'ee par la règle suivante :

Selon les relations (3) et (4), nous présentons la méthode la plus utilisée dans la pratique permettant d'identifier les points de retournement potentiels. D'une part, notons {Xt}T _t=1 la série en question et convenons que : ÄkXt = Xt - Xt_k, ^avec Ä1Xt = ÄXt = Xt - Xt_1

Ainsi, l'approche la mieux connue pour détecter les pics et les creux en temps réel dans le cycle économique classique est la suivante :

Cette règle, introduite par Harding et Pagan (1999), signifie qu'une récession (diminution) implique au moins deux trimestres de croissance négative. Mais, un des inconvenients de cette règle est d'être généralement appliquépour des données trimestrielles du Produit Intérieur Brut.

3.4 Méthodologie de modélisation univarié: la procédure de Box et Jenkins

Dans le but de prévoir le niveau d'évolution du cours mensuel du baril de pétrole, nous utilisons la méthodologie itérative de Box et Jenkins dont les différentes étapes sont les suivantes :

La méthodologie de Box et Jenkins s'applique aux séries non volatiles et stationnaires. Dans notre cas, bien que la méthode d'extraction nous garantisse la stationnaritédu cycle, nous effectuerons un test pour confirmer ces propriétés étant donnéleur impor-

tance. si elle s'applique pour une série quelconque, ne s'applique dans notre cas que pour certaines étapes ci-dessus. La démarche essentielle de la prévision du cycle consiste ainsi donc a` l'indentification du modèle ARMA, a` l'estimation des paramètres du modèle, a` la validation du modèle et a` la prévision proprement dite.

1989M01 1989M10 1990M07 1991M04 1992M01 1992M10 1993M07 1994M04 1995M01 1995M10 1996M07 1997M04 1998M01 1998M10 1999M07 2000M04 2001M01 2001M10 2002M07 2003M04 2004M01 2004M10 2005M07 2006M04 2007M01 2007M10 2008M07 2009M04

4 Extraction et datation du cycle des cours de pétrole 4.1 Traitements préliminaires

Avant de procéder a` l'extraction de la composante cyclique, il est indispensable de déterminer le type de décomposition de la série initiale. Ainsi, la question a` laquelle nous répondons ici est la suivante : la série des cours de pétrole se décompose suivant le type additif ou multicatif?. Pour y répondre, nous devons au préalable identifier les composantes du processus générateur des données dont nous disposons. C'est ainsi que nous étudierons dans un premier temps la présence éventuelle d'une saisonnalitéet d'une tendance déterministe dans notre série de données.

4.1.1 Identification des composantes gouvernant le processus générateur des données

Avant l'étude de la saisonnalité, nous allons déterminer si oui ou non notre série du prix de pétrole contient une tendance déterministe.

Le graphique 1 ci-après nous présente la tendance de notre série obtenue par un filtre de Hodrick et Prescott. Son examen nous révèle que la forme la plus simple correspondant le mieux a` l'allure générale de cette chronique est une fonction polynomiale de degré2. En effet, après une évolution quasi-linéaire, elle entame un mouvement de courbe convexe au début de l'année 2000.

Graphique 1 - Identification graphique de la tendance de la série du prix de pétrole

Ainsi, La forme de tendance pour laquelle nous postulons nous confère a` écrire notre série suivant le modèle suivant :

O`u Xt désigne la série du prix de pétrole, åt le terme d'erreur, t le temps, a, b et c des paramètres réels a` estimer. Nous conclurons alors en l'existence d'une tendance déterministe si le paramètre a est significatif. L'estimation MCO du modèle 5 donne le résultat : Xt = 0, 002 t²--0, 37 t+27, 1+åt. La statistique de Student associée au coefficient a (c'est a` dire a` 0, 002) vaut 15,9, supérieure a` 1,96. Ce coefficient est donc significativement différent de z'ero au seuil de 5 %. Ainsi, on accepte l'hypothèse de présence d'une tendance déterministe dans notre série.

L'étude de la saisonnalitéde notre série suit une démarche en deux étapes. D'abord, nous analyserons graphiquement le comportement mensuel de notre série d'étude. Cette analyse sera suivie d'un test basésur le modèle de Buys-Ballot qui nous permettra de trancher quant a` la saisonnalitéde la série du prix de pétrole.

Le graphique 11, en annexe a` la page 36, présente le comportement mensuel de la série dans le temps, et de celui de son logarithme. La variabilitécomplexe du prix du baril, en tendance et en variance, ne nous permet pas de nous prononcer sur la saisonnalitéde son comportement a` partir du simple examen de ce graphique. En effet, tel que l'illustre le graphique 2 qui met en évidence les variabilités annuelles du phénomène pour les 10 premières années, les trajectoires de la courbe représentative de notre série semble avoir des directions non colinéaires. Toutefois, un examen visuel sur ce graphique montre que les différentes trajectoires annuelles ne sauraient être parallèles, et donc on serait tenter

de ce prononcer sur une non presence de la composante saisonniere dans la variable ayant generela serie de nos observations.

Graphique 2 --- Mise en evidence de la non saisonnaitedans la serie brute de donnees

Afin de confirmer ou d'infirmer cette presomption de non saisonnalite, nous mettons en oeuvre un test basesur le modele de Buys-Ballot mensuel.

Le modele de Buys-Ballot mensuel s'ecrit : Xt = a2t² + a1t + a0 + Pj²1 Sj1(t[12]=j) + åt, o`u t [12] est le reste de la division entiere de t par 12 et_{(Sj)j=1,...,12} les coefficients saisonniers. Ainsi specifie, Le modele de Buys-Ballot n'est pas identifiable. Pour remedier a` ce defaut, on prend en compte l'une des proprietes de la saisonnalite, a` savoir le principe de conservation des aires. En effet, cette derniere doit àetre de moyenne nulle sur la periode, soit : Pj12 Sj = 0. La prise en compte de cette contrainte permet d'obtenir l'equation identifiable :

L'estimation de l'equation 6 fournit les coefficients estimes ( ^bSj)j=1,...,11 et a` l'aide de la contrainte, on obtient S12 = -- P11 j=1bSj. Les resultats obtenus avec notre serie du prix de petrole (resultats qui figurent (graphique 16, page 39)en annexe) revelent que les

coefficients saisonniers obtenus sont tous non significatifs. Ceci nous conduit logiquement a` la conclusion que notre s'erie est non saisonnière.

4.1.2 Détermination du type (additif ou multiplicatif) de la série

Après avoir 'etudi'e et d'etermin'e les diff'erentes composantes qui gouvernent le processus g'en'erateur de nos donn'ees, nous retenons que celles-ci ont 'et'e g'en'er'e par un processus pourvue de deux principales composantes : T_t, une tendance ' grossiêre contenant une 'eventuelle composante cyclique, et åt le terme d'erreur.

Ainsi, il existe deux repr'esentations possibles du processus g'en'erateur de nos don-

Pour identifier la repr'esentation qui convient le mieux a` nos donn'ees, nous effectuerons dans un premier temps un examen graphique qui nous permettra de retenir une repr'esentation a` priori que nous 'eprouverons dans un second temps par un test param'etrique, celui de Buys-Ballot.

Comme l'illustre le graphique 3 ci-dessous, la s'erie du prix de p'etrole semble osciller autour d'une tendance²⁰ curviligne. De plus, l'amplitude de ces oscillations semble croàýtre

²⁰Cette tendance est estimépar la méthode de lissage LOWESS (LOcally WEighted Scatterplot Smoothing), avec pour paramètre de lissage f = 0, 1.

avec le temps a` partir du d'ebut de l'ann'ee 2002. C'est pour cette raison que nous postulons pour un modèle de type multiplicatif.

Graphique 3 - Identification graphique de la d'ecomposition de la s'erie du prix de p'etrole

Notons par ui et ói, respectivement la moyenne annuelle et l''ecart-type annuel de la s'erie du prix du baril de p'etrole pour l'ann'ee i, avec i = 1989, .. . , 2009. Nous considèrent le modèle lin'eaire simple d'efini par l''equation 7.

O`u a et b sont des paramètres a` estimer et åi le terme d'erreur du modèle de r'egression. Le test de Buys-Ballot, bas'e sur la statistique de Student, consiste a` estimer la significativit'e du coefficient b. Il permet ainsi de tester l'hypothèse nulle de repr'esentation additive de la s'erie Xi (cas o`u ^bb²¹ est non significatif), contre celle de repr'esentation multiplicative ou mixte (cas o`u ^bb est significatif). La statistique du test, celle de Student, est : t?b₌^bb ó ^bb.

Appliqu'e aux donn'ees de cette 'etude, l'estimation du modèle donn'e par l''equation 7 donne le r'esultat suivant : ói = --2,84 + 0, 23ui + åi, avec t?b = 7,43 > 1,96. Ainsi, le coefficient b est significativement diff'erent de z'ero, au seuil de 5 %. Nous en d'eduisons que le sch'ema de d'ecomposition de la s'erie du prix du baril de p'etrole est soit multiplicatif, soit mixte. La confrontation entre ce r'esultat et celui de l'examen graphique du paragraphe pr'ec'edent nous amène logiquement vers la conclusion selon laquelle le modèle multiplicatif est celui qui s'adapte le mieux a` nos donn'ees.

4.2 Extraction de la composante cyclique

Nous avons appliquétour a` tour le filtre proposépar Christiano et Fitzgerald (dans ses deux variantes : symétrique et asymétrique), a` la série brute des cours de pétrole. Nous avons également appliquéles filtres de Baxter et King et de Hodrick et Prescott a` cette même série, pour des besoins de comparaison des résultats.

Tout d'abord, la composante cyclique obtenue par chacun de ces filtres est stationnaire en moyenne (cf. graphique 4, page 18), par construction même des ces méthodes de filtrage. Il y ressort que le cycle obtenu par le filtre de Christiano et Fitzgerald sous sa variante asymétrique serait le plus adaptée. Plusieurs raisons militent en faveur de cette présomption. Tout d'abord, ce filtre traite la série sur toute la période, tandis que les autres ne font le traitement qu'en dehors des 36 points extrêmes de part et d'autres. En-suite, une méthode asymétrique parait plus plausible par rapport a` une autre symétrique, car l'on ne saurait par exemple dire que la crise asiatique des années 1997 et 1998 ayant produit une chute des cours de pétrole se reproduira dans le temps a` la même fréquence et a` la même amplitude. Enfin, tout comme celui obtenu par Baster et King ou par Christiano et Fitzgerald symétrique, le filtre Christiano et Fitzgerald asymétrique présente un caractère lissésur la composante cyclique extraite.

Les différents points de retournements du cycle semblent co·ýncider pour les quatre filtres, du moins pour l'intersection des périodes pour lesquelles ils sont définis, c'est-à-dire pour la période allant de Janvier 1992 a` Avril 2006²². Bien plus, le cycle obtenu par le filtre de Hodrick et Prescott paraàýt contenir davantage les irréguliers, d'o`u le caractère ' non lisse de la courbe représentative du cycle extrait par ce filtre.

Nous procédons a` la datation des principaux points de retournements en utilisant le cycle obtenu par le filtre asymétrique de Christiano et Fitzgerald, ceci pour les principales raisons que nous avons évoqués ci-dessus.

4.3 Datation de la composante cyclique

Pour des besoins de comparaison, nous présentons dans cette section les résultats obtenus par deux méthodes de datation. Tout d'abord, une méthode non paramétrique (algorithme de Bry et Boschan) nous permet de détecter les différents points de retournements du cours du baril sur la période allant de Janvier 1989 a` Avril 2009. Et enfin, une autre, paramétrique (Modèles Markoviens Autorégressif a` changement de régime²³), nous permet de juger de la pertinence des résultats de la première méthode. Ceci se justifie dans la mesure o`u la deuxième s'appuie sur des fondements théoriques, tandis que la première est basée sur un procédéitératif de détection des pics et des creux, et donc peut être approximative au niveau des résultats.

4.3.1 Cycle dat'e par la proc'edure de Bry et Boschan

Le tableau 1 présente, de manière détaillée, les différentes phases datées du cycle du cours du baril pour la période d'étude. Par ailleurs, l'illustration graphique de cette même datation est faite au graphique 12, de la page 37 en annexe.

Durant la période d'étude, le prix du baril du pétrole a oscillésur 15 phases, d'augmentation et de récession. Ce prix débute et s'achève par une diminution (récession), ce qui pourrait laisser penser que le cours du baril a étérelativement bat durant la période. Et pourtant, la phase la plus longue, d'une durée de 34 mois et qui va de Janvier 1994 Octobre 1996, s'agit en fait d'une phase d'expansion sur ce marché. Cette phase débute par un prix de 13, 49 USA $/baril pour s'achever par celui de 23, 61 USA $/baril, soit une

²²Les filtres de Christiano et Fitzgerald (symétrique) et de Baster et King excluent, dans leurs traitements, 36 moins après le début de la série et de même avant la fin.

²³Les resultats pour cette méthode de datation sont présentés en annexe, graphique 13, page 37.

moyenne de 17, 28 et un écart-type de -2, 25 USA $/baril. Ainsi, contrairement a` ce que pourrait penser, les valeurs maximale et minimale de cette phase n'expliquent pas pour autant cette relative forte variabilité. L'asymémétrie de cette phase est de 0, 71 tandis que le coefficient d'applatissement est de 1, 06, ce qui montre que les prix pour cette phase du cycle ont tendance a` augmenter et sont tres moins concentrés aux valeurs extrêmes.

La toute premiere, dont nous n'avons pas d'information quant a` sa date de début, qui est une phase de récession sur le marchédu brut, n'a pu être observée que sur une

	Phase	Debut	Fin	Duree	Valeur debut	Valeur fin
1	Recession	<NA>	Septembre 1989	<NA>	<NA>	16,82
2	Expansion	Octobre 1989	Novembre 1990	14	17,65	30,18
3	Recession	Decembre 1990	Decembre 1991	13	25,42	16,72
4	Expansion	Janvier 1992	Octobre 1992	10	16,72	19,33
5	Recession	Novembre 1992	Decembre 1993	14	18,22	12,65
6	Expansion	Janvier 1994	Octobre 1996	34	13,49	23,61
7	Recession	Novembre 1996	Octobre 1998	24	23,21	12,81
8	Expansion	Novembre 1998	Juillet 2000	21	11,76	27,93
9	Recession	Aoüt 2000	Fevrier 2002	19	29,38	19,98
10	Expansion	Mars 2002	Decembre 2002	10	23,64	27,89
11	Recession	Janvier 2003	Novembre 2003	11	30,75	29,12
12	Expansion	Decembre 2003	Mars 2006	28	29,97	60,93
13	Recession	Avril 2006	Fevrier 2007	11	67,97	57,56
14	Expansion	Mars 2007	Mars 2008	13	60,60	101,84
15	Recession	Avril 2008	<NA>	<NA>	108,76	<NA>

Bien plus, la valeur reccord du prix de pétrole sur la période d'étude, 132, 83 USA $/baril pour le le mois de Juillet 2008, appartient a` une phase de récession et dont sa moyenne est de 81, 58 USA $/baril par mois et un écart-type de 35, 76 USA $/baril. C'est cette phase, bien n'étant pas encore achevée pour la période que nous avons retenue, présente la plus grande variabilitéet la plus grande moyenne de toutes les phses du cycle.

Il faut remarquer que le prix du brut a tendance a` augmenter et a` être plus volatile sur le marché: la moyenne et l'écart-type des phases sont fonctions croissantes du temps.

4.3.2 Cycle dat'e par le modèle MS-AR

Les résultats de la datation du cycle du prix de pétrole par la méthode paramétrique MS - AR²⁴ sont présentées en annexe, page 36. Le principal enseignement que l'on peut retenir de cette méthode est le suivant : les résultats sont en concordance avec ceux

obtenus par la m'ethode de datation de Bry et Boschan. Le cycle commence et s'achève effectivement par une phase de r'ecession. La première phase a exactement la même dur'ee, 9 mois, que celle donn'ee par la m'ethode pr'ec'edente.

Par ailleurs, il apparaàýt par cette m'ethode que les probabilit'es de transition d'une phase donn'ee a` l'autre confirment correctement la datation effectu'ee. En effet, la probabilit'e de passage d'une phase de r'ecession a` une phase d'expansion est très grande et est de 0,030, tandis que celle de passage d'une phase d'expansion a` une phase de r'ecession est de 0, 068. Bien plus, la fr'equence d'occurrence d'une phase donn'ee sachant que l'on s'est trouv'e dans cette phase est très forte. Elle est de 0, 970 pour passer d'une r'ecession a` une r'ecession et de 0, 932 pour passer d'une expansion a` une expansion. Ces r'esultats sont d'autant plus r'econfortant que l'on a constat'e que les phases des cycles couvrent le plus souvent une p'eriode de plus d'un an; soit donc que l'occurrence des points de retournements corrobore avec les probabilit'es de transition calcul'ees.

Cette section est consacr'ee a` la mod'elisation et a` la pr'evision du cycle du prix de p'etrole pr'ec'edemment extrait. Son premier objectif est donc celui d'identifier le processus ARIMA²⁵ ayant g'en'er'e ce cycle. Pour ce faire, après avoir 'eventuellement stationnaris'e notre composante cyclique, nous mettrons en oeuvre la m'ethodologie de Box et Jenkins qui fait autorit'e en matière de mod'elisation ARMA. Cette m'ethodologie se fait en cinq 'etapes : la description de la chronique de l''etude qui devrait renseigner sur son type (additif ou multiplicatif) ; l''etude de sa stationnarit'e; l'identification du modèle g'en'erateur du processus en 'etude, l'estimation des paramètres de ce modèle, sa validation et une pr'evision.

La composante cyclique est stationnaire et non saisonnier (Fournier, 2000) par construction. Mais, sans toutefois remettre en cause la m'ethodologie d'extraction du cycle, nous 'etudions dans la sous section suivante la stationnarit'e du cycle que nous avons ex-trait, ceci pour lever la pr'esomption de non stationnarit'e que pourrait laisser apparaàýtre le corr'elogramme (graphique 5 ci-dessous) de ce cycle.

²⁵Même si Clark (1989), citépar Ponty [14] en page 50, modélise la composante cyclique par un modèle ARMA, nous nous proposons dans ce papier d'étudier tout d'abord la stationnaritéde la composante cyclique.

5.1 'Etude de la stationnaritédu cycle

Afin de mettre en évidence un test d'étude de la stationnaritéde notre série du cycle des cours de pétrole, nous étudions tout d'abord l'existence d'une rupture dans la chronique afin de choisir le test approprié.

L'étude de l'existence de rupture dans la série du cycle est mise en oeuvre par le test de CUSUM. L'allure du graphique donnant le résultat de ce test est présentée ci-dessou (graphique 6). Ce graphique montre une courbe qui ne sort pas du corridor délimitépar les deux droite en rouge, ce qui laisse apparaàýtre que la série du cycle du prix de pétrole ne présente pas de rupture sur la période d'étude. Ainsi, un test de Dickey-Fuller est appropriépour l'étude de la stationnaritédu cycle. En effet, ce test ne tient pas compte

Dickey et Fuller [1979] ont propos'e trois modèles de base servant a` la construction des tests de racine unitaire. Ces auteurs utilisent trois modèles de base pour une s'erie {Ct, t = 1, . . . T} servant a` la construction de ces tests :

O`u l'on suppose dans chacun de ces trois modèles que åt est un processus bruit blanc. Si ñ = 1, cela suppose qu'il y a pr'esence de racine unitaire et donc la s'erie Ct du cycle est un procesus non stationnaire de type (DS). Dans chacun des trois modèles, on teste sous l'hypothèse nulle, l'existence d'une racine unitaire²⁶, contre l'hypothèse alternative de non pr'esence de racine unitaire dans la s'erie du cycle.

Sous l'hypothèse nulle H0, Ct n'est pas stationnaire et les propri'et'es de l'inf'erence statistique habituelles ne peuvent plus être appliqu'ees. Ainsi, Dickey et Fuller (1979, 1981), ont montr'e que sous l'hypothèse nulle, la statistique de student du paramètre ñ, ne suit plus une loi de student²⁷ usuelle; elles suivent une distribution de Dickey-Fuller.

Le test de Dickey-Fuller Augment'e qui est une g'en'eralisation de la proc'edure du test de Dickey-Fuller pr'esent'e par les modèles 1, 2 et 3 ci-dessus a` 'et'e choisi pour 'etudier la pr'esence d'une racine unitaire dans notre s'erie {Ct}t. En effet, l'hypothèse de ' bruit

²⁶Dans ce cas, on montre que C est une marche aleatoire sans derive, pour les modèles 1 et 2, et une marche aleatoire avec derive pour le modèle 3.

blanc faite sur le terme d'erreur åt n'est pas toujours réalisé²⁸. Pour ce test, les erreurs suivent un processus AR(p). On montre par exemple que le cas o`u Ct suit un AR(1) a` erreurs autocorellées d'ordre (p - 1), est équivalent a` un AR(p) a` erreurs bruit blanc.

L'application de la procédure du test de Dickey et Fuller Augmentésur la série du cycle du prix de pétrole nous révèle les résultats qui sont consignés en annexe, graphique 17, 18 et 19 des pages 39 et 40. Nous adoptons l'approche séquentielle descendante qui est recommandée pour la mise en oeuvre de ce test. Ainsi nous procédons tout d'abord a` l'analyse des résultats du modèle 3.

La probabilitécritique du coefficient estiméde la tendance est de 0,94. La tendance n'est donc pas significative, au seuil de 10 %, dans le modèle 3 (modèle avec constante et tendance); nous passons ensuite a` l'analyse des résultats du modèle 2 (modèle avec contante). Ces derniers montrent que le coefficient estiméde la constante n'est pas significative au seuil de 10 %, car la probabilitécritique de l'estimation est de 0,91. Enfin, le modèle 1 (sans constante ni tendance) montre que l'hypothèse H0 de présence de racine unitaire n'est pas rejetée, car la probabilitécritique associéa` la statistique du test est de 0,23, c'est-à-dire un résultat non significatif au seuil de 10 %. En conséquence, la série du cycle du prix de pétrole n'est pas stationnaire.

5.2 Identification de l'ordre d de diff'erence

A` présent que notre série du cycle du prix de pétrole n'est pas stationnaire, nous procédons a` la stationnarisation de celle-ci. Le type de non stationnaritén'ayant révéléni tendance ni constante, nous stationnarisons notre série du cycle par différentiation

Nous opérons par itérations. La procédure du test de Dickey-Fuller Augmenté(ADF) est appliquée a` la première différence (ÄXt = Xt^-Xt_1) du cycle Ct. Les résultats obtenus nous montrent que le cycle n'est pas stationnaire en première différence. Nous passons a` la différence d'ordre 2 et jusque là, le cycle n'est non plus stationnaire. Nous itérons le procédéde différentiation jusqu'àl'ordre d = 4. Les résultats du test ADF nous montre que la série du cycle est stationnaire en quatrième différence.

En effet, les résultats du test (graphique 7) sur la différentielle d'ordre 4 de la série du cycle nous permettent de rejeter l'hypothèse de présence de racine unitaire, au seuil

de 10 %. Le modèle 1 nous a permis de prendre cette d'ecision, avec la statistique t de student 'egale a` -1,798 et une probabilit'e critique de 0,06.

Ce paramètre de diff'erentiation relativement fort (d = 4) confirme le fait que le cycle de tout processus stochastique possède en g'en'eral une m'emoire forte.

Graphique 7 - R'esultats du modèle 3 de Dickey-Fuller sur la s'erie en 4ème diff'erence

Graphique 8 - Résultats du modèle 2 de Dickey-Fuller sur la série en 4ème différence

Graphique 9 - Résultats du modèle 1 de Dickey-Fuller sur la série en 4ème différence

L'objectif de ce paragraphe est d'identifier les ordres p et q du processus ARMA(p, q) ayant générénotre cycle différenciée a` l'ordre 4. Comme l'illustre le graphique 15 de la page 38, les termes du corrélogramme simple du cycle en quatrième différence présentent une décroissance sinuso·ýdale. Par ailleurs, l'information que nous renseigne le corrélogramme partiel du cycle en quatrième différence nous permet de faire une restriction sur les valeurs probables²⁹ du paramètre p, en prenant p = 4, et de postuler que le cycle différenciéa` l'ordre d = 4 a étégénérépar un processus AR(p). Il nous paraàýt donc judicieux de conclure quant a` la classe de tous les processus ARIMA(p, 4, q), avec (p, q) E {1, 2, 3, 4} x {0}, pouvant avoir générer la composante cyclique du prix de pétrole.

Pour sélectionner le paramètre p, nous faisons recours au critère d'information d'Akaike. Nous calculerons le critère AIC pour chacun des modèles envisagés et choisirons celui qui le minimise. Le tableau suivant présente, pour (p, q) E {1, 2, 3, 4} x {0}, la valeur du critère d'information AIC pour une modélisation ARIMA(p, 4, q) du cycle.

Le critère d'Akaike se calcule suivant l'expression suivante : AIC = log( _T ) +

T , o`u Et est le résidu estimédu modèle considéréet T le nombre total d'observations.

A` présent, nous nous prononcons sur le modèle qui aurait généréle cycle des cours de pétrole, il s'agit de ARIMA(4, 4, 0). Bien plus, au regard des résultats du tableau ci-dessus, le modèle qui résulte de la minimisation du critère AIC est le modèle ARIMA(2, 4,0). Ainsi donc, au cas o`u une des hypothèses de validation du modèle venait a` être violée, nous spécifions ce second modèle pour notre série du cycle des cours de pétrole. La violation une fois de plus des hypothèses de ce dernier modèle nous emmènera a` postuler un autre (ARIMA(1, 4, 0)) et ainsi de suite jusqu'àla validation de

²⁹En fait, suivant les propriétés identifiées de l'autocorrélogramme simple et l'autocorrélogramme partiel (décroissance sinuso·ýdale du premier et 4 premiers retards non nuls pour le second), on a p = 4. Toutefois, pour une éventuelle non validation des hypothèses du modèle, des autres valeurs de p doivent être choisies dans l'ensemble des p < 4 et suivant la minimisation du critère d'information.

toutes les hypoth`eses du mod`ele final retenu. Nous estimons dans le paragraphe suivant les param`etres du mod`ele retenu.

5.4 Estimation du modèle

D'apr`es ce qui pr'ec`ede, le cycle {Ct}T _t=0 des cours de p'etrole admet une repr'esentation de forme :

Avec /4Ct = Xt - 4Xt_1 + 6Xt_2 - 4Xt_3 + _{Xt_4} et o`u les param`etres {öi}4 _i=1 sont estim'es suivant la m'ethode des MCO. Les r'esultats de cette estimation des param`etres sont consign'es dans le tableau 3 suivant.

Tableau 3 - Estimation des param`etres du mod`ele probable (ARMA(4, 0)) de la quatri`eme diff'erence du cycle Ct

5.5 Validation du modèle

Les tests de validation du mod`ele ont pour objectif de v'erifier que le terme d'erreur de la repr'esentation ARIMA de la chronique en 'etude est bien un bruit blanc, c'est-àdire est a` variance constante et peut s'ajuster a` une variable al'eatoire de loi normale. Trois principaux types de tests sont utilis'es afin de valider et 'eventuellement resp'ecifier le mod`ele. Il s'agit des tests de normalit'e des r'esidus, du test d'homosc'edasticit'e et de celui d'autocorr'elation des erreurs.

5.5.1 Test de normalité

L'hypoth`ese de normalit'e des termes d'erreur est primordiale dans la mise en oeuvre d'un mod`ele 'econom'etrique. En effet, c'est sur la base de cette derni`ere que sont 'etablies les distributions statistiques des estimateurs issus de l'estimation. En raison de sa simplicit'e d'impl'ementation et d'interpr'etation, le test de Jarque-Bera est tr`es souvent utilis'e pour

vérifier cette hypothèse. Le principe du test de normalitéest basésur les hypothèses suivantes :

La règle de décision ici est d'accepter l'hypothèse de normalitédes résidus lorsque la probabilitédu test est supérieure au seuil considéréet son rejet dans le cas contraire. La mise en oeuvre de ce test nous donne les résultats qui permettent de rejetter l'hypothèse nulle de normalitédes résidus. En effet, la statistique du test (de valeur 7, 2492) est bien supérieure a` celle tabulée (5, 99) au seuil de 5 %, avec la probabilitécritique correspondante égale a` 0, 0266 (c'est-à-dire inférieure a` 5 %).

Il en ressort ainsi que la série du cycle des cours de pétrole n'est donc pas étégénérépar le processus ARIMA(4, 4, 0). Nous envisageons pource fait une autre spécification au modèle ayant générécette série. Nous postulons ensuite le modèle ARIMA(2, 4, 0)³⁰. Cette estimation qui nous donne les coefficients de la partie AR (tableau 4) tous significatifs nous fournit en même temps les erreurs qui appliquées au test de Jarque Bera ne rejette pas l'hypothèse de normalité. La probabilitécritique du test est de 0.04271; soit donc que les erreurs du modèles peuvent s'ajuster a` une variable aléatoire de loi normale, avec une seuil de 5 % de ce tromper.

Tableau 4 - Estimation des paramètres du modèle retenu (ARMA(2, 0)) de la quatrième différence du cycle Ct

5.5.2 Test d'homoscédasticité

La notion d'hétéroscédasticitérenvoie a` la non constance de la variance de l'erreur. En cas de présence d'hétéroscédasticité, les estimateurs MCO ' classiques ne sont plus a` variance minimale. Il existe un certain nombre de test d'hétéroscédasticitédes erreurs. Celui que nous utilisons ici est le test de White (1980).

Le test de White est fondésur l'existence d'une relation entre les carrés des résidus du modèle estiméet une (ou plusieurs) variables explicatives a` niveau ou au carré. Il s'agit

d'un test de l'hypothèse nulle d'homoscédasticitécontre l'alternative d'hétéroscédasticitédes erreurs. En pratique, on compare la probabilitédu test au seuil considéré. Lorsque
cette probabilitéest supérieure au seuil, on accepte l'hypothèse d'homoscédasticitédes résidus.

Ici, nous sommes autorisés a` accepter l'hypothèse nulle d'homoscédasticitéau seuil de 5 % car la probabilitécritique du test vaut 0, 866.

5.5.3 Test d'autocorrelation

En raison de la simplicitéde sa mise en oeuvre, c'est le test d'autocorrélation de Breusch-Godfrey que nous utiliserons pour tester l'autocorrélation de nos résidus. Les hypothèses de ce test sont les suivantes :

La statistique du test suit asymptotiquement une loi de chi-deux sous l'hypothèse nulle. Nous basons notre décision sur la probabiltécritique du test qui vaut 0, 496 dans ce cas. Elle nous permet donc d'acceptél'hypothèse nulle. Nos résidus sont donc nonautocorrélés au seuil de 5 %.

5.6 Prevision

Partant des résultats fournis par l'algorithme de Box et Jenkins, on est en mesure de réaliser une prévision du cycle a` un horizon h, notée _dCt+h, pour la réalisation du processus {Ct}t=1,...,T a` la date t + h , a` partir de notre échantillon d'observations. La prévision pour des échéances éloignées se fait en utilisant l'espérance conditionnelle. Autrement dit, en supposant que l'on se situe a` une date t, la prévision du cycle _{Ct}t est obtenue comme sa projection dans l'espace engendrépar son passéet ses erreurs. La série du cycle³¹ étant donnée par l'équation 11. En considérant sa représentation MA(8) : Ct = åt + ?1 _åt-1 + ?2 _åt-2 + ... + ?i _åt-i + ..., on déduit l'expression générale des prévisions a` l'horizon h : ^bCt = >I i=0 ?i+h åt-i . L'intérêt de l'écriture MA(8) est qu'elle facilite le

Pour un horizon de six mois, les prévisions obtenues sont données dans le tableau ci-dessous :

Les erreurs de prévision sont d'un ordre de grandeur dix fois inférieur a` celui des valeurs prédites, ce qui dénote une bonne concordance entre nos données et les résultats de notre exercice de modélisation. Le graphique 10 suivant permet de mieux apprécier cette adéquation. La suite de la courbe, en pointilléet en de couleur rouge, présente la prévision du cycle dans un horizon de six mois. Cette prévision indique donc une phase de reprise juste après le mois de Mai 2009.

Le retournement du cycle sur la période de prévision suggère une amélioration de la conjoncture pour les pays exportateurs net de pétrole. En effet, a` partir de Mai 2009, le cycle du prix de pétrole entame une phase d'expansion qui devrait vraisemblablement atteindre la fin de l'année courante. Les recettes pétrolières alors en baisse tendancielle depuis un an devraient augmenter de facon progressive mais persistance (au moins dix mois) étant donnéla durée moyenne des phases identifiées.

Il était question dans ce papier d'identifier le mécanisme ou le processus générateur du cycle de la série de prix de pétrole. Pour ce faire, nous avons d'abord extrait ce cycle suivant divers filtres proposédans la littérature, et nous avons ensuite procédéa` la datation de cette dernière. Nous en sommes parvenu a` divers résultats et dont les plus pertinents sont les suivantes.

Tout d'abord, pour extraire de la composante cyclique de la série des cours mensuels de pétrole, qui présente un intérêt majeur pour l'analyse conjoncturelle et peut avoir des incidences en matière de politiques économiques, nous avons utilisés quatre filtres parmi la panoplie de ceux proposés dans la littérature. Nous avons retenu que celui de type asymétrique proposépar Christiano et Fitzgerald (approximation finie et asymétrique du filtre passe-bande idéal) est le plus adapté, ceci pour diverses raisons et dont nous avons fait mention.

Ensuite, nous avons procédéa` la datation du cycle extrait; ceci dans une optique de détecter les principaux points de retournements de reprise et de baisse. Pour ce faire, nous avons, d'une part mis en oeuvre l'algorithme itératif de Bry et Boschan et d'autre part l'application du modèle Markoviens Autorégressif a` changement de régime. La composante cyclique identifiée par la première méthode, celle de type non-paramétrique, présente des propriétés intéressantes et rend bien comptes de l'environnement politico-économique international. Sur la période d'étude (Janvier 1989 - Avril 2009), sept cycles ont étéidentifiés, lesquels cycles animés par sept phases de hausse et huit autres de baisse tendancielle du cours de pétrole. Les phases de hausse sont en moyenne plus longues que celles de baisse, ce qui témoigne du mouvement haussier du prix de cette matière première. Afin

d'éprouver la qualitéde notre algorithme de datation, nous avons a` nouveau identifiéles cycles avec la méthode paramétrique des Modèles a` Changement de régime Marko-

vien. Cependant, aucun déphasage significatif n'est apparu entre les cycles issus des deux méthodes de datation.

Enfin, une modélisation de type Box et Jenkins des cycles précédemment extraits nous a` donnéde prévoir une hausse tendancielle des cours du baril de pétrole qui entreront dans une phase cyclique d'augmentation pour les six mois qui suivent la période d'étude.

ANNEXES

Par définition, le filtre passe-bande idéal associéa` l'intervalle de fréquences [ù_a, ùb] laisse passer les fréquences comprises entre ù_a et ùb, et annule les autres fréquences. Un tel filtre s'obtient comme différence de deux filtres qui laisse passéles fréquences plus basses que ù_a ou ùb. Ainsi, on se donne donc a priori, sur la base de considérations d'ordre économique, la fonction de transfert de ce filtre idéal :

La fonction ?(.) est donc a` valeurs réelles, et son développement en série de Fourier conduit a` l'expression :

La somme des coefficients Bj est égale par construction a` ?(0) . En conséquence, la somme des coefficients d'un filtre passe-bas est égale a` 1, et celle d'un filtre passe-bande (si ù_a > 0 ) est égale a` 0. Par ailleurs, le module de la fonction de transfert est appelégain du filtre. Il mesure le rapport d'amplitude entre la série issue du filtre et la série initiale, quand celle-ci est sinuso·ýdale de fréquence ù.

Tableau 6 - Quelques statistiques descriptives des phases du cycle des cours de pétrole

	Phase	Début	Fin	Moyenne	Ecart-type	Asymétrie	Applatissement
1	Recession	<NA>	Septembre 1989	16,90	0,93	0,98	1,08
2	Expansion	Octobre 1989	Novembre 1990	20,95	6,34	1,06	-0,46
3	Recession	Decembre 1990	Decembre 1991	18,83	2,36	1,79	3,64
4	Expansion	Janvier 1992	Octobre 1992	18,31	1,31	-0,36	-1,40
5	Recession	Novembre 1992	Decembre 1993	16,36	1,47	-1,09	1,24
6	Expansion	Janvier 1994	Octobre 1996	17,28	2,25	0,71	1,06
7	Recession	Novembre 1996	Octobre 1998	17,07	3,52	0,17	-1,18
8	Expansion	Novembre 1998	Juillet 2000	20,33	6,28	-0,30	-1,33
9	Recession	Aoüt 2000	Fevrier 2002	25,47	4,26	-0,19	-0,80
10	Expansion	Mars 2002	Decembre 2002	26,00	1,49	0,10	-1,24
11	Recession	Janvier 2003	Novembre 2003	28,80	2,06	0,20	-0,11
12	Expansion	Decembre 2003	Mars 2006	46,67	10,49	0,02	-1,36
13	Recession	Avril 2006	Fevrier 2007	63,60	6,20	-0,02	-1,51
14	Expansion	Mars 2007	Mars 2008	79,10	12,68	0,22	-1,31
15	Recession	Avril 2008	<NA>	81,58	35,76	0,22	-1,92

Graphique 11 - 'Evolution du prix de pétrole, et de son logarithme, entre Janvier 1989 et

Graphique 12 - Mise en 'evidence du cycle dat'e suivant l'algorithme de Bry et Boschan

Graphique 15 - Autocorrelogramme simple de la serie brute et de celles differenciees jusqu'`a l'ordre 5

Autocorrélogramme simple de la série du cycle Autocorrélogramme simple du cycle en 1ère différence Autocorrélogramme simple du cycle en 2ème différence