Etude prévisionnelle de la consommation nationale du gaz en Algérie

3.2 DeÖnitions

Soit '2 , A , F ) un espace probabilisé et ¹2 , A un espace probabilisable

DeÖnition 1

On appelle une variable aleatoire notee K toute application mesurable, telle que

K : '2 , A ) ' '2 , A ), tel que / 5 E A ) K ^%'5) E A

DeÖnition 2

Un processus aleatoire ou encore stochastique note 3 KK, a E G 4 est une famille

de variables aleatoires indicees par a, deÖnies sur un mÍme espace probabilise

'2 , A , F ) et a valeurs dans ¹2 , A ocents ¹2 , A est appele "espace díetats du pro- cessus aleatoire"

3.3 ClassiÖcation des processus stochastiques

Nous distinguons les processus suivants :

ó 1. Si G est dénombrable, alors le processus 3 KK, a E G 4 est dit ‡ temps discret, sinon

il est dit ‡ temps continu .

ó ,. Si 2 est dénombrable, alors le processus 3 KK, a E G 4 est ‡ espace díétats discret, sinon il est ‡ espace díétats continu.

ó - . Si 2 6 R^F alors le processus est dit multivarié.

Remarques

ó 1. Une réalisation díun processus est appelée trajectoire. Donc, cíest une suite des réalisations des variables aléatoires KK. Les réalisations díune même variable aléatoire pouvant être di§érentes, les réalisations díun même processus peuvent donner des

trajectoires di§érentes.

ó ,.Dans ce qui suit on síintéresse aux processus aléatoires ‡ temps discret, autrement dit G 6 Z.

3.4 Caracteristiques díun processus stochastique

Soit le processus aléatoire3 Xt, a E Z4 , alors la moyenne (espérance mathématique), la variance et la covariance de ce processus Xt sont données respectivement par :

^{1) E (X}t^{) 6 %} t ^{(moyenne de X}t^),

& "

^{2) I N_ (Xt) 6 E ! (Xt %} t⁾

^{(variance de Xt)}

^{et la covariance entre X}t ^{et X}s ^{est déÖnie comme suit :}

- ) 6 \b (Xt, Xs) 6 E 8 (Xt % t) (Xs % s)] (covariance entre Xt et Xs),

3.5 Les processus stationnaires

La notion de stationnarité joue un rOle central dans la théorie des processus. Deux types

de stationnarité sont généralement considérées. Et dans ce qui suit nous passons en revue

les déÖnitions de bases liées ‡ ces deux types de processus stationnaires.

3.5.1 Processus strictement stationnaire (la stationnarite forte)

Soit un processus stochastique3 Xt, a E Z4 , le processus est dit strictement (ou forte-

ment) stationnaire si : / (a%, a& *..., aF) E Z^F et / U E Z, alors la suite (Xt # @, ..., Xt

# @) a la

1 "

même loi de probabilité que la suite (Xt1 , ..., Xt" ), autrement dit :

^{F (X}t1 ^{$ c} %^{, ..., X}t" ^{$ c} F^{) 6 F (X}t1 # @ ^{$ c} %^{, ..., X}t" # @ ^{$ c} F^{) ,}

/ (a%, a& *..., aF) E Z^F, / (c %, c & *..., c F) E R^F et / U E Z.

De cette déÖnition découle que tous les moments díordre (síils existent), díun processus stochastique strictement stationnaire sont invariants pour toute translation dans le temps,

or cette déÖnition est rarement vériÖée en pratique, cíest ainsi que nous proposerons un autre

type de stationnarité, dite stationnarité du second ordre.

3.5.2 Processus faiblement stationnaire (second ordre)

Le processus 3 xt, t E Z4 est dit faiblement stationnaire si :

ó 1. E (xt) 6 % (constante), / t E Z,

M

ó 2. I N_ (xt) 6 ) ^&

6 ! $

(constante), / t E Z,

ó - . 6 \ b (xt, xt# @) 6 E 8 (xt % t)(xt# @ % t] 6 ! M (U), / t, U E Z,

! M (U) est la fonction díautocovariance du processus3 xt, t E Z4 .

Remarques

ó 1. La covariance dun processus faiblement stationnaire depend seulement de la di§erence entre les instants.

ó 2. Dans les processus stochastiques du second ordre, la stationnarite stricte implique

la stationnarite faible (la reciproque est fausse sauf pour les processus gaussiens).

ó - . Desormais, le terme stationnaire renverra au concept de stationnarite du second ordre, sauf mention contraire

Implication de la stationnarite

La stationnarite signiÖe que le degre de relation entre deux termes díune serie depend uni- quement de líintervalle temporel entre eux et non du temps. Cela signiÖe que la fonction de generation du processus ne change pas au cours du temps. Ainsi, si par exemple xt est genere

^{par líequation x}t ^{6 -} t ^{) b (t)-} t 1 ^{et que le paramétre b (t) áuctue avec le temps, alors la serie}

níest pas stationnaire. Cette deÖnition de la stationnarite implique aussi que la variance de

la serie est invariante avec le temps.

3.5.3 Processus bruit blanc (white noise process)

Un bruit blanc3 - t, t E Z4 est une suite de variables aleatoires non correlees de moyenne nulle et de variance Önie constante. Un processus bruit blanc veriÖe les proprietes suivantes :

^* E (- t) 6 * ,

I (- t) 6 E (- & ) 6 ) & . ^{/ E}

t Z

t (

Et en consequence sa fonction díautocovariance est donnee par :

^* ) & , U 6 * ,

^{! (U) 6 E (-} t ^- t# @^{) 6}

* , U 6 * .

Remarques

ó 1. Les bruits blancs sont des processus stationnaires particuliers sans "memoire". Le niveau de la serie consideree aujourdíhui nía aucune incidence sur son niveau de demain, tout comme le niveau díhier nía aucune incidence sur le niveau díaujour- díhui.

ó 2. Le terme bruit blanc provient de líanalogie dans le domaine des frequences entre la

densite spectrale díune variable i.i.d (constante) et le spectre de la lumiére blanche dans le spectre des couleurs.

ó - . Par rapport ‡ un processus bruit blanc, un processus stationnaire peut se caracte-

1

riser par une certaine non correlation de ses termes. Quand le processus est un bruit blanc, le coecents cient díautocorrelation est nul des le premier decalage. Dans un pro- cessus stationnaire, la moyenne níest pas forcement nulle.

3.6 Fonction díautocovariance

La fonction díautocovariance du processus 3 Xt, t E Z4 notee 7 (h) est deÖnie par :

7 (h) 6 6 \b (Xt, Xt h) 6 E 8 (Xt E (Xt)) (Xt h E(Xt h))] , V h, t E Z.

On remarque que pour h 6 * ; I N_(Xt) 6 7 (* )

Proprietes

7 ( h) 6 7 (h) , V h E Z, (la fonction díautocovariance est symetrique)

5 7 (h)5 $ 7 (* ) 6 I (Xt) , V h, t E Z,

Estimateur

^{Considerons (X}1^{, ...., X}: ^{), líestimateur de la fonction díautocovariance est donne par :}

1

: h

: ( (

7 (h) 6

^>

^{T h} tl 1

^Xt ^X t

1

^Xt# h ^X t# h ^,

: h :

:

^{avec X} t h ⁶

^{T h} tl 1

^Xt ^{et X} t ⁶

^: Xt

^T tl 1

3.7 Fonction díautocorrelation

La fonction díautocorélation de h, (h E Z), díun processus stationnaire du second ordre

^{de moyenne E (X}t^{) 6 % , notée p (h) est déÖnie par :}

p (h) 6

6 \b (Xt, Xt h)

^{C 6}

^{I N_ (X}t^{) B I N_(X}t h⁾

7 (h)

^{V E}

, h Z,

^{7 (* )}

avec p (h) E 8 1, 1]

Proprietes

p (* ) 6 1, V h E Z,

5 p (h)5 < 1, V h E ZI

Estimateur

7 (h)

p (h) 6 ^>

^> 7 (* )

^>

Remarques

ó 1I La représentation graphique de p (h) est appelée îcorrelogrammeî

ó 2I Si la fonction díautocorélation p (h) décroÓt rapidement quand le nombre de retards augmente, cela signiÖe que la série est stationnaire.

3.8 Fonction díautocorrelation partielle

La fonction díautocorrélation partielle mesure la corrélation entre Xt et Xt h, líináuence

des variables Xt h i (pour i < h) ayant été retirée. Notons p (h) et + hh les fonctions respecti- vement díautocorrélations et díautocorrélation partielle de XtI Soit p h la matrice symétrique

^{formée des (h 1) premieres autocorrélations de X}t ^:

⁰

I I

^I

p 6 ^I

^{h I}

^I

⁶

¹

1

I

2 I I

' I I I I

I

I

I

^ph

⁷

1	^p1	^p2	I	I	^ph
^p1	1	I	I	I	^ph
^p2	^p1	1	I	I	^ph
I	I	I	I	I
I	I	I	I	I

I

^p h 1 ^p h 2

^{% %}

^{% %}

^% p ^%

h

La fonction díautocorrélation partielle est donnée par : + hh 6 ^%

^% , ocents ^% p

^% est le déterminant

^{% % %} h ^%

% p h%

^{% %}

de la matrice p

^h

et p

^h

est donnée par :

⁰

I I

^I

p 6 ^I

^{h I}

^I

I

I

I

1

⁶

¹

I I I I I I

⁷

1	^p1	^p2	I	I	^p1
^p1	1	I	I	I	^p2
^p2	^p1	1	I	I	^p'
I	I	I	I	I	I
I	I	I	I	I	I

^p h 1 ^p h 2

p est la matrice p

^{h h}

^{dans laquelle on a remplacé la derniere colonne par le vecteur 8 p} 1^{, IIIIII, p} h^{] # ,}

la fonction díautocorrélation partielle síécrit :

^{2 +} 11^{, ` i i 6 1,}

⁾⁵ Pi ^: + i 1*a p i a

⁺ ii ⁶

⁵3

i 1

1 ^:

a l 1

⁺ i 1*a ^p a

, ` i i 6 2, >

Cet algorithme est connu sous le nom díalgorithme de Durbin (196* ). Il est basé sur les

équations de Yulle-Walker.

3.9 Series chronologiques

Líapproche de modélisation par les séries chronologiques est utilisée pour faire des prévi- sions, elle consiste ‡ exploiter líinformation contenue dans les valeurs passées díune variable

et des perturbations aléatoires (on aura besoin de collecter des informations sur une assez longue période pour avoir des prévisions Öables), de faÁon ‡ déterminer les caractéristiques intrinseques et la nature de líévolution dans le temps de la série ; nous pourrons alors pré- voir les valeurs futures de la variable. A titre díexemple, nous citerons quelques domaines díapplication :

ó 1I Líéconométrie (prédiction de quantités économiques, les prix de ventes et díachats..)

ó 2I La Önance (évaluation des cours de la bourse au cours díune séance.....)

ó - I La météorologie (analyse des données climatiques, prévision ......)

DeÖnitions

Une serie chronologique dite aussi chronique ou serie temporelle (time series en terminologie anglaise) est une suite díobservations 3 c t, t E T 4 indexees par un ensemble ordonnee T .

Suivant líensemble des indices T nous distinguons deux types de chroniques, ‡ savoir :

Serie continue : une série est continue lorsque líensemble des valeurs possibles de t est non dénombrable. Nous pourrons rencontrer ce genre de séries en physique quantique.

Serie discrËte : une série est discrete lorsque líensemble des valeurs possibles de t est

un ensemble dénombrable .Nous distinguons deux types de variables constituant une série discrete.

ó Les variables de áux : elles représentent le mouvement intervenu durant un certain intervalle de temps (le nombre díaccidents durant líannée en cour, le traÖc aérien - quotidien).

ó Les variables de niveau : elles représentent un état ‡ un moment donné.(taux de - chOmage, température ‡ un lieu Öxe...).

Une série chronologique peut être représentée graphiquement en plaÁant les instants (ti , 1 <

i < [ ) en abscisses et les observations (d i , 1 < i < [ ) en ordonnées.

3.9.1 Operateurs sur les chroniques

Operateur retard et avance

Pour formaliser le déplacement dans le temps de la série temporelle, nous déÖnissons une application, quí‡ partir díune observation prise ‡ une date donnée nous permet díexprimer

les observations passées ou futures.

Ainsi, nous introduisons líopérateur retard (Backward) noté B comme líapplication

Xt ' BXt 6 Xt 1

Nous pourrons alors établir une relation de récurrence selon :

^{B2 X}t ^{6 X}t 2 ^{5 IIIIIIIIII5 BFX}t

^{6 X}t F

De maniere analogue, nous déÖnissons líopérateur avance (Forward) noté F tel que :

9 Xt 6 Xt# 1. IIIIIIII5 9 ^FXt 6 Xt# F.

Líavantage de ces opérateurs est de permettre une expression formelle plus simple des modeles

de séries chronologiques et de líétude de leurs propriétés.

Ainsi nous pourrons écrire Yt 6

H

H

^:

i l $

ai Xt i selon Yt 6

⁽ H

^:

i l $

⁾

ai Bⁱ

Xt ce qui déÖnit une

nouvelle application 4

^:

i l $

^ai ^{Bi , qui síapplique aux séries temporelles. Cette application met}

en évidence les propriétés suivantes :

ó 1. B^$ Xt 6 Xt,

ó 2. Bⁱ B^a Xt 6 B^{i # a} Xt 6 Xt i a ,

ó - . B ⁱ Xt 6 Xt# i V i E e , B ¹ 6 F ,

ó .. B^{i # a} Xt 6 Bi Xt ) Ba Xt.

Notons que ces propriétés síappliquent également ‡ líopérateur F .

Operateur de di§erence ordinaire

Líopérateur de di§érence ordinaire noté V, associé au processus 3 Xt, t E Z4 est tel que :

V t E Z, VXt 6 (1 B) Xt 6 Xt Xt 1.

Et par construction, nous obtiendrons líopérateur de la d^{? E ?} di§érence noté V^> tel que :

V t E Z, V^> Xt 6 (1 B)^> Xt

Operateur de di§erence saisonniËre

Líopérateur de di§érence saisonniere díordre ` , noté Vs associé au processus3 Xt, t E Z4 est

tel que : V t E Z, VsXt 6 (1 B^s) Xt et par construction nous obtiendrons líopérateur de la

s

d^{? E ?} di§érence díordre ` , noté V^>

s

V t E Z, V^> Xt 6 (1 B^s)^> Xt.

telle que :

3.9.2 Analyse des series chronologiques

Líanalyse des séries chronologiques a pour objectif de décrire les principales caractéris- tiques du processus générateur de la série, líajustement du modele adéquat, la prévision et

le contrOle.

Les composantes díune serie chronologique

Les premieres études sur les séries chronologiques ont amené ‡ considérer que la chronique

peut se mettre sous la forme fonctionnelle suivante : L t 6 S (Tt, Ft, 6t, - t) ocents

Tt : représente la tendance de la chronique

Ft : représente la saisonnalité,

6t : représente le cycle conjoncturel,

- t : représente les áuctuations irrégulieres(erreurs)

Donnons pour chacune de ces composantes, quelques déÖnitions.

- La tendance(Trend en terminologie anglaise) notée T décrit le mouvement ‡ long terme

de la série, ce mouvement est traditionnellement représenté par des formes : polynomial, logarithmique, exponentielle ..., elle est en fonction du temps et marque líallure générale du phénomene.

- Le cycle conjoncturel regroupe les variations autour de la tendance avec des alternances díépoques ou des phases díexpansion et de contraction.

- Les variations saisonniËres ;beaucoup de séries chronologiques díorigine économique comportement une composante saisonniere, cela se manifeste par la répétition díun proÖl particulier avec une certaine périodicité. Parmi les causes de la saisonnalité, nous retrouvons

les variations météorologiques qui accompagnent le rythme des saisons, les habitudes (fêtes

de Ön díannée, le ramadan, les congés annuels...

- Les variations accidentelles ou erreurs, rassemblent tout ce que les autres composantes níont pas pu expliquer du phénomene observé, elles contiennent donc de nombreuses áuc- tuations, en particulier accidentelles dont le caractere est exponentiel et imprévisible.

Ces di§érents composantes peuvent être combinées selon un des trois modeles suivants :

modËle additif :

L 6 Tt ) Ft ) - t

Pour bien séparer la tendance de la composante saisonniere et pour des raisons díunicité

G

dans la décomposition proposée, on impose ^:

a l 1

` a 6 *

modËle multiplicatif :

L 6 Tt(1 ) Ft)(1 ) - t)

L‡ encore on impose

modËle mixte :

G

^:

a l 1

` a 6 * ,

Il síagit l‡ de modeles, ocents addition et multiplication sont utilisés. Nous pouvons supposer par

exemple que la composante saisonniere agit de faÁon multiplicative alors que les áuctuations irrégulieres soient additives :

L 6 Tt(1 ) Ft) ) - t

(toutes les autres combinaisons sont également possibles).

3.9.3 Modelisation des series chronologiques

Líobjectif de la modélisation est de construire des modeles permettant de décrire le comportement díune chronique, et de ce fait résoudre les problemes liés ‡ la prévision.

Decomposition de wold

Le théoreme de Wold (19-2 ) est le théoreme fondamentale de líanalyse des séries chrono- logiques.

TheorËme

Tout processus stochastique du second ordre 3 Xt, t E M 4 , possËde une decompo- sition unique donnee par Xt 6 H t ) It tel que :

ó 1 ces deux processus (H t, It) sont orthogonaux de plus H t est purement déterminable

et It est purement indéterminable (aléatoire)

ó 2 le processus 3 It, t E M 4 peut être représenté sous forme díune combinaison linéaire inÖnie du présent et du passé du processus bruit blanc 3 - t, t E M 4 .

Cette expression devait être convergente en moyenne quadratique cela veut dire que I a_(It)

doit être Önie cíest ‡ dire

²

^{) I}t ⁶

^:$

a l 1

^a! ^- $ !

^{3 I a_(I}t^{) 0 +}

ModËle autoregressif moyenne mobile & / , & (: , ; )

Les modeles 4E@ 4 (Auto Regressive Moving Average) ont été introduits par Box et Jen-

kins (191* ). Líobjet est de modéliser une série temporelle en fonction de ses valeurs passées, mais aussi en fonction des valeurs présentes et passées díun bruit.

ModËle autoregressif & / (: )

DeÖnition :

Le processus stationnaire 3 Xt, t E Z4 satisfait une representation & / díordre : , note & / (: ), síil est solution de líequation aux di§erences stochastique suivante :

- t 6 Xt

p

^z

j l 1

+ j Xt j

^Xt ^{6 +} 1^Xt 1 ^{) +} 2 ^Xt 2 ^{) ......... ) +} p ^Xt p ^{) -} t

- t 6 Xt + 1Xt 1 + 2 Xt 2 ......... + p Xt p

p

^- t ^{6 X}t ⁺ 1 ^Xt ⁺ 2 ^{2 X}t ^{......... +} p ^Xt

p

^- t ^{6 (1 +} 1 ⁺ 2 ^{2 ......... +} j

)Xt

- t 6 # ( )Xt avec # ( ) 6

6

j

^{z +} j

j l $

V W 0 ], + j

E R, + $ 6 1

^{et +} p ^{E R oü # ( ) représente le polynOme de retard et -} t ^{est un bruit blanc de moyenne}

(

nulle et de variance ) ² .

^Remarque

Le modele autoregressif díordre(]) explique la valeur de la chronique ‡ líinstant t comme une combinaison linéaire de ] observations antérieurs. Il apparaÓt aussi comme une régression multiple oü líon explique les valeurs de la série chronologique aux instants t 1, t 2, .......t ], cíest pour cela que nous líappelions autoregressif díordre (]).

ModËle moyenne mobile @ 4(^ )

DeÖnition :

Le processus stationnaire 3 Xt, t E Z4 satisfait une representation moyenne mobile díordre ; , note , & (; ), síil est solution de líequation aux di§erences stochastique

suivante :

Xt 6 - t

H

^z

j l 1

^# j ^- t j

En introduisant le polynOme de retard on obtient :

^Xt ^{6 ! ( )-} t

oü ! ( ) 6

H

^z

j l $

# j ^j , # j E R , oü # $ 6 1 et # H E R , V W 0 q ,

(

^- t ^{est un bruit blanc de moyenne nulle et de variance ) 2 .}

Remarque

Le modele moyenne mobile díordre q , @ 4(q ) explique la valeur de la série ‡ líinstant t

par une moyenne pondérée díaléas - t jusquí‡ la q ^{? E ?} période qui sont supposés générés par

un processus de type bruit blanc.

ModËle mixte 4R@ 4

Le processus stationnaire 3 Xt, t E Z4 satisfait une representation & / , & díordre :

et ; , note & / , & (: , ; ), síil est solution de líequation aux di§erences stochastiques suivante :

Xt

ou encore :

p

^z

j l 1

+ j Xt j 6 - t

H

^z

j l 1

^# j ^- t j

# ( )Xt 6 ! ( )- t.

Remarque

ó 1 Le modele 4R@ 4 est une composition díun modeles autoregressif 4R et díun modeles moyenne mobile @ 4.

Causalite et Inversibilite

DeÖnition

Un modËle de serie chronologique (lineaire ou non lineaire) de la forme :

Xt 6 T (Xt 1, Xt 2 , ... Xt p 5 - t, - t 1, - t 2 , ... - t H ) ,

ocents - t est un bruit blanc, est dit causal si, et seulement si, on peut exprimer

le processus stochastique Xt sous forme combinaison lineaire (Önie ou inÖnie)

convergente, en moyenne quadratique, du present et du passe du bruit blanc - t.

ConnaÓtre la causalité díun modele níest pas une tche facile, une raison pour laquelle

on doit imposer une condition de causalité, qui nous permet díacents rmer ou díinÖrmer sa

causalité.

TheorËme :

Soit 3 Xt, t E Z4 un modËle 4R@ 4 (], q ) deÖni par

# (B) Xt 6 ! (B) - t.

tel que les polynÙmes # (.) et ! (.) díordres respectifs ] et q níont pas de racines communes. Alors, le modËle est causale si et seulement si les racines de # sont

de module strictement superieure a líunite, i.e : # (e ) 6 * , V e E M , 5 e 5 < 1.

Remarque

La causalité est une notion qui ne concerne pas le processus 3 Xt, t E Z4 seul, mais la relation

qui lie 3 Xt4 et 3 - t4 ..

DeÖnition

Un modËle de serie chronologique (lineaire ou non lineaire) de la forme

Xt 6 T (Xt 1, Xt 2 , ... Xt p 5 - t, - t 1, - t 2 , ... - t H ) ,

ocents 3 - t4 est un bruit blanc, est dit inversible si, et seulement si, on peut exprimer

le processus 3 - t4 comme combinaison lineaire (Önie ou inÖnie) convergente, en moyenne quadratique, du present et du passe du processus stochastique 3 Xt4 .

Le théoreme suivant établi une condition nécessaire et sucents sante pour quíun modele moyenne mobile díordre q , soit inversible.

TheorËme

Soit 3 Xt, t E Z4 un modËle & / , & (: , ; ) deÖni par # ( )Xt 6 ! ( )- t tel que les polynÙmes # (.) et ! (.) díordres : et ; respectivement, níont pas de racines com- munes. Alors, 3 t est inversible si et seulement si les racines de ! sont de module strictement superieur a líunite.

Remarque

Un processus 3 Xt, t E Z4 satisfait une représentation 4R(]), est toujours inversible.

3.9.4 Fonction díautocorrelation

Fonction díautocorrelation díun & / (: )

Soit le modele autoregressif díordre ] vériÖant líéquation 1

Xt 6 2 1Xt 1 ) 2 2 Xt 2 ) ......... ) 2 p Xt p ) 6 t V t E Z.........(1)

avec :

1) E(Xt) 6 0 (processus centré) ,

2) E(Xt h6 t) 6 0 (comme 6 t est indépendant de 6 t 1, 6 t 2 ,...., alors 6 t est indépendant

^{du passé constitué par les variables X}t 1^{, X}t 2 ^....Xt h ^{pour h 2 0 )}

Equations de Yule-Walker

Multiplions líéquation (1) par Xt h et prenons líespérance des deux cotés, on obtient :

E(XtXt h) 6 2 1E(Xt 1Xt h) ) 2 2 E(Xt 2 Xt h) ) ... ) 2 p E(Xt p Xt h) ) E(6 tXt h)

Pour h 6 0 on obtient :

(

7 $ 6 2 17 1 ) 2 2 7 2 ) ...... ) 2 p 7 p ) ) ²

Pour h 2 0 on obtient :

7 h 6 2 1 7 h 1 ) 2 2 7 h 2 ) .......... ) 2 p ! 7 h p , .........(2)

En divisant (2) par 7 $ on obtient :

p h 6 2 1p h 1 ) 2 2 p h 2 ) ........... ) 2 p p h p , ...........(3 )

Si nous réitéronslíéquation (3 ) pour h 6 1, ] nous obtenons le systeme de Yule-Walker sui- vant :

^p 1 ^{6 2} 1 ^{) 2} 2 ^p 1 ^{) ....... ) 2} p ^p p 1

^p 2 ^{6 2} 1^p 1 ^{) 2} 2 ^{) ........ ) .2} p ^p p 2

4

p p 6 2 1p 1 ) 2 2 p 2 ) ..... ) .2 6

Díou líécriture matricielle suivante :

⁰ p 1 ¹

⁰ 1 p 1 p 2 . . p p 1 ^{1 0}

2 1 ¹

^{I p} 2 ^{I I}

.

^{I I I}

6

^{I I I}

.

^{I I I}

^{I I I}

.

^{I I I}

^{6 7 6}

p p

^p 1 ^{1 p} 1 ^{. . p} p 2 ^{I I}

^{I I}

.

. . 1 . . . ^{I I}

^{I I}

.

. . . 1 . . ^{I I}

^{7 6}

. . . . 1 . ^{I I}

.

.

.

.

1

^p p 1

2 2 I I I I I

^I

⁷

.

2 p

Donc estimer les parametres du modele 4R(]) revient ‡ résoudre le systeme linéaire (ou ma-

tricielle) des ] équations de Yulle-Walker ‡ ] inconnus 2 1, 2 2 , ..........2 p et les valeurs estimées

^>

de p h, sont p h

Remarque

ó 1. Le corrélogramme díun modele 4R est un corrélogramme dont les valeurs abso- lues diminuent, jusquí‡ quíelles deviennent nulles.

ó 2. Il níest toujours facile díidentiÖer un modele autoregréssif par sa fonction díauto- corrélation, sauf dans le cas 4R(1), cíest la raison pour laquelle nous avions eu

recours aux autocorrélations partielles.

Fonction díautocorrelation díun MA(q)

Considérons le modele @ 4(1) vériÖant líéquation suivante :

^Xt ^{6 6} t ^# 1⁶ t 1

² O ov (X , X

) 6 O ov (6

# 6 , 6

# 6 )

^{) t t 1}

t 1 t 1 t 1

1 t 2

^{O ov (X}t^{, X}t 1^{) 6 O ov (6} t ^# 1⁶ t 1^{, 6} t 1 ^# 1⁶ t 2 ⁾

^{3 O ov (X}t^{, X}t 1^{) 6 7} 1

²

⁾

⁷ h ⁶

³

(1 ) # ² )) ² , h 6 0

# 1) ² , h 6 1

0 , h 2 1

Ainsi, par récurrence on trouve que la fonction díautocovariance díun @ 4(q ) síécrit comme

suit :

1

² (1 ) # ²

⁾⁵

2

) # ²

H

) ....... ) # ² )) ² , h 6 0 ,

7 h 6

( # h ) # 1# h# 1 ) ....... ) # H h# q ))

0 , h 2 q ,

² , 0 0 h 0 q ,

Díoü la fonction díautocorrélation :

2

7 h ⁵⁾

1, h 6 0 ,

( # h ) # 1# h# 1 ) ....... ) # H h# q )

7

^p h ^{6 6}

^{$ 5}

1

(1 ) # ²

2

H

) # ²

) ....... ) # ² ) ^{, 0 0 h 0 q ,}

0 , h 2 q

On remarque que la fonction díautocorrélation síannule ‡ partir díun décalage supérieur ‡

q , on dit quelle est tronquée au-del‡ du retard q . Donc on peut identiÖer un @ 4(q ) ‡ partir

du corrélogramme qui síannule ‡ partir díun retard supérieur ‡ q .

Fonction díautocorrelation díun & / , & (: , ; )

Pour calculer les autocorrélations díun modele 4R@ 4, on procede comme dans le cas des modeles 4R. A partir de líéquation

Xt 2 1Xt 1 2 2 Xt 2 ......... 2 p Xt p 6 t t # 1t t 1 # 2 t t 2 ......... # q t t q

1

On peut, en multipliant les deux membres par Xt h et en introduisant líespérance, on obtient líéquation suivante :

^! Xt

⁷ $

1

2 1E(Xt 1

^Xt h

) ........ 2

p E(Xt p

^Xt h

)^" 6

^{8 E(t} t^t t h^{) #} 1^E(t t 1^t t h^{) ........ #} q ^E(t t q ^t t h^)]

7

$

Comme t t est un bruit blanc, et par conséquent non corrélé avec le passé du processus Xt,

donc E(t tXt h) 6 0 , on obtient

^V

^p h ² 1^p h 1 ^{........ 2} p ^p h p ^{6 0 , h 2 q ,}

p

p h 6

^z

i l 1

2 i p h i , V h 2 q

3.9.5 Fonction díautocorrelation partielle

Fonction díautocorrelation partielle díun 4R(])

On considere le modele 4R(X), les équations de Yule-Walker :

p j 6 2 k 1p (j 1) ) 2 k 2 p (j 2) ) ...... ) p (j X), j 6 1, >

oü 2 k j est le j^{? E ?} coecents cient du modele autoregréssif díordre X.

2

2 k k est la fonction díautocorrélation partielle díordre X.

Líautocorrélation partielle entre X1et Xk mesure la corrélation entre X1et Xk lorsque nous avions supprimé líe§et de X2 , X3 , X4 , ....., Xk 1.

Soit le systeme suivant :

^{0 p} 1 ¹

^{0 1 p} 1 ^p 2 ^{. . p} k 1 ^{1 0} k 1 ¹

.

I I I I I I

⁶

Donc :

^p 2 ^{I I}

^{I I}

6

^{I I}

.

^{I I}

^{I I}

^{I I}

^{7 6}

.

p k

^p 1 ^{1 p} 1 ^{. . p} k 2 ^I

^I

. . 1 . . . ^I

^I

. . . 1 . . ^I

⁷

. . . . 1 . ^I

.

.

.

.

1

^p k 1

^{I 2} k 2 ^I

.

^{I I}

^{I I}

.

^{I I}

^{I I}

.

^{I I}

^{6 7}

² k k

2 k k 6

^% 1 p 1 p 2 ......... p k 1 ^%

^%

^%

^%

^%

^{% p} 1 ^{1 p} 1^{......... p} k 2 ^%

^%

^%

^% ..................... ^%

^%

^%

^{% p} k 1 ^p k 2 ^{............p} k ^%

^%

^%

^% 1 p 1 p 2 ......... p k 1 ^%

^%

^%

^{% p} 1 ^{1 p} 1^{......... p} k 2 ^%

^%

^%

^%

^%

^% ..................... ^%

Avec

^{% p} k 1 ^p

k 2 ^{.............1 %}

^%

^% 1 p 1 p 2 ......... p k 1

^%

^{% p} 1 ^{1 p} 1^{......... p} k 2

^%

^% .....................

^%

^%

^%

^%

^% 6 0

^%

^%

^%

^{% p} k 1 ^p

k 2 ^{.............1 %}

On peut donc lire líordre ] díun modele autoregréssif sur le corrélogramme 2 des autocorré- lations partielles, ce dernier síannule ‡ líordre ] ) 1

Ainsi, si la fonction díautocorrélation partielle díune série est calculée et si elle parait tronquée, on peut modéliser la série par un modele autoregréssif.

Fonction díautocorrelation partielle , & (; )

AÖn de calculer les autocorrélations partielles díun modele @ 4, nous utilisons líalgorithme

de Durbin. Contrairement au modele 4R(]), la fonction díautocorrélation díun modele @ 4

nía pas díexpression explicite.

Xt 6 t t & t t 1

avec t t est un bruit blanc et 5 & 5 0 1. La fonction díautocovariance de ce processus est :

7 $ 6 E(XtXt) 6 E 8 (t t & t t 1) (t t & t t 1)] 6 ⁽1 ) & ²

2

2

) ( , h 6 0 ,

⁷ 1 ^{6 E(X}t^Xt 1^{) 6 E 8 (t} t ^{& t} t 1^{) (t} t 1 ^{& t} t 2 ^{)] 6 & )} ( ^{, h 6 1,}

⁷ h ^{6 E(X}t^Xt h^{) 6 E 8 (t} t ^{& t} t 1^{) (t} t 1 ^{& t} t h 1^{)] 6 0 , h % 2,}

On en déduit la fonction díautocorrélation

²

⁵)

p h 6

⁵³

1, h 6 0

&

1 ) & ^{2 h 6 1,}

^{0 , h > 2}

Les autocorrélations partielles sont donc données récursivement par líalgorithme de Durbin.

Nous avons :

²

^{I 2} 11 ^{6 p} 1 ⁶

^I

9

2

1 ) 9 ^{2 ,}

2 22

p 2 2 11p 1 p 1

6 6 2

^{1 2} 11^p 1

I

1 p 1

I p 3 2 2 1p 2 2 22 p 1

2 22 p 1

² 33 ⁶

1 2 2 1p 1

6

² 22 ^p 2

1 2 22 p 1

Comme nous avons :

2 2 1 6 2 11 2 22 2 11(1 2 22 ) 6

^{p 1} ,

1

^{1 p 2}

Nous déduisons la valeur de líautocorrélation partielle 2 33

p 3

² 33 ⁶

1

1

1 p ²

Nous pourrons par la suite poursuivre les calculs pour déterminer les autocorrélations par- tielles díordre supérieur, en exprimant les autocorrélations en fonction de 9 pour obtenir une

suite récurrente on a :

2 22 6

^{p 2}

1

1

1 p ²

9 ²

et p 1 6

9

1 ) 9 ²

² 33 ⁶

1 ) 9 ² ) 9 ⁴

On remarque que

*

(1 ) 9 2 ) 9 4 ) 6 ^{1 9}

donc 2 22 6

1 9 ²

9 ² (1 9 ² )

1 9 ^*

En raisonnant de la même maniere pour 2 33 on trouve

9 ³ (1 9 ² )

² 33 ⁶

1 9 ^,

La formule de récurrence pour les autocorrélations partielles díun modele @ 4(q ) est alors

donnée par :

2 k k 6

9 ^k (1 9 ² )

1 9 2 ! k # 1)

3.9.6 Series non stationnaires

Les chroniques économiques sont rarement des réalisations de processus aléatoires sta- tionnaires. La non stationnarité des processus peut concerner aussi bien le moment du pre- mier ordre (espérance mathématique) que celui du second ordre (variance et covariance du processus). Celle-ci peut être repérée graphiquement (tendance, cycle long, saisonnalité ex- plosive, modiÖcation de structure...) ou encore au moyen de la fonction díautocorrélation (fonction díautocorrélation lentement décroissante). Mais la plupart des résultats et des mé- thodes utilisées dans líanalyse des séries temporelles repose sur la notion de stationnarité

du second ordre, ce qui nous mene ‡ appliquer ‡ la chronique non stationnaire certaines

transformations(di§érence ordinaire, di§érence saisonniere, la formule de Box-Cox...). Parmi

les processus aléatoires non stationnaires, on peut distinguer deux grandes classes, ‡ savoir

les processus T F et les processus 7F.

DeÖnition et description des processus 1 0 et ( 0

DeÖnition

Un processus 1 0 (trend stationnary) represente une non stationnarite de type deterministe, il síecrit sous la forme Xt 6 S t ) t t ocents S t est une fonction polyno- miale qui depend du temps, lineaire ou non lineaire, et t t est un processus de

type & / , & .

Le processus T F le plus simple est représenté par une fonction polynomiale de degré 1. Le processus síécrit :

Xt 6 a$ ) a1t ) t t

Si t t est un bruit blanc, les caractéristique de ce processus sont alors :

2

^{) E8 X}t^{] 6 a}$ ^{) a}1^{t ) E8 t} t^{] 6 a}1^{t ) a}$

#

^{I a_8 X}t^{] 6 0 ) I a_8 t} t^{] 6 ) 2}

^{3 O ov (X}t^{, X}t ^{) 6 0 pour t 6 t#}

Nous constatons que le processus T F est caractérisé par une espérance mathématique ‡ ten-

dance déterministe, une variance constante au cours du temps et par des covariances nulles, dans un tel modele la réalisation des prévisions níest pas une tche facile.

DeÖnition

Les processus ( 0 (di§erncy stationnary) sont des processus non stationnaires

aleatoires quíon peut rendre stationnaire par líutilisation díun Öltre aux di§e- rences : (1 B)^> Xt 6 B ) t t5 oü t t est un processus bruit blanc, B est une constante reelle, et Q est líordre du Öltre aux di§erences.

Ces processus sont souvent représentés en utilisant le Öltre aux di§érences premieres (Q 6 1)

le processus est dit alors du 1^?I ordre il síécrit :

(1 B)Xt 6 B ) t t

Un processus 7F síécrit sous la forme suivante :

Xt 6 p Xt 1 ) ) t t oü t t est un processus stationnaire. Nous pouvons écrire ce processus sous une autre forme :

^Xt ^{6 p 2 X}t 2 ^{) p ) p t} t 1

^{) ) t} t^,

Xt 6 p ³ Xt 3 ) p ² ) p ² t t 2

Par récurrence on obtient :

) p ) p t t 1

) ) t t.

Xt 6 p r Xt r ) ^{z r 1} p 3 ) ^{z r 1} p 3 t t 3

3 l 0

3 l 0

Nous supposons que 5 p 5 6 1 et que * 6 t nous aurons donc

3 l 1

^Xt ^{6 X}0 ^{) t ) z t t} 3

^{oü X}0 ^{désigne le premier terme de la série X}t^.

Passons maintenant ‡ líétude des caractéristiques de ce processus

3 l 1

a) E (Xt) 6 E ^& X0 ) t ) ^{z t}

t 3 ^' 6 E(X0 ) ) t ,

b ) I (Xt) 6 E (Xt E (Xt))²

0

6 E ^{& z}

1

2

t

3 l 1

t 3 '

^, t

^{6 E z t} i

i l 1

t ^-

^{z t} 3 ^,

3 l 1

t

6 E ^{I z}

t

t 2 ) ^z

t

^z t i t 3 ^I

t

6 ^z E (t 2 ) ) 0 6 t) 2 ,

⁶ i l 1 ⁱ

i l 1 3 l 1

i l 3

⁷ i l 1 ^{i (}

^{P ) O ov (X}t^{, X}s^{) 6 E 8 (X}t ^{E (X}t^{)) E (X}s ^{E (X}s^{))] ,}

^{. (} t

^{6 E z t} 3

i l 1

^{) ,} t ^{- /}

^{z t} 3 ^,

3 l 1

(

6 @ i[ (t, ` ) ) ²

V t 6 `

Nous constatons que le processus 7F est caractérisé non seulement par une non station-

narité de type déterministe, provenant du fait que son espérance est une fonction évolutive

dans le temps, mais aussi par une non stationnarité de nature stochastique par le biais des perturbations dont la variance est une fonction acents ne du temps dont le coecents cient est la variance du processus bruit blanc ; de ce fait nous pouvons conclure que dans ce type de pro- cessus, chaque perturbation aléatoire est persistante et possede un e§et durable et cumulatif

sur le comportement de la série.

Connaissant les di§érences qui existent entre les processus T F et 7F, nous concluons que la distinction entre ces deux types de processus est díune grande importance, puisque si líon est en présence díun processus T F et que líon traite comme un processus 7F, et vice versa, on aboutie ‡ une mauvaise stationnarisation.

3.9.7 Test de Dickey-Fuller

Test de Dickey-Fuller simple (DF)

Les modeles suivant de base ‡ la construction de ces tests sont au nombre de trois, et dans ce qui suit t t est un processus bruit blanc

8 1] : Modele sans constante ni tendance déterministe

Xt 6 p Xt 1 ) t t

8 2] : Modele avec constante et sans tendance déterministe

Xt 6 c ) p Xt 1 ) t t

8 3 ] : Modele avec constante et avec tendance déterministe

Xt 6 c ) b t ) p Xt 1 ) t t

On teste líhypothese nulle ;0 de présence de racine unitaire (Xt est intégré díordre 1,< (1), donc non stationnaire) contre líhypothese alternative ;1 en líabsence de racine unitaire (Xt

est intégré díordre 0 , cíest ‡ dire que Xt est stationnaire). Líhypothese du test comme suit 4

^* ;0 4 p 6 1

^;1 ^{4 5 p 5 0 1}

En síinspirant du modele 1.

Xt 6 p Xt 1 ) t t ...(1)

retranchons Xt 1de chaque coté de líéquation (1)

Xt Xt 1 6 p Xt 1 Xt 1 ) t t

Xt 6 (p 1)Xt 1 ) t t

En pratique et en posant b 6 (p 1) on estime les modéles suivants :

modéle8 .] :

Xt 6 b Xt 1 ) t t

modéle8 / ] :

Xt 6 c ) b Xt 1 ) t t

modéle8 6] :

Xt 6 c ) b t ) b Xt 1 ) t t

Ce qui revient ‡ dire que le test de racine unitaire repose sur le test de líhypothése nulle

b 6 0 (non stationnaire) contre líhypothése alternative 5 b 5 6 0 (stationnaire), et donc le systéme díhypothése devient :

^* ;0 4 b 6 0

^;1 ^{4 5 b 5 6 0}

Principe des Tests de Dickey-Fuller

Sous líhypothése ;0 , le processus Xt níest pas stationnaire quelque soit le modéle retenu. Les régles habituelles de líinférence statistique ne peuvent donc pas être appliquées pour tester cette hypothése, en particulier la distribution de Student du paramétre p . Dickey et Fuller

ont étudiés la distribution asymptotique de líestimateur du paramétre p sous líhypothése ;0

‡ líaide des simulations de Monte-Carlo, ils ont tabulé les valeurs critiques pour des échan- tillons de tailles di§érentes.

Soit la t-statistique notée (t'b

^{critique t}t; < L D ? ^:

) tel que t'b 6

bç

)

^{ç 'b}

1

^{, on compare alors la t}'^b

avec la valeur

ó Si t'b

^{% t}t; < L D ?

alors on accepte líhypothése ;0 , il existe une racine unitaire.

ó Sinon on rejette líhypothése ;0

Remarque

ó 1 Ces tests révélent líexistence díune racine unitaire mais restent insucents sants pour

discriminer entre les processus T F et 7F, cíest ainsi quíon adopte un algorithme

en trois étapes.

ó 2 On dit que la tendance est signiÖcativement di§érente de 0 ssi t'b

^{% t}t; < L D ?

alors

la tendance existe sinon elle est dite non signiÖcativement di§érente de 0 .

ó 3 On dit que la constante est non signiÖcativement di§érente de 0 :

ssi sa t-statistique 0 valeur critique sinon elle est dite signiÖcativement di§érente

de 0.

Enonce de líalgorithme

Etape (1) : dans cette étape on estime le modéle 8 3 ] , et on teste la signiÖcativité de la tendance.

ó Si la tendance níest pas signiÖcativement di§érente de 0 , aller ‡ líétape (2).

ó Sinon (la tendance est signiÖcativement di§érente de 0 ) on teste líhypothése nulle

^{;0 (on compare t}'^b

avec les valeurs critiques de 7F )

ó Si ;0 est acceptée, Xt est non stationnaire donc de type 7F, on di§érencie Xt et on recommence les tests précités sur la série aux di§érences premiéres.

ó Sinon (;0 rejetée), Xt est stationnaire donc de type T F ; on peut directement analyser cette série.

Etape(2) : cette étape níest e§ectuée que si la tendance níest pas signiÖcativement

di§érente de 0 , on estime le modéle8 2] (avec constante et sans tendance).

ó Si la constante níest pas signiÖcative, aller ‡ líétape 3

ó Sinon (la constante est signiÖcative) on teste líhypothése ;0 .

ó Si ;0 est acceptée, Xt est non stationnaire on di§érencie Xt et on recommence.

ó Sinon (;0 rejetée), Xt est stationnaire.

Etape(3) : cette étape níest e§ectuée que si la constante níexiste pas, on estime dans ce cas le modéle[1] et on teste ;0

^{ó Si ;}0 ^{est acceptée, X}t ^{est non stationnaire on doit la di§érencie.}

ó Sinon, Xt est stationnaire, dans ce cas on analyse la série.

3.9.8 Test de Dickey-Fuller augmente

Transformation des modËles de base

Dans les modéles précédents, utilisés par les Tests de Dickey-Fuller simple, le processus t t est par hypothése un bruit blanc. Or il níy a aucune raison pour que ‡ priori, líerreur soit non corrélée ; on appelle tests de Dickey-Fuller augmentés (47F , 192 1) la prise en compte de

cette hypothése. Les tests 47F síe§ectuent exactement comme les tests 7F sur les modéles suivants :

modéle 8 .] :

Xt 6 b Xt 1 )

modéle 8 / ] :

p

^z

j l 1

b j - Xt j ) t t

Xt 6 b Xt 1 )

modéle 8 6] :

p

^z

j l 1

b j - Xt j ) t t ) C

Xt 6 b Xt 1 )

p

^z

j l 1

b j - Xt j ) t t ) C ) b t

On pratique nous allons utiliser les tests de 47F

Remarques

ó 1 Avant díappliquer le test 47F il faut préciser líordre de décalage ] en utilisant le critére díAkaÔke.

ó 2 Les principaux logiciels díanalyse de séries temporelles calculent automatiquement

les valeurs critiques ‡ líinstar de EVIEWS 4.0.

3.9.9 Analyse de la saisonnalite

Une série chronologique saisonniére est une série dont les données relatives ‡ une même période (la période est plus courte quíune année) de di§érentes années ont tendance ‡ se situer

de faÁon analogue par rapport ‡ la moyenne annuelle. Elle peut se relier ‡ des observations trimestrielles et mensuelles aussi bien que díheure en heure ou aux observations quotidiennes.

Il est possible de détecter cette saisonnalité par un examen graphique de la série, qui se

manifeste par la répétition díun certain phénoméne dans chaque période. Ou par un examen fait sur le corrélogramme de la série étudiée, qui laisse apparaÓtre des pics trés marqués aux retards 1, S, 2S, ....

On en déduit une saisonnalité de périodicité S (S 6 3 , 6, 12, ..).

3.9.10 Test de Fisher sur la saisonnalite

On a recours ‡ ce test pour détecter líexistence díune éventuelle saisonnalité dans une série ‡ partir de líanalyse de la variance, soit :

N 4 Le nombre díannées.

P 4 Le nombre díobservations dans líannée (périodicité), pour des données mensuelles P 6 12,

trimestrielles P 6 ..

La procédure du test est comme suit :

^{Calcul de la somme des carrees : S}T

4 6

ST 6 ^{< <}

^(c i a ^{c )2}

Avec :

i l 1 a l 1

c i a 4 est la valeur de la série pour la i^{? E ?} année et la j ^{? E ?} période.

c 4 est la moyenne générale de la série sur les N ! P observations.

4

c 6 ^{1 z}

6

^z c i a

N ! P

6

^{Calcul de la somme des carres annuels : S}A

i l 1 a l 1

4

SA 6 P ^z

(c i c )² avec c i 6

1

^<

c i a est la moyenne de líannée i

i l 1

P

^{a l 1}

^{Calcul de la somme des carres periodiques : 0} 6

S6 6 N

6

^<

a l 1

(c a c )² avec c a 6

4

^{1 <} c

N ^{i a}

^{i l 1}

est la moyenne de la période j .

^{Calcul de la somme des carres residuels : S}R

SR 6

4

^<

i l 1

6

^< (c i a c i c a ) c )²

a l 1

Calcul des variances :

SA

^{Variance de líannée : I 4RA 6} N 1

S6

^{Variance de la période : I 4R6 6} P 1

SR

^{Variance des résidus : I 4R}R ⁶

(P 1)(N 1)

ST

^{Variance totale : I 4R}T ⁶

N (P 1)

Le test de saisonnalité est construit ‡ partir des hypothéses suivantes :

^* H0 : Pas de saisonnalité

^Hi ^{: Il existe une saisonnalité}

On a : F . 6

^{I 4R}6

I 4R

R

Si F . > F ^a (P 1, (N 1) x (P 1)), alors on accepte líhypothése Hi selon laquelle la série

est a§ectée díune saisonnalité

Le test de tendance est construit ‡ partir des hypothéses suivantes :

^* H0 : Pas de tendance

^Hi ^{: Il existe une tendance}

^{On a : F} . ⁶

^{I 4R}A

I 4R

R

Si F . > F ^a (P 1, (N 1) x (P 1)), alors on accepte líhypothése Hi selon laquelle la série

est a§ectée díune tendance.

Desaisonnalisation

Pour exprimer ce quíaurait été líináuence de la série sans líináuence saisonniére, on utilise

la série corrigée des variations saisonniéres X

Dans le modéle additif : Xt 6 Xt St

Si : Coecents cient saisonnier brut pour chaque saison j (Si 6 moyenne des di§érences de la saison j ). Si 6 Si Si : coecents cient saisonnier

Dans le modéle multiplicatif : Xt 6 Xt/ St

Si : Coecents cient saisonnier brut pour chaque saison j (Si 6 moyenne des rapport de la saison j )..........Si 6 Si / Si : coecents cient saisonnier.

3.9.11 Extension des modËles 4R@ 4

Líhypothése de stationnarité, présente-sous certaines conditions dans les modéles 4R@ 4, níest que rarement vériÖée pour les séries économiques ; Elles comportent également une ten- dance, une saisonnalité ou même une structure plus complexe. Par conséquent, líintérêt des modéles 4R@ 4 semble assez limité.

ModËles autoregressif moyenne mobile integre díordre (: , 6 , ; ) : & / * , & (: , 6 , ; )

Un processus Xt est un modéle 4R< @ 4(], Q , q ) síil vériÖe une équation de type :

# (B)(1 B)^> Xt 6 ! (B)t t pour tout t % 0

^* # (B) 6 1 b iB b 2 B2 .... b 6 B6 oü b 6 6 0

oü

^{! (B) 6 1 9} i^{B 9} 2 ^{B2 .... 9} q ^{Bq oü 9 q 6 0}

Sont des polynOmes dont les racines sont de module supérieurs ‡ 1 et aucune des racines de

# (B) níest égale ‡ une racine de ! (B).

Les coecents cients réels b i , i 6 1, ..., ] et 9 i j 6 1, ..., q , sont Öxés et 3 t t4 est un bruit blanc.

La famille 4R< @ 4 désigne parfois la classe de tous les modéles, stationnaires et non sta- tionnaires, en convenant que les 4R< @ 4 (], 0 , q ) sont les 4R@ 4(], q ).

Propriete : Soit Xt un modéle 4R< @ 4(], Q , q ) alors le processus(8 ^> Xt) converge vers un modéle 4R@ 4(], q ) stationnaire.

ModËles & / * , & saisonnier, 0 & / * , &

Une classe plus générale de modéles est constitué par les S4R< @ 4 qui permettent de rendre compte des phénoménes périodiques et de non stationnarité.

On dit quíun processus Xt suit un modéle S4R< @ 4(], Q , q ) x (P, 7, D )9 si :

9

V t, # p (B)# 6 *9 (B⁹ )8 ^> 8 ^/ Xt 6 ! q (B)! 7 *9 (B⁹ )t t,

Oü S est la période de la saisonnalité, 8 ^> est líopérateur de di§érence ordinaire

9

de degrés Q , 8 ^/

est líopérateur de di§érence saisonniére de degrés 7 ;

^# p ^{(B) est un polynOme de degré ] en B, appelé polynOme autoregressif ordinaire ;}

! q (B) est un polynôme de degré q en B, appelé polynôme moyenne mobile ordinaire ;

# P ,S (B^S ) 6 1 b 1,S B^S b 2 ,S B^{2 S} .... b P ,S B^{P S} est appelé polynôme autoregressif saisonnier ;

! Q ,S (B^S ) 6 1 ) & 1,S B^S & 2 ,S B^{2 S} .... & Q ,S B^{Q S} est appelé polynôme moyenne mobile saisonnier ;

S

Xt est déÖni aussi comme un modéle S4R< @ 4(], Q , q ) x (P, 7, D )S díordre S si 8 ^> 8 ^/ Xt

est un modéle S4R@ 4(], q ) x (P, D )S . En pratique Q 6 0 , 1, 2 et 7 6 0 , 1.

ModËles & / , & saisonnier, 0 & / , &

Un processus Xt satisfait une représentation 4R@ 4 saisonniére (ou S4R@ 4), notée 4R@ 4S ,S (], q ), si :

p

^<

i l 0

b i S Xt i S 6

q

^<

i l 0

b i S t t i S ( ) #

p ,S

(B^S )8

/

S Xt 6 !

q ,S

(B^S

)t t

(

^{Avec V j 0 ], b} i ^{E R, V j 0 q , &} i ^{E R, b} 0 ^{6 &} 0 ^{6 1 et (b} P ^{, &} q ^{) E R, , t} t ^{est iid (0 ,) 2 ) et oü}

` désigne la période de la saisonnalité de la composante 4R et ` désigne la période de la saisonnalité de la composante @ 4 ; ] et q indiquent líordre respectif des deux modéles 4R

et @ 4 combinés.

3.9.12 Transformation des donnees

Diverses transformations peuvent être apportées aux données avant toute modélisation, aÖn de prendre en compte des tendances exponentielles, des ruptures, des points aberrants,

des phénoménes saisonniers. Ainsi pour certaines séries, on ne pourra pas atteindre la sta- tionnarité en appliquant juste líopérateur de di§érence.

Parmi ces transformations nous avons les données transformées par fonction puissance :

8 (Xt)^% ) a] / b , a E R, b E R, A E R .

La classe de transformation la plus répandue en économétrie, est celle de Box-Cox dans un trés célébre article, correspond a cette famille, avec a 6 1 et b 6 A

X %

B(Xt, A ) 6

^* t ¹

A

quand A 6 0

oü Xt doit être positif 0 < A < 1

^{? B= (X}t^{) quand A 6 0}

Une des raisons de la popularité de la transformée de Box-Cox est quíelle incorpore a la

fois la possibilité díaucune transformation (quand A 6 1) et la possibilité díune transforma-

X %

tion logarithmique quand (A 6 0 ; Lim

^{t 1} 6 Log (X )).

t

^{% " 0} A

En générale, on choisit le logarithme des valeurs pour atténuer une croissance exponen- tielle ou amoindrir le phénoméne de saisonnalité.