Chapitre 8
Conclusion generale
Ces dernières décennies, une place importante a
été consacrée au gaz en raison de ses
caractéristiques économiques et écologiques.
En e§et, le gaz naturel représente une des sources
díénergie la plus utilisée dans le monde, voir la plus
prometteuse puisquíelle bénéfcie avec la montée des
préoccupations environne- mentales díune considération
importante. LíAlgérie est un pays producteur et exportateur de
cette énergie, il a été donc primordial pour la SONELGAZ
díanalyser líévolution temporelle
de la consommation nationale du gaz naturel dans ces
di§érents aspects afn de comprendre
le mécanisme qui gère cette consommation et de
tirer par la suite des informations et des conclusions utiles a la phase de
prise des décisions liées aux di§érents projets et
plus préci- sément le projet nommé programme national du
gaz (PNG).
Notre étude a porter donc sur líanalyse des
séries chronologiques représentant líévolution
de la consommation mensuelle du gaz naturel pour les
distributeurs publics, les centrales électriques et de
líindustrie. Líanalyse permet de construire un modèle
mathématique qui explique le phénomène de
líévolution de la consommation.
A travers cette étude, nous avons proposé dans un
premier temps díétudier individuellement
les séries représentant la consommation publique,
la consommation industrielle et celle des producteurs
díélectricité.
Chaque série a été étudiée
séparément, négligeant líe§et des autres
séries suivant la métho- dologie de Box & Jenkins qui permet
en plusieurs étapes de trouver un modèle susceptible
de représenter la série chronologique.
Líétude de la série représentant la
consommation publique a révélé la présence
díune sai-
133
sonnalité due aux rythmes des saisons, après
désaisonnalisation et di§érentiation, la série
obtenue était stationnaire, líanalyse du corrélogramme de
la série a permis díidentifer plu- sieurs modèles
candidats quíon a estimé et parmi lesquels nous avons choisi le
meilleur, le modèle spécifé est de type 8ARM A(p, Q , q )
x (P, D, Q ).
Après estimation des paramètres, les tests relatifs
a líétape de validation nous ont permis
de vérifer líadéquation de ce modèle
aux données dont nous disposons. Une fois le modèle choisi,
estimé et validé, nous avons calculé les prévisions
pour un horizon de 12 mois.
De la même manière nous avons
étudié la série représentant la consommation des
centrales électriques oü líobservation du graphe
représentant cette série et le corrélogramme
associé nous a incité a e§ectuer le test de Fisher relative
a líétude de la saisonnalité puisque que celle ci
était caractérisée par un mouvement saisonnier
apparent, tout comme la série de consommation publique une
désaisonnalisation a été entreprise pour donné lieu
a une série stationnaire, le modèle qui a
généré cette série est de type 8ARI M A(p, 0 , q
) x (P, D, Q ) grce auquel on a pu faire des prévisions pour un un
horizon díune année.
Le même cheminement a été suivi pour
líétude de la série associée a la consommation
in-
dustrielle oü celle ci a subit une transformation
logarithmique pour atténuer les pics et les creux qui
caractérisent cette série, la série est ainsi devenu
stationnaire, le modèle retenu est
de type ARM A(p, q ) qui a été exploité
pour e§ectuer des prévisions pour líannée 20 05 .
Cependant la méthodologie de Box & Jenkins ne prend pas en compte
líinterdépendance
des séries, pour cette raison nous avons proposé
par la suite une approche multivariée pour
paraÓtre aux insucents sances de líapproche
univarié.
Etant donné quía líissue de la
méthodologie de Box & Jennkins les séries sont rendues sta-
tionnaires, líapplication de la modélisation I AR(p) a la base de
ces séries est possible, en utilisant les critères
díinformations díAkaike et le maximum de vraisemblance nous
obtenons
un ordre de décallage p 6 14, a líinstar de la
méthode précédente, le modèle I AR(14) subira
líépreuve des tests pour quíil soit par la
suite validé afn díêtre exploité pour les
prévisions. Néanmoins líordre du décallage p 6 14
retenu est important, ce qui níest pas pour diminuer
le nombre de paramètres a estimer qui avoisine 13 2
paramètres, nous aurons pu diminuer líordre du décallage
en introduisant une composante moyenne mobile mais le logiciel EVIWS
ne traite pas les modèles I ARM A.
Nous achevons notre étude par une comparaison entre les
deux méthodes a la base du cri-
tère RM 8E qui permet de conclure que
líapproche multivarié nous a permis díaméliorer les
prévisions pour les séries de consommation industrielle et celles
des centrales électriques par rapport a la méthodologie de Box
& Jenkins et díacents rmer que cette dernière donne de bons
résultats pour la consommation publique.
Toutefois une étude explicative sur la consommation du gaz
naturel est très importante et par conséquent, trouvera un
intérêt particulier dans cette étude, on peut citer a titre
díexemple
les facteurs météorologiques qui ináuent sur
les consommations industrielle, publique et les producteurs
díélectricité.
Première partie
ANNEXE[A]
137
8.1 Methodes díestimation
8.1.1 Methodes des moindres carrees ordinaires (M O O )
E§ectuer une estimation au sens des moindres carrées,
cíest choisir dans une famille de
modèles théoriques celui pour lequel la moyenne des
carrés des écarts entre les données et le modèle
est minimale.
La méthode des moindres carrés ordinaires (M O O )
est sans doute la plus commune parmi
les di§érentes techniques qui permettent
díestimer les paramètres b i de líéquation
suivante :
Y t 6 b 0 ) b 1Xt1 ) ....... ) b 1Xtp ) L t; t 6 1,
..., n (1)
Oü Y t variable quantitative a expliquer (variable
exogène ou indépendante) ; Xt1,....., Xtp
sont p variables quantitatives explicatives
(variables endogènes ou indépendantes) ; b i
paramètre du modèle (1), i 6 1, ..., p; L t : erreurs. Sous
forme matricielle, le modèle (1) síécrit :Y 6 X b ) L
;
Avec X une matrice (n x (p ) 1)) de terme
général Y t et les vecteurs L 6 (L 1, L 2 , ...., L p )
et
b 6 (b 1, b 2 , .., b p ) .
On suppose que les L t sont des termes díerreurs
díune variable L indépendantes et identique- ment
distribuées ;
8
E(L t) 6 0 ; I AR(LL 1 ) 6 a 2 I oü
I est la matrice identité de dimension n x n
Estimation des coecents cients :
La méthode des moindres carrés consiste a choisir b
de telle faÁon a minimiser la somme des
carrés des résidus :
m in
*
88R(b ) 6
n
z
tl 1
+
2
(Y t b 0 tb 1Xt1 ..... Xtp )
6 m > A
<
2
6 Y X b 6
6 m > A (LL 1 ) 6 # (Y X b ) (Y X b
)$
<
Par dérivation matricielle (par rapport a b ) de la
dérnière équation on obtient les Héquations
normalesH : X Y X X b 6 0 , dont la solution correspond bien a un minimum car
la matrice hessienne 2X X est défnie positive. Alors líestimation
des paramètres b i est donnée par :
Xb 6 (X X )t1X Y .
Theorème :
Si le modèle est identiÖe, líestimateur des ,
' - existe et il est unique : Xb 6 (3 3 )t13
Y.
Proprietes :
Les estimateurs des M O O b 0 , b 1, .., b p sont des
estimateurs sans biais : E(Xb ) 6 b
La somme des carrés des résidus permet
díestimer la variance et líécart-type de
líaléa et des estimateurs des coecents cients.
Les estimateurs des M O O des coecents cients suivent une loi
normale et permettent les tests
de signifcativité de Student, ainsi que le test de Fisher
díhypothèses linéaires
8.1.2 Methode de maximum de vraisemblance (EM I )
Líestimation du maximum de vraisemblance sur la
notion de vraisemblance díun en- semble donné
díobservations relatives au modèle.
Plus spécifquement, la technique consiste a
construire une fonction appelée fonction
de vraisemblance (construite a partir de la fonction de
densité) et la maximiser par rap- port aux paramètres inconus,
permetant de la valeur numérique la plus samblable pour ces
paramètres.
Désignons parX1.....Xn les observations succesives
e§ectuées sur un processus. Ces ob- servations sont
indépendantes et chaqueXt a une densité de
probabilité Lt(Xt, & ) connue analytiquement mais dont líun
des paramètres & est inconu.
La fonction de vraisemblance, qui est défnie comme la
fonction de densité conjointe des
n observations est calculée comme le produit des
fonctions de densité des observations indé- viduelles (car les
observations sont indépendantes) : L(X, & ) 6 Lt(Xt, & )
Dans la pratique on utilise la fonction de logvraisemblance Y(X,
& ) 6 l o g (L(X, & )) plutôt que la fonction de vraisemblance
(il est plus faÁile de maximiser une somme quíun produit).
X
On appel estimateur du maximum de vraisemblance toute solution
& au problème m : E Y(X, & ).
$
Ainsi un EM I peut se défnire comme une solution aux
équations de vraisemblance qui correspond précisément aux
conditions du premier ordre suivantes
8(& ) 6
gradient.
3 Y(X, & )
6
3 &
n
<
tl 1
3 Y(Xt, & )
3 &
6 0 avec
3 2 Y(X, & )
3 & 2
< 0 ,oü 8 E RK est le vecteur
Proprietes
La méthode de maximum de vraisemblance présente
díintéressantes propriétés díoptima-
lité. Sous des hypothèses relativement larges, habituellement
appelées condition de régularité
les EM V sont :
Consistants : cíest a dire quand la taille de
líéchantillon augmente, LíEM V tend en pro-
babilité vers la vrai valeur du paramètre. Díailleurs pour
une grande dimension de líéchan- tillon, líestimateur du
maximum de vraisemblance aura une distribution normale approxi- mativement
centrée et tend vers la vraie valeur du paramètre.
Ecents cace : signife que les EM V auront une variance
(asymptotique) plus petite que díautres estimateurs consistants.
Quand le modèle est spécifé, les
estimateurs du maximum de vraisemblance peuvent perdre certaine de leur
propriétés souhaitables. Cependant il a été
montré que sous les hypo- thèses de régularité, les
estimateurs du maximum de vraisemblance auront une probabilité limite
bien défnie et seront approximativement normalement
distribués.
8.1.3 Methode des moindres carres generalises (M O G )
Dans de nombreux cas, une hypothèse est
violée : Líhypothèse
díhomoscédasticité ou díindépendance des
perturbations. Cette violation se produit, généralement,
lorsquíil yía agrégation temporelle des données,
ou auto corrélation des résidus. La matrice de covariance
des résidus, níest plus égale a a 2
I , mais plus généralement a E(LL ) 6 a 2 2 ,
oü 2 étant une matrice semi défnie positive.
Líestimateur des M O G de est solution du
problème :
0
m > A { 8O RG ( ) 6 (Y X )1 2 t1(Y
X )}
La matrice hessienne de 8O RG ( ) est défnie-positive,
donc les conditions du premier ordre sont nécessaire est sucents santes
:
" S . R 0 p )
t1 1
1 t1 1 t1
" 6 0 ( ) X 1 2 0 (Y X )
6 0 ( ) X 2 0 X
6 X 1 2 0 Y
et nous obtenons ainsi, líestimateur de :
1 6 (X 1 2 t1X )t1X 1 2 t1
0 0 Y
Theorème
Si le modèle est identifé líestimateur des M
O G existe et est unique :
1 6 (X 1 2 t1X )t1X 1 2 t1
0 0 Y
Líestimateur des M O G est sans biais, on a :
E( 1 5 X ) 6 E((X 1 2 t1X )t1X 1 2 t1Y 5 X ) 6 (X 1 2 t1X
)t1X 1 2 t1E(Y 5 X )
0 0 0 0
6 (X 1 2 t1X )t1X 1 2 t1
de plus :
0 0 X 0 6 0 ,
E(L 1 5 X ) 6 E(Y Y 1 5 X ) 6 E(Y 5 X ) E(Y 1 5
X ) 6 X 0 X 0 6 0 .
Cíest donc un estimateur sans biais, a variance
minimale.
Deuxième partie
ANNEXE[B] Tableaux statistiques
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