Marchandage et partage d'objets

2.1.1 Notations

On adoptera dans la suite les notations suivantes : -- pour x, y E II8², on note :

x y lorsque x1 y1 et x2 y2

x « y lorsque x1 < y1 et x2 < y2

x < y lorsque x y et x y

xy E 1I8² le produit terme à terme de x et y

2.1.2 Théorie de l'utilité

Nous verrons par la suite que pour résoudre un jeu de marchandage, il est nécessaire de mesurer l'utilité que chacun des agents obtient à chaque issue possible du jeu. Ainsi, la théorie de l'utilité théorisée par John von Neumann et Oskar Morgenstern dans Theory of Games and Economic Behavior (1944) permet de modéliser les préférences d'un agent par une fonction d'utilité.

Soit C := {c1, ...cN} l'ensemble des issues pour N co, et L := (p1, ...,pN) une loterie quelconque, avec _øNi«1 pi = 1, où p_n représente la probabilité de la réalisation de l'issue c_n. Le choix présenté à un agent peut ainsi être représenté comme une liste de probabilités associées à chaque issue possible du jeu. On note L l'ensemble des loteries simples sur l'ensemble des issues C. On considère à présent la relation de préférence > sur les L, cette dernière doit vérifier les axiomes suivants :

1. Complétude :

VL,L^' E L, L L^' L

On peut toujours déterminer la préférence ou l'indifférence de l'individu entre deux loteries

2. Transitivité :

VL,L^',L^" E L, (L>L^'etL^'>L^") L > L"

Elle traduit l'ordre de préférence entre différentes loteries de manière cohérente.

3. Continuité : Pour les loteries L, L' et L», les ensembles

{á E [0,1], áL + (1 -- á)L^' > L^"} {á E [0, 1], áL + (1 -- á)L^' < L^"}

sont fermés.

Cet axiome traduit le fait que pour un changement très faible de probabilité, l'agent garde les mêmes préférences.

4. Indépendance :

VL,L^',L^" E L,á E]0,1[, L > L^' e=> áL^' + (1 -- á)L^"

Grâce à ces axiomes, il est possible de montrer l'existence d'une fonction d'utilité associée à la relation de préférence >. A fortiori, on pourra l'écrire comme une fonction d'utilité de type vNM.

6

Définition 1 (Fonction d'utilité vNM) La fonction d'utilité U : G ]8 a une forme

d'espérance d'utilité s'il existe un vecteur (u1, ...uN) tel que pour toute loterie simple L = (p1, ...,pN) E G on a : U(L) = ø^Ni«1 piui. Une fonction d'utilité respectant cette propriété est dite fonction d'utilité von Neumann-Morgenstern (vNM).

On peut à présent exposer le théorème de Von Neumann et Morgenstern :

Théorème 2.1 (von Neumann-Morgenstern) Supposons qu'une relation de préférence ¾ sur les loteries satisfassent les 4 axiomes précédents; alors ¾ peut être représentée par une fonction d'utilité de type vNM.

Ajoutons quelques propriétés cohérentes et utiles qui découlent de la construction d'une telle fonction :

u(L) > u(L^') H L L^'.

u(L) < u(L^') H L ã L^'.

u(L) = u(L^') H L L^'.

d 0 p 1, u[pL + (1 -- p)L^'] = pu(L) + (1 -- p)u(L^')

Remarque 1 Une fonction d'utilité représentant une relation de préférence ¾ ainsi définie n'est pas unique.