à‰tude numérique du feu généralisé avec sortie de flamme de diffusion en situation d'incendie.

2.7.3.3 Terme de convection

Le terme de la convection est une intégrale volumique contenant un terme sous l'opérateur divergence. Nous pouvons le discrétiser en utilisant le résultat de l'équation (2.50) . Cette linéarisation doit être faite en introduisant la valeur de la vitesse au pas de temps arrière :

ZVP ? · (pUçb)dV = Sf · (pU)fçbf = (2.52)

F çbf

f f

Le champ de flux surfacique peut être déterminé de plusieurs manières selon le cas. Pour une différentiation centrale de second ordre, il s'exprime par :

çb = fxçbP + (1 - f_x)çbN (2.53)

Dans le modèle sous maille par exemple, le terme de diffusion est discrétisé par l'utilisation de l'équation (2.52) comme suit :

ZVP ? · (p^-u^-u)dV = pSf ^-uf ^-uf

f

X f	(ñSf · -un+1 f ) · ^-u^n^+1 f
X= f		Fn · ^-u^n^+1(2.54) f

Où F est le flux à travers la surface f tel que Fⁿ = pSf · ^-uⁿ⁺¹

f . Ce flux utilisé pour résoudre la vitesse au nouveau pas de temps n + 1, est celui calculé à partir de la vitesse au pas de temps arrière n. La valeur de la vitesse à la face f est obtenue de l'équation (2.55) par similitude à l'équation (2.53) . L'hypothèse d'une linéarité entre les vitesses aux centres des cellules de part et d'autre de la face f est faite comme l'illustre la figure 2.5.

u^- = fx^-uP + (1 - f_x)^-uN (2.55)

Où f_x est le facteur d'interpolation linéaire défini comme le ratio entre les distances fN et PN tel que: f_x = P ^fN N .

Finalement l'équation (2.54) peut donc se réécrire en fonction de la vitesse au centre du

volume de contrôle, P , et de ses voisins N sous la forme linéaire par :

_X F^n-n+1· u f = acPuP + X acN ÛN (2.56)

f f

Rédigé par: MBAINGUEBEM Arnaud Mémoire de fin d'études

où les coefficients _acP ^et _acN sont des fonctions explicites de fiⁿ.

FIGURE 2.5 - Principe de l'interpolation linéaire pour le calcul de flux 2.7.3.4 Terme de diffusion

Le terme de la diffusion de l'équation (2.41) sera intégré et linéarisé en utilisant la forme de l'équation (2.50) de la façon suivante :

_Z Z X

VP ? · (Fö?ö)dV = s dS · (Fö?ö) = FfSf · (?ö)f (2.57)

f

Dans OpenFOAM, la discrétisation du gradient de face est implicite lorsque la longueur du

?-

vecteur d entre le centre P de la maille et le celui de sa voisine est orthogonale à la face

plane c'est-à-dire parallèle à Sf.

Sf · (?ö)f = |Sf|öN - öP (2.58)

|d|

Si nous considérons que nous sommes dans un modèle de sous maille ou à Reynolds moyen tel que exprimé par l'équation (2.51), le terme de la diffusion sera linéarisé en utilisant l'expression de l'équation (2.57) comme suit :

_f

J V · hueff (?u + ?uT ^/i dV = X(ueff)fSf · (?u)_f + ? · hueff(?an)1 ^J VP (2.59)

Vp f

2.7 Méthodes 48

Rédigé par: MBAINGUEBEM Arnaud Mémoire de fin d'études

où le gradient de vitesse à la face f , (Vu)_f , est calculé par l'équation (2.55). (Vuⁿ) au centre du volume de contrôle. Les insertions faites dans l'équation (2.59) permettent de réécrire le terme de diffusion sous la forme algébrique :

_Z [ ( _X

Vu + VuT )]

VP V ueff dV = adP uP + _adN uN + ad (2.60)

f

où adP, adN dépendent de caractéristiques géométriques du volume de contrôle et ad de la vitesse au pas de temps précédent uⁿ.