Chapitre 2
Formulation intégrale Méthodes des résidus
pondérés
Problème d'ingénierie
Hypothèse de
GALERKIN Ö=äu
Formules de Green
(Intégration par partie)
Equations aux dérivées partielles
Conditions aux limites
Formulation intégrale faible
Formulation
intégrale faible
avec
Formulation intégrale forte
Champs de
déplacements
Déformations
Interpolation
Déplacement-Déformations Loi de HOOKE
Vecteurs de localisation
Transformation du système de résolution
Matrice de rigidité et
vecteur force
globaux.
Système [??][????) = [F)
Maillage
Elément de référence Interpolation
Matrice de rigidité et
vecteur force
locaux
expansés
Matrice de rigidité et vecteur force
Déplacements et
réactions aux noeuds
Assemblage
Figure 2.1 : Organigramme descriptif de la démarche de
résolution MEF
Chapitre 2
2.1.2. Principe des éléments finis en
calcul des structures
Partant des hypothèses de petits déplacements et
petites déformations, la mécanique des solides déformable
a permis d'établir deux types d'équations régissant
l'équilibre d'un corps : les équations d'équilibre des
forces et la compatibilité des déplacements.
L'intégration de ces équations n'étant
pas aisée, l'une des méthodes les plus utilisées pour les
résoudre est celle dite des éléments finis
qui revient à remplacer le système continu
par un système discret.
Le solide est alors divisé en un certain nombre de
sous-domaines dont l'assemblage permet la
reconstitution de la géométrie initiale.
Le processus de division du solide en un ensemble de
sous-domaine s'appelle le maillage, on parle également
de discrétisation géométrique du
solide.
Chacun de ces sous-domaines porte le nom
d'éléments et ces éléments
sont dits finis parce qu'ils sont de forme
et de dimension connue. Ils sont reliés entre
eux par des noeuds dont les degrés de
liberté (DDL) constituent les inconnues du problème.
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Figure 2.2 : (a) - Solide (Poutre en I) ; (b) Modèle
éléments finis
Considérant un champ de déplacement
cinématiquement admissible sur l'élément, la
méthode consiste le plus souvent à approximer
celui-ci au moyen d'une fonction polynomiale formée d'un nombre
fini de paramètres et à l'exprimer en fonction des
déplacements nodaux (les
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Chapitre 2
déplacements associés aux degrés de
liberté), on aboutit à une approximation nodale
du champ de déplacement.
Les principales étapes de construction d'un
modèle éléments finis sont les suivantes [24]:
y' Discrétisation du milieu continu en
sous-domaines (maillage) ;
y' Construction de l'approximation nodale par
sous-
domaine (approximation par éléments
finis) ; y' Calcul des matrices élémentaires
correspondant à la forme
intégrale du problème ;
y' Assemblage des matrices
élémentaires - Prise en compte des conditions aux limites
;
y' Résolution du système
d'équations.
La résolution du problème nécessite alors
une profonde maitrise :
y' des règles de maillage ;
y' du principe de construction de l'approximation nodale ;
y' du processus de calcul des matrices élémentaires
;
y' et de la notion d'assemblage.
Nous expliciterons chacune de ses étapes dans la suite.
2.2. Discrétisation géométrique
(maillage) 2.2.1. Définition du maillage
Un maillage est la discrétisation
spatiale d'un milieu continu, ou aussi, une modélisation
géométrique d'un domaine par des éléments
proportionnés finis et bien définis. L'objet d'un maillage est de
procéder à une simplification d'un
système par un modèle représentant ce système et,
éventuellement, son environnement (le milieu), dans l'optique de
simulations de calculs ou de représentations graphiques.
On parle également dans le langage commun de
pavage du domaine. Un maillage est défini par [19] :
y' son repère ;
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