Chapitre 1
( ) ( )( )
En posant ( ) ( ) ( )
Nous avons :
Posons ( ) ( )( )
Prenons dans un premier temps, le premier membre de
l'égalité (1.20) :
?(( ) ( ) ( ) )
? ? ? (( ) ( ) ( ) )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
Le calcul de l'intégrale nous donne :
? ? ? (( ) ( ) ( ) )
? ? ? (( ( ) ) ( ( ) )
( ( )( )) )
Chapitre 1
? ? ? (( ) ( ) ( ) )
(
)
? ? ? (( ) ( ) ( ) )
( )
(
( ) ( )
( )
)
En posant :
( ( )
( ) ( )
( )
)
On a alors ? ? ? ( )
19 /176
En prenant le deuxième membre de
l'égalité (1.20), on a :
20 /176
Chapitre 1
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?, ( )-
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|
( )
|
|
?, ( )-
n
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( )
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L'intégration sur le domaine Ù nous donne
:
( ) ?, ( )-
( )
( ) ,( ) (
( ) ( )
)
-
( )
( ) ?, ( )-
( )
( ) , ( ) ( ( )
( ) ( )
) -
En posant :
, ( ( ) ( ) )
( )
( ) ( )
-
Nous avons :
( ) ?, ( )-
( )
21 /176
Chapitre 1
( )
1
En substituant chaque membre de la relation (1.20) par son
expression, nous pouvons écrire :
( ) ( )
La fonction de l'équation différentielle
peut alors s'écrire :
( ) ( )( )
( )
Avec :
( ( )
( ) ( )
( )
)
( ) ( )
,( ) ( )
( ) ( )
-
( ) ( ) ( )
Les composantes du vecteur déplacement
s'écrivent alors:
Chapitre 1
( )
+ ( ( )
)
( )
( ) ( ) ( ) + (
)
. ( ) /
22 /176
(1.24)
1.6.3.3. Détermination du tenseur des
déformations Le calcul du tenseur des déformations nous
donne :
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( ( ) )
( ) ( )
( )
( )
1.6.3.4. Détermination du tenseur des contraintes
Le calcul du tenseur des contraintes donne :
23 /176
Chapitre 1
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*
)(
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(
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|
)(
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)
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(
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(
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)
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(
|
)
|
)
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(
|
)(
|
(
|
|
)
|
(
|
|
|
(
|
)
+
|
)
|
|
)
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|
)
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(
(
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)
)
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)
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(
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|
*
*
)(
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|
(
|
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|
)(
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(
|
)(
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(
|
)
|
(
)+
|
|
(
|
(
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|
)
)
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(
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)
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)
(
|
)
)
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(
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(
|
)
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)(
|
)
|
)
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(
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)(
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(
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)
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(
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(
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)
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)
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(
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)
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(
)
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(
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)
( (
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)
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)+
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*(
*(
*(
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|
)
)
)
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(
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(
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+
)
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(
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)(
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)
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(
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(
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)
)
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)
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( (
)+
)+
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)
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)
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(
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)(
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)
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(
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(
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)
(
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(
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)(
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)
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(
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)
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(
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(
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)
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)
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Chapitre 1
1.6.3.5. Simulation du tenseur des
déformations
Afin de visualiser aisément la déformation du
domaine, fixons des valeurs pour certains paramètres entrant dans les
calculs.
, Y ,
Choisissons le point 01, ,nZ + Z) E
S\S1, tel que : n = 1, Nous avons alors :
Définissons comme matériau de la structure, un
béton ayant les caractéristiques suivantes :
Module de Young : E = 32000 MPa
Coefficient de Poisson : =0.
Module de cisaillement : G = 16300.00 MPa
Densité : p = 24.53 KN/m3
Pour la valeur z=15, l'état de déformation
se présente comme suit :
La courbe représentative de Exx à une
allure parabolique comme le montre la figure 1.5
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