Abstract
Abstract
In civil engineering, modeling makes it possible to understand
the variables that influence a structure designed to optimize technically and
conduct audits of stability, stiffness and strength.
This research work focuses on modeling techniques and
numerical simulation by finite element method. It is mainly divided into four
main parts.
The first part, which takes the place of generality, these
approximation methods in physics and discusses the practical construction of a
variational problem through the study of the deformation of a solid, described
by the Lame's equations by reformulating the Laplace and Poisson's equations.
With the consideration of the boundary conditions and the use of the GALERKIN
method, we solve the Lame's equations and determine the stress tensor and
deformation.
The second part deals with the construction of a finite
element model, we present the method of approximation by finite element mesh
and the principles of a domain. The concepts of geometrical transformation and
for reference simplify the construction of the interpolation function and
elementary stiffness matrices. We are also developing the assembly of the
elementary matrices to the technical resolution of the overall system of
equations.
The third part is a study of certain types of finite elements
and pays particular attention to the finite element tetrahedral 12 degrees of
freedom. We propose a system developed in FORTRAN to calculate the elementary
stiffness matrix program.
In the last part, we use the Autodesk Robot 2012 SAP software
for finite element model, the elements of a bridge deck; it is the bridge to be
built on the section 1: TOGO-Tchetti SAVALOU Frontier, PK 23 + 200. We perform
a numerical simulation on the apron, taken as a whole, and end up with a design
for each of its elements.
ix /176
Sommaire
Sommaire
Certification i
Dédicaces ii
Remerciements iii
Résumé vii
Abstract viii
Sommaire ix
Liste des figures xii
Liste des tableaux xviii
Liste des symboles et abréviations
xix
Avant-propos xxi
Introduction générale 1
Chapitre 1 : Méthodes d'approximations en
physiques 3
1.1. Modélisation et Simulation 4
1.2. Classification des systèmes physiques
4
1.3. Processus d'analyse d'un problème physique
5
1.4. Méthodes d'approximations 7
1.5. Définition d'un problème de
l'élasticité linéaire 8
1.6. Méthode de GALERKIN pour la
résolution des équations de Lamé 12
Chapitre 2 : Méthode des Eléments finis
28
2.1. Processus d'analyse par la méthode des
éléments finis 29
2.2. Discrétisation géométrique
(maillage) 32
2.3. Approximation nodale 39
2.4. Approximation par éléments finis
41
2.5. Définition de la géométrie
des éléments 43
x /176
Sommaire
2.6. Approximation sur un élément de
référence 49
2.7. Construction des fonctions d'interpolations et de
transformations
géométriques 53
2.8. Matrice élémentaire 59
2.9. Assemblage et conditions aux limites
60
Chapitre 3 : Etude de quelques exemples
d'éléments finis 62
3.1. Elément fini linéaire à deux
noeuds 63
3.2. Elément fini triangulaire plan à
trois noeuds 64
3.3. Elément fini tétraédrique
à quatre noeuds 66
Chapitre 4 : Modélisation et Simulation
numérique d'un tablier de pont 90
4.1. Matériels employés pour la
simulation 91
4.2. Présentation générale de
l'ouvrage 92
4.3. Caractéristiques du Tablier 94
4.4. Définition des charges et actions
appliquées à la structure 99
4.5. Définition du flux de travail
109
4.6. Définition de la structure 110
4.7. Construction du modèle
éléments finis (EF) 116
4.8. Introduction des conditions de fixations (Appuis)
118
4.9. Choix des normes et règlements à
utiliser 119
4.10. Définitions des charges 120
4.11. Lancement des calculs de la structure
128
4.12. Résultats de calcul 129
4.13. Définition des combinaisons d'actions
134
4.14. Exploitation des résultats
136
xi /176
Sommaire
Conclusion et perspectives 157
Références bibliographiques
158
Table des matières 162
Annexes 167
xii /176
Liste des figures
Liste des figures
Figure 1.1: Processus d'analyse utilisant un
modèle numérique 6
Figure 1.2: Vue synthétique des méthodes
d'approximation 8
Figure 1.3: Solide de domaine V soumis à des
chargements 10
Figure 1.4 : Représentation 3D du domaine Q
16
Figure 1.5 : Courbe de simulation de la composante
åxx du tenseur des
déformations 25
Figure 1.6 : Courbe de simulation de la composante
åyy du tenseur des
déformations 25
Figure 1.7 : Courbe de simulation de la composante
åzz du tenseur des
déformations 26
Figure 1.8 : Courbe de simulation de la composante
åxy du tenseur des
déformations 26
Figure 1.9 : Courbe de simulation de la composante
åyz du tenseur des
déformations 27
Figure 1.10: Courbe de simulation de la composante
åzx du tenseur des
déformations 27
Figure 2.1 : Organigramme descriptif de la
démarche de résolution MEF 30
Figure 2.2 : (a) - Solide (Poutre en I) ; (b)
Modèle éléments finis 31
Figure 2.3 : Maillage d'un pont de type Bow-string en
vue d'une simulation 33
Figure 2.4 : (a) maillage en 2D (poutre I) ; (b)
maillage en 3D (poutre I) 33
Figure 2.5 : (a) maillage raffiné (plaque) ;
(b) maillage grossier (plaque) 34
Figure 2.6 : Formes géométriques 1D
34
Figure 2.7 : Formes géométriques 2D
35
Figure 2.8 : Formes géométriques 3D
35
Figure 2.9 : Connexions inadéquates entre
éléments 36
xiii /176
Liste des figures
Figure 2.10 : Connexions adéquates entre
éléments 37
Figure 2.11 : Exemple de maillage à exclure
38
Figure 2.12 : Discrétisation
géométrique des frontières courbes 38
Figure 2.13 : Méthodes d'approximation
43
Figure 2.14 : Transformation d'un
élément de référence en élément
réel 44
Figure 2.15 : Transformation d'un même
élément de référence en tous les
éléments réels 45
Figure 2.16 : Exemple d'éléments de
référence à une dimension 47
Figure 2.17 : Exemple d'éléments de
référence à deux dimensions 47
Figure 2.18 : Exemple d'éléments de
référence à trois dimensions 48
Figure 3.1 : Elément de Poutre plan.
63
Figure 3.2 : Elément fini de poutre avec deux
degrés de liberté par noeuds. 63
Figure 3.3 : Elément fini de poutre avec trois
degrés de liberté par noeuds. 64
Figure 3.4 : Elément triangulaire plan à
trois noeuds. 65
Figure 3.5 : Elément triangulaire plan avec
deux degrés de liberté par noeuds.65
Figure 3.6 : Elément de référence
de forme tétraédrique. 66
Figure 3.7 : Capture d'écran
des données en Input du programme matrice_K 88 Figure 3.8 : Capture
d'écran des données en Output du programme matrice_K
89
Figure 4.1 : Vue aérienne du pont
93
Figure 4.2 : Trottoir équipé de
garde-corps 93
Figure 4.3 : Vue de dessus du tablier 94
Figure 4.4 : Vue de dessous du tablier 94
Figure 4.5. Vue en plan générale
96
Figure 4.6 : Coupe longitudinale axiale 97
xiv /176
Liste des figures
Figure 4.7 : Coupe transversale du tablier
98
Figure 4.8 : Convoi de charges du système Bc
103
Figure 4.9 : système Bc en vue transversale et
en plan 103
Figure 4.10 : Système Bt en vue transversale,
longitudinale et en plan 104
Figure 4.11 : Axes de construction créés
dans Autocad 110
Figure 4.12 : Importation des Axes de constructions
110
Figure 4.13 : - Boite de dialogue - Importation des
fichiers dwg/dxf 111
Figure 4.14 : Axes de constructions importés
dans Robot 111
Figure 4.15 : Définition des poutres et
entretoises 112
Figure 4.16 : - Boite de dialogue - Panneaux
112
Figure 4.17 : - Boite de dialogue - Paramètre
de ferraillage, Onglets Général et
Matériaux 113
Figure 4.18 : - Boite de dialogue - Paramètre
de ferraillage, Onglets Paramètre
ELS et Ferraillage 114
Figure 4.19 : - Boite de dialogue - Nouvelle
épaisseur 115
Figure 4.20: - Boite de dialogue - Modèle de
Calcul du panneau 115
Figure 4.21 : Définition de la structure du
Tablier dans Robot 116
Figure 4.22 : - Boite de dialogue - Options de
maillage 117
Figure 4.23 : - Boite de dialogue - Options de
maillage avancées 117
Figure 4.24 : Maillage du tablier 118
Figure 4.25 : - Boite de dialogue - Appuis
118
Figure 4.26 : Système d'appuis du tablier
119
Figure 4.27 : - Boite de dialogue -
Préférence de l'affaire, choix de la norme de
conception 120
Figure 4.28 : - Boite de dialogue - Cas de charge
121
xv /176
Liste des figures
Figure 4.29 : - Boite de dialogue - Charges roulantes
122
Figure 4.30 : - Boite de dialogue - Charges roulantes
123
Figure 4.31 : - Boite de dialogue - Polyligne-contour
124
Figure 4.32 : - Boite de dialogue - Paramètres
de la route 124
Figure 4.33 : Cas 3 - Q_trottoir : Charge
d'exploitation des trottoirs 125
Figure 4.34 : Cas 5 - A(L) : Surcharge A(L)
125
Figure 4.35 : Cas 6 - G_garde_corps : Poids propre
des Garde-corps 126
Figure 4.36 : Cas 7 - G Trottoir : Poids propre
des trottoirs 126
Figure 4.37 : Cas 8 - G_coucheR+etanch : Poids
propre Couche de roulement
& étanchéité
126
Figure 4.38 : Cas 9 - 2 File Bc Poutres : deux files
du convoi de camions Bc 127
Figure 4.39 : Cas 10 - 2 File Bc Dalle : deux files du
convoi de camions Bc 127
Figure 4.40 : Cas 11 - 2 File Bt Dalle : groupes de
deux essieux-tandems 127
Figure 4.41 : Cas 12 - 2 File Bc Dalle, deux files du
convoi de camions Bc 127
Figure 4.42 : - Boite de dialogue - Calcul
128
Figure 4.43 : Cartographie des contraintes
æyy relatives au système de charges
A (Travées 1, 2 et 3) 129
Figure 4.44 : Cartographie des contraintes
æyy relatives aux convois de charges
Bc (Travée 2) 129
Figure 4.45 : Cartographie des contraintes
æyy relatives aux convois de charges
Bc (Travée 3) 130
Figure 4.46 : Cartographie des contraintes
æyy relatives aux groupes d'essieux-
tandems (Travée 2) 130
Figure 4.47 : Cartographie des contraintes
æyy relatives aux groupes d'essieux-
tandems (Travée 3) 130
xvi /176
Liste des figures
Figure 4.48 : Moment fléchissant myy
dû aux systèmes de charge A (Travées 1,
2 et 3) 131
Figure 4.49 : Moment fléchissant myy
dû aux convois de charges Bc aux
convois de charges Bc (Travée 2)
131
Figure 4.50 : Moment fléchissant myy
dû aux convois de charges Bc (Travée 3)
132
Figure 4.51 : Moment fléchissant myy
dû aux groupes d'essieux-tandems
(Travée 2) 132
Figure 4.52 : Moment fléchissant myy
dû aux groupes d'essieux-tandems
(Travée 2) 132
Figure 4.53 : Moment fléchissant maximum dans
la poutre de rive gauche
(Travée 3) 133
Figure 4.54 : Moment fléchissant maximum dans
la poutre intermédiaire
gauche (Travée 3) 133
Figure 4.55 : Moment fléchissant maximum dans
l'entretoise d'about (Travée 3)
134
Figure 4.56 : - Boite de dialogue - composante du cas
134
Figure 4.57 : - Boite de dialogue - Combinaison
135
Figure 4.58 : Cartographie des sections d'aciers
réels dans la direction
principale de portance (lit inférieur)
136
Figure 4.59 : Cartographie des sections d'aciers
réels dans la direction
secondaire (lit inférieur) 137
Figure 4.60 : Cartographie des sections d'aciers
réels dans la direction
principale de portance (lit supérieur)
137
Figure 4.61 : Cartographie des sections d'aciers
réels dans la direction
secondaire (lit supérieur) 138
Figure 4.62 : Schéma de ferraillage dalle sous
chaussée (1/4) 139
Figure 4.63 : Schéma de ferraillage dalle sous
chaussée (2/4) 140
xvii /176
Liste des figures
Figure 4.64 : Schéma de ferraillage dalle sous
chaussée (3/4) 141
Figure 4.65 : Schéma de ferraillage dalle sous
chaussée (4/4) 142
Figure 4.66 : Schéma de ferraillage poutres de
rives (1/4) 144
Figure 4.67 : Schéma de ferraillage poutres de
rives (2/4) 145
Figure 4.68 : Schéma de ferraillage poutres de
rives (3/4) 146
Figure 4.69 : Schéma de ferraillage poutres de
rives (4/4) 147
Figure 4.70 : Schéma de ferraillage poutres
intermédiaires (1/4) 149
Figure 4.71 : Schéma de ferraillage poutres
intermédiaires (2/4) 150
Figure 4.72 : Schéma de ferraillage poutres
intermédiaires (3/4) 151
Figure 4.73 : Schéma de ferraillage poutres
intermédiaires (4/4) 152
Figure 4.74 : Schéma de ferraillage entretoises
(1/3) 154
Figure 4.75 : Schéma de ferraillage entretoises
(2/3) 155
Figure 4.76 : Schéma de ferraillage entretoises
(3/3) 156
xviii /176
Liste des tableaux
Liste des tableaux
Tableau 2.1 : Nombre de monômes nécessaire
pour construire des polynômes
complets 54
Tableau 2.2 : Bases polynomiales complètes et
incomplètes 55
Tableau 3.1 : Tableau des valeurs de la matrice de
rigidité élémentaire de
l'élément tétraédrique
à 4 noeuds (douze degrés de liberté). 84
Tableau 3.2 : Valeurs d'essai pour le test du programme
matrice_K 88
Tableau 4.1 : Charges permanentes 99
Tableau 4.2 : Classe de pont en fonction de la largeur
roulable 100
Tableau 4.3 : Coefficient de dégressivité
transversale de la charge A(L) 101
Tableau 4.4 : Coefficients a1 et a2 102
Tableau 4.5 : Coefficient de dégressivité
transversale bc 104
Tableau 4.6 : Coefficient de dégressivité
transversale bt 104
Tableau 4.7 : Tableau de détermination de la
longueur L pour le calcul de 61 106 Tableau 4.8 : Tableau de
détermination de la valeur de G pour le calcul de 61
106
Tableau 4.9 : Tableau de détermination de la
valeur de G pour le calcul de 62
107
Tableau 4.10 : Tableau récapitulatif des valeurs
de 6 108
Tableau 4.11 : Tableau récapitulatif des valeurs
du produit de coefficients 6*b
109
xix /176
Liste des symboles et abréviations
Liste des symboles et abréviations
[ ] . Matrice quelconque (carrée ou rectangulaire)
{ } . Vecteur (matrice colonne)
< > . Matrice ligne
[ ]t . Matrice transposée
[ ]-1 . Matrice inverse
V . Volume du solide
S . Surface du solide
. Contour
IV . Intégrale sur le volume
IS . Intégrale sur la surface
I . Intégrale sur le contour
Ó . Somme
{u} . Champ de déplacement en un point quelconque
{E} ou [E] . Champ de déformation en un point
quelconque
{æ} ou [æ] . Champ de déformation en un point
quelconque
[H] . Matrice des constantes d'élasticité
{un} . Déplacements nodaux pour un
élément
{fV} . Champ de forces de volume
{fS} . Champ de forces de surface
Ni . Fonction de forme attachée au noeud i
[N] . Matrice des fonctions d'interpolation
[B] . Matrice des fonctions de déformation
[D] . Matrice des opérateurs de dérivation
[K] . Matrice de rigidité de la structure
[Ke] . Matrice de rigidité
élémentaire
xx /176
Liste des symboles et abréviations
{FV} . Forces nodales de volume
{FS} . Forces nodales de surface
{F} . Forces nodales pour la structure
x, y, z . Coordonnées dans le repère
réel (global)
x . Notation simplifiée des
coordonnées : x=< x, y, z >
î, ç, æ . Coordonnées dans
le repère de référence (local)
î . Notation simplifiée des
coordonnées : î=< î, ç,
æ >
A . Section de la poutre
I . Inertie de la poutre
L . Longueur d'un élément
ö . Fonction de pondération
A, p . Coefficients de Lamé
E . Module d'élasticité longitudinale
G . Module d'élasticité transversale
í . Coefficient de Poisson
EDP . Equation aux dérivées partielles
DDL . Degrés de libertés
EF . Eléments finis
MEF . Méthode des éléments finis
xxi /176
Avant-propos
Avant-propos
L
'idée fondamentale derrière la méthode
des éléments finis remonte loin en arrière. Les Grecs par
exemple avaient reconnu que l'on peut approcher la solution d'un
problème complexe en le divisant en problèmes plus simples. On
peut par exemple approcher le périmètre d'un cercle en calculant
le périmètre d'un polygone à n
côtés, pourvu que n soit suffisamment grand. Il
suffit alors de connaitre la longueur d'un segment de droite, problème
beaucoup plus simple que celui de la longueur d'un arc de cercle.
Le présent travail se veut être une base solide
de restitution de connaissances techniques et pratiques indispensables à
la construction d'un modèle élément fini, en vue d'une
simulation numérique.
Nous poursuivrons ainsi deux objectifs. Bien sûr, nous
souhaitons une description relativement classique des principales étapes
de mise en oeuvre de la méthode sur un ordinateur et passer directement
à une illustration à travers notre étude de cas, mais
notre objectif est d'en dégager aussi les bases mathématiques les
plus fondamentales.
On peut se demander s'il y a vraiment besoin de s'attarder
autant sur les aspects plus mathématiques. La réponse nous est
apparue de plus en plus évidente au vu des applications énormes
de cette méthode en ingénierie et des contraintes de
sécurité de plus en plus sévères qui entrent en jeu
de compte.
Les logiciels modernes utilisant la méthode des
éléments finis bénéficient d'une interface
graphique rendant leur utilisation relativement simple. Par ailleurs, un
certain nombre de tâches sont automatisables. On peut donc quasiment
lancer un calcul sur ordinateur sans connaître la méthode.
Cependant, le modèle utilisé risque d'être
inadapté au problème, on aura donc un résultat très
éloigné de la réalité. L'utilisateur doit avoir des
connaissances suffisantes pour être en mesure de :
? maîtriser le modèle, c'est-à-dire utiliser
les options permettant de représenter le plus fidèlement possible
la réalité ;
xxii /176
Avant-propos
· contrôler la qualité du résultat,
détecter les résultats manifestement erronés et juger de
la fiabilité des calculs qui leur sont présentés ;
· interpréter les résultats, et
éventuellement les post-traités, c'est-à-dire utiliser les
résultats pour faire d'autres calculs.
L'utilisation d'un logiciel de résolution par la
méthode des éléments finis est donc faussement simple, ce
qui n'est pas sans poser problème :
Car la manipulation de plus en plus fréquente de ce
genre de technologie par des personnels non spécialistes ou
inadéquatement formés commence à être une source
d'inquiétude très sérieuse, compte tenu des enjeux de
sécurité sous-jacents. De manière générale,
utiliser un logiciel quelconque pour résoudre un problème
d'ingénierie sans en comprendre le fonctionnement est très
dangereux.
Le 1er chapitre est consacré à la
résolution théorique par l'approche variationnelle du
système d'équations de lamé qui est un cas particulier des
équations stationnaires, de l'élasticité linéaire,
modélisant les déformations d'un solide sous l'hypothèse
de petites déformations et de petits déplacements. Nous
illustrons ainsi l'une des méthodes étant à la base des
bases de la méthode des éléments finis.
Le 2ème chapitre est dédié
à l'étude des principes de bases de modélisation par
éléments finis ; il fait notamment ressortir les notions de :
· discrétisation d'un domaine en
éléments de formes connues ;
· matrice des fonctions d'interpolations ;
· matrice de rigidité élémentaire ;
· assemblage des matrices élémentaires.
Le 3ème chapitre aborde l'étude des
propriétés de quelques éléments finis, il s'est
achevé par l'élaboration d'un programme de calcul de la matrice
de rigidité élémentaire pour l'élément fini
tétraédrique à 12 DDL. Ce programme, loin d'être un
programme de résolution complet, est destiné principalement
à être utilisé en tant que routine (sous-programme), dans
un programme global de résolution de modèles
éléments finis.
xxiii /176
Avant-propos
Le 4ème chapitre étudie un cas
pratique de simulation numérique effectué sur un tablier de
pont.
Nous insistons notamment sur le fait que notre travail
ne consiste pas en une étude technique détaillée du pont,
mais à construire un modèle numérique,
élément fini, du tablier et à effectuer une simulation
numérique sur ce modèle.
Le modèle élément fini, ainsi construit,
fait alors office de maquette numérique sur laquelle on observera
l'influence, en temps réel, des différentes actions agissant sur
la structure.
Le travail consistera, en tenant compte de plusieurs essais de
cas de charges, à définir les cas produisant les effets les plus
défavorables et à partir de ces considérations pour
proposer un dimensionnement des éléments du tablier.
Aussi, le présent travail a permis d'expliquer en
détail la manière dont le logiciel Autodesk ROBOT SAP
2012 doit être utilisé pour conduire des essais de
simulation numérique.
1 /176
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