Chapitre III Modélisation Thermomécanique du
Problème
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III.1 INTRODUCTION
Un système de freinage a pour fonction principale de
transformer une énergie mécanique en une énergie
thermique. Cette énergie se caractérise par un
échauffement du disque et des plaquettes lors de la phase de freinage.
La modélisation du comportement thermique de l'ensemble disque
-plaquettes permet d'analyser l'évolution et la répartition des
températures au niveau des zones de contact. Grâce aux
résultats obtenus à partir du modèle
développé, il devient possible d'optimiser le système. La
modélisation des écoulements et des échanges de chaleur
permet de comprendre et de quantifier les phénomènes physiques
sans avoir recours à des essais expérimentaux.
III.2 LA MODELISATION THERMIQUE DU PROBLEME III.2.1
Equation de la chaleur
Soit v une partie quelconque de V
limitée par la surface s.
S
V
v
s
Fig.III.1 : Bilan
thermique.
La puissance thermique stockée dans v est
égale à la somme de la puissance thermique
générée par les sources volumiques contenues dans v
et de la puissance thermique reçue sous forme de flux à
travers la surface s [21] :
: la masse volumique du matériau (kg/m3)
: la capacité thermique massique (J/ kg K)
: la normale unitaire à s dirigée vers
l'extérieur de v
En transformant la relation (III.1) en intégrale de
volume à l'aide du théorème d'Ostrogradski, il en
résulte :
De l'équation (III.2), on déduit l'équation
de chaleur suivante:
Chapitre III Modélisation Thermomécanique du
Problème
Pour un matériau homogène et isotrope,
l'équation (III.3) dans le repère orthonormé
s'écrit :
III.2.2 Forme différentielle
Résoudre un problème thermique consiste
à chercher un champ de températures T(x, y, z,
t) à partir de l'équation (III.4) en tenant compte des
conditions aux limites et initiales suivantes [21] :
~ les conditions aux limites :
où
S est la surface du solide et la normale unitaire
à S dirigée vers l'extérieur de V.
~ la condition initiale à l'instant t =
t0 :
La quantité r(T), appelée
résidu de l'équation (III.3), est définie par :
III.2.3 Forme intégrale faible
Pour résoudre le problème définit par le
système d'équations (III.4, III.5, III.6) par la méthode
des éléments finis, on utilise la méthode des
résidus pondérés dans la formulation de Galerkin
[22, 23,24]. Multiplions l'équation (III.3) par une fonction
arbitraire et intégrons sur le domaine V :
: Fonction de pondération (ou fonction test).
En utilisant la relation :
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Problème
l'équation (III.8) s'écrit :
Transformons la deuxième intégrale de cette
équation en intégrale de surface à l'aide du
théorème d'Ostrogradski :
et posons la condition T* = 0 sur ST,
d'où annulation de la dernière intégrale.
En utilisant la relation (III.11), les conditions aux limites
(III.5) et l'équation (III.10), on obtient la formulation
intégrale faible d'un problème thermique :
avec
- la condition aux limites : T = Tp
sur ST et
-
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