`' Chaque système physique isolé est
associé à un espace d'état (un espace de Hilbert
séparable) `'
- H un espace de Hilbert.
- H est séparable si et seulement s'il admet une
base dénombrable.
- H1 la sphère unité de H
/ H1 = {|0) E H/ Il|0)Il = 1} c.à.d.
l'ensemble des états ou la norme de chacune est égale à
1.
- H=1 la boule unité de H /
H=1 = {|0) E H/ Il|0)Il < 1} c.à.d.
l'ensemble des états ou la norme de chacune est inférieur ou
égale à 1.
7
chapitre1 : Préliminaires
Formalisme de Dirac
La notation bracket permet de représenter
l'état du système par un vecteur normé |ø)
prononcé
ket psi.
Les probabilités complexes d'amplitudes sont
notées á et â , leur somme au carré vaut par
conséquent 1.
|ø) = á|0) +
â|1).
(ø|ø0) le produit scalaire de
|ø) et |ø0).
{|T),T E H} où B dénombrable - base
orthonormée de H.
|ø) E H1 on peut écrit :
>T?B áT.|T) avec >T?B
|áT|2 = 1 (superposition, combinition
linèiare).
Si |ø) = >T?B áT.|T) et
|ø0) = >T?B âT.|T)
alors : (ø|ø0) = >T?B
á*T
· âT où
á* représente le conjugué de á .
(ø| vecteur' bra.
Si | '
/) = >T?B áT.|T) alors : (ø| =
>T?B áT .(T |.
"L'espace des états d'un système
composé de sous-systèmes est le produit tensoriel des espaces des
états des sous-systèmes".
Définition 5. Rolland, 2006] Soient
E et F deux espaces vectoriels sur le même corps
K. On note [E x F] l'espace vectoriel sur K des
combinaisons linéaires formelles d'éléments du produit
[E x F]. Plus précisément :
[E x F] = >( x, y) E Aë(x,
y) (x, y) à partir de [E x F], ë(x,
y) E K
On note G le sous-espace vectoriel de [E x
F(] engendré par les éléments de
la forme : (x?A1 ëxx, >y?A2 uyy)-
>x,y?A1×A2 ëxuy (x, y).
Donc E ®K F = [E x F] /G
L'espace vectoriel E ®K F est appelé le
produit tensoriel de E par F sur le corps K.
H1B1Espace d'état d'un
système S1.
H1B2Espace d'état d'un
système S2.
Donc l'espace d'états du S composé de S1 et S2 est
:
H1B1 ® H1B2 ~= H1B1×B2.
Si |ø1) E H1B1 et |ø2) E
H1B2 alors S est dons |ø1) ® |ø2)
= |ø1) |ø2) = |ø1ø2) .
8
chapitre1 : Préliminaires
Il y a des cas ou un état d'un système
composé de deux sous-systèmes ne peut pas être
décomposé en un produit tensoriel de la forme |ø1i ?
|ø2i tel que |ø1i est l'état du premier
sous-système et |ø2i est l'état du second.
Etats non séparable : états
intriquées.
L'intrication est l'essence de la physique quantique
(Schrodinger,1935)
L'intrication quantique est un phénomène
fondamental de la mécanique quantique mis en évidence par
Einstein et Schrodinger dans les années 30. Deux systèmes
physiques, comme deux particules, se retrouvent alors dans un état
quantique dans lequel ils ne forment plus qu'un seul système dans un
certain sens subtil.
Toute mesure sur l'un des systèmes affecte l'autre, et
ce, quelle que soit la distance les sé-
parant. Avant l'intrication, deux systèmes physiques sans
interactions sont dans des états quan-
tiques indépendants mais après l'intrication ces
deux états sont en quelque sorte « emmêlés »
et
il n'est plus possible de décrire ces deux
systèmes de façon indépendante.
Par exemple : L'état |B0i = 1
v2(|00i + |11i) ? H{0,1} ?
H{0,1} est intriqué. En effet pour tout a,
b, c, d ? C :
|B0i = (a |0i + b |1i) ? (c |0i + d |1i) = ac |00i + ad |01i +
bc |10i + bd |11i .
On en déduit que
ad = 0 or a =60 car ac = 1 et d =60 car bd = 1.
Donc |B0i est un état intriqué.
Cet état |B0i est appelé état EPR
(paradoxe d'Einstein-Podolski-Rosen).
`'Le paradoxe EPR, ou paradoxe d'Einstein-Podolski-Rosen,
était à l'origine une expérience de pensée
proposée par Einstein et ses collaborateurs en 1935 pour violer les
inégalités position-impulsion de Heisenberg et démontrer
que l'interprétation probabiliste de la mécanique quantique ne
pouvait être qu'effective.
L'emploi de probabilités devant être un
expédient provisoire reflétant l'absence de connaissances
complètes des valeurs de certains paramètres déterminant
le comportement individuel des particules, tout comme en théorie
cinétique des gaz avec la distribution de Maxwell. Repris sous une forme
différente en liaison avec le spin des photons par David Bohm, cette
expérience a pu être réalisée ultérieurement
par Alain Aspect en 1982. Entre-temps, le théoricien Irlandais John Bell
avait démontré ses célèbres
inégalités permettant de savoir qui d'Einstein ou des fondateurs
de la mécanique quantique avaient raison.
Les résultats de cet aspect, et d'autres, ont toujours
confirmé l'interprétation standard de la mécanique
quantique, montrant de plus que la notion de non-localité (qu'en 1964
John Bell a
9
chapitre1 : Préliminaires
montré que la seule conclusion possible de l'analyse
d'Einstein, Podolski et Rosen est que le monde est non local.) est un
élément central de la mécanique quantique».
